Matemáticas II PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Y PRUEBA DE ADMISIÓN ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2024–2025

MATEMÁTICAS II

Instrucciones:

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados.

c) Este examen consta de siete ejercicios distribuidos en un bloque con un ejercicio obligatorio y tres bloques con dos ejercicios optativos cada uno.

d) Deberá resolver el ejercicio obligatorio y solamente un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad.

e) En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

f) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos.

g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

h) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

i) Se proporcionará la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

BLOQUE OBLIGATORIO. Resuelve el siguiente ejercicio:

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Sea f : R → R la función definida por f (x) =

x3 + 1 . Calcula una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto x2 + 1

(0, 5).

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 2. (2,5 puntos) Considera la función f : (−1, 1) → R definida por f (x) =

(1 − |x|)2

a) [1,25 puntos] Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f .

b) [1,25 puntos] Halla, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

EJERCICIO 3. (2,5 puntos)

 2

Sean las funciones f : (−1, 0) ∪ (0, 1) → R y g : R → R, definidas por f (x) = ln y g(x) = x3 + 2.

a) [1,5 puntos] Calcula a ̸= 0 de forma que en el punto (a, f (a)) la recta normal a la gráfica de la función f sea paralela a la recta tangente a la gráfica de g en el punto (a, g(a)).

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f .

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MATEMÁTICAS II

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 2. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

0 −1

Considera la matriz A = 

.

a) [1,25 puntos] Calcula A4 y A31 .

b) [1,25 puntos] Halla razonadamente el determinante de la matriz 4A25 (At )4 .

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Sean las matrices A =

2 2 3 4

y B=

3 1 2 2

a) [1 punto] Halla razonadamente el determinante de una matriz X que verifica X 3 AX 2 = B 2 .

b) [1,5 puntos] Determina, si existe, una matriz Y que verifique A3 Y B −1 = A2 .

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 3. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

Considera la recta r ≡

x+y+z =0 y el punto P (2, 1, 0).

y−z =0

a) [1,25 puntos] Halla la distancia del punto P a la recta r.

b) [1,25 puntos] Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta r y al punto P .

EJERCICIO 7. (2,5 puntos) Una empresa fabrica bolígrafos en tres provincias: Almería, Barcelona y Cáceres. El porcentaje de producción total de bolígrafos que se fabrica en cada provincia es, respectivamente, del 20 %, 50 % y 30 %. Además, el porcentaje de bolígrafos defectuosos en cada una de ellas es del 7 %, 6 % y 2 %, respectivamente.

a) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso?

b) [1,5 puntos] Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería?

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS GENERALES DE CORRECCIÓN Los ejercicios deben realizarse expresando de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión necesarios. Usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto. Utilizando argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes. Valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo la resolución de manera efectiva, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo, en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

Se realizarán únicamente el ejercicio del bloque obligatorio, y un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad. En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

En los ejercicios en los que sea necesaria la lectura en sentido inverso en la tabla de la ley Normal, de valores de áreas que no aparezcan en dicha tabla, se darán por buenos cualquiera de los dos procedimientos siguientes: interpolación y aproximación por el valor más cercano de los que aparezcan en la tabla.

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente.

Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento"se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

EJERCICIO 1. [2,5 puntos] Hasta 2 puntos por el cálculo de una primitiva.

EJERCICIO 2. a) [1,25 puntos] Hasta 0,25 puntos por concluir que f no es derivable en 0. b) [1,25 puntos] Hasta 0,5 puntos por demostrar que f tiene un mínimo absoluto en 0.

EJERCICIO 3. a) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por igualar las pendientes. b) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por dar el intervalo de crecimiento.

EJERCICIO 4. a) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por calcular A4 . b) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por usar adecuadamente las propiedades de los determinantes.

EJERCICIO 5. a) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por usar adecuadamente las propiedades de los determinantes. b) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por calcular simbólicamente Y . Hasta 0,5 puntos por calcular A−1 .

EJERCICIO 6. a) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento. b) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento.

EJERCICIO 7. a) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento (teorema de la probabilidad total). b) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento (teorema de Bayes).