Matemáticas II PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Y PRUEBA DE ADMISIÓN ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2024–2025

MATEMÁTICAS II

Instrucciones:

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados.

c) Este examen consta de siete ejercicios distribuidos en un bloque con un ejercicio obligatorio y tres bloques con dos ejercicios optativos cada uno.

d) Deberá resolver el ejercicio obligatorio y solamente un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad.

e) En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

f) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos.

g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

h) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

i) Se proporcionará la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

BLOQUE OBLIGATORIO. Resuelve el siguiente ejercicio:

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones?

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 2. (2,5 puntos) Considera la función f : R → R definida por f (x) =

π el punto 0,

x2 + 2x + 2

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

Z 3 Calcula el valor de k para que

ex−k (x − 2) dx = 2.

. Calcula una primitiva de f cuya gráfica pase por

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Y PRUEBA DE ADMISIÓN ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2024–2025

MATEMÁTICAS II

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 2. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Considera la recta r ≡

x−y+z =3 y el plano π ≡ mx − y − 2z = 5.

x + 2y − z = 4

a) [1,5 puntos] Halla m para que r y π sean paralelos.

b) [1 punto] Para m = −8, calcula la distancia de la recta r al plano π .

EJERCICIO 5. (2,5 puntos) Sean las rectas r ≡

x+1 y+2 z−2

−1

x = 1 − λ s≡ y =2+λ

z = −3 − 2λ

a) [1 punto] Estudia la posición relativa de las rectas r y s.

b) [1,5 puntos] Halla la ecuación de un plano que contiene a r y a una recta perpendicular a las rectas r y s.

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 3. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 6. (2,5 puntos) Calcula a y b sabiendo que

x sen(x) + a(ex − 1) + sen(x) = 1.

x→0 bx2 + x − sen(x) lı́m

EJERCICIO 7. (2,5 puntos) La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de 70 km/h.

a) [1 punto] En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media 64 km/h y desviación típica 4 km/h. Si el radar de control salta a partir de 72 km/h, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan?

b) [1,5 puntos] En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de 63,6 km/h y que el 5,05 % de todos los vehículos viaja a más de 80 km/h. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica?

Soluciones y criterios de corrección en texto

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Y PRUEBA DE ADMISIÓN ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2024–2025

MATEMÁTICAS II

CRITERIOS GENERALES DE CORRECCIÓN

Los ejercicios deben realizarse expresando de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión necesarios. Usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto. Utilizando argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes. Valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo la resolución de manera efectiva, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo, en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

Se realizarán únicamente el ejercicio del bloque obligatorio, y un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad. En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

En los ejercicios en los que sea necesaria la lectura en sentido inverso en la tabla de la ley Normal, de valores de áreas que no aparezcan en dicha tabla, se darán por buenos cualquiera de los dos procedimientos siguientes: interpolación y aproximación por el valor más cercano de los que aparezcan en la tabla.

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente.

Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento"se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

EJERCICIO 1. [2,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por cada una de las dos ecuaciones. Hasta 0,5 puntos por calcular las infinitas soluciones de las dos primeras ecuaciones.

EJERCICIO 2. [2,5 puntos] Hasta 1 punto por el cálculo de la integral indefinida.

EJERCICIO 3. [2,5 puntos] Hasta 1,25 puntos por la integral indefinida.

EJERCICIO 4. a) [1,5 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento. b) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento.

EJERCICIO 5. a) [1 punto] a) Hasta 0,5 puntos por el planteamiento. b) [1,5 puntos] b) Hasta 0,75 puntos por el planteamiento.

EJERCICIO 6. [2,5 puntos] Hasta 1 punto por las dos aplicaciones de la regla de L’Hôpital.

EJERCICIO 7. a) [1 punto] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento. b) [1,5 puntos] Hasta 0,75 puntos por plantear la probabilidad en función de la desviación típica.