Matemáticas II PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Y PRUEBA DE ADMISIÓN ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2024–2025

MATEMÁTICAS II

Instrucciones:

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados.

c) Este examen consta de siete ejercicios distribuidos en un bloque con un ejercicio obligatorio y tres bloques con dos ejercicios optativos cada uno.

d) Deberá resolver el ejercicio obligatorio y solamente un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad.

e) En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

f) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos.

g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

h) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

i) Se proporcionará la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

BLOQUE OBLIGATORIO. Resuelve el siguiente ejercicio:

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Considera la función f : R → R definida por f (x) = (x − 1)ex .

a) [1,5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de inflexión.

b) [1 punto] Estudia y calcula las asíntotas de la función.

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 2. (2,5 puntos) Sea la función f : R → R definida por f (x) = (x − 1)2 .

a) [0,75 puntos] Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de f y la recta y = a con a > 0.

b) [1,75 puntos] Calcula a > 0 para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de f y la recta y = a sea

unidades cuadradas.

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Considera la función

f (x) =

Z 1 f (x) dx.

Calcula − π4

x sen(2x) cos(πx) − 1

si si

x≤0 x>0

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MATEMÁTICAS II

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 2. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 4. (2,5 puntos) Sean los puntos A(3, −1, 1), B(1, 3, −3) y C(−2, −2, 1).

a) [1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C .

b) [1,5 puntos] Halla los puntos D pertenecientes al eje OZ para que el tetraedro de vértices A, B , C y D tenga un volumen de 20 unidades cúbicas.

EJERCICIO 5. (2,5 puntos) Considera el plano π ≡ 2x + y + 2z + 5 = 0.

a) [1,5 puntos] Calcula el punto simétrico de P (1, 0, 1) respecto de π .

b) [1 punto] Calcula los planos paralelos a π y que disten 2 unidades de π .

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 3. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 6. (2,5 puntos)

α α+4 0

1 .

Sea la matriz A =  1 0 α+4 α

a) [1 punto] Indica para qué valores de α la matriz A admite inversa.

b) [1,5 puntos] Para α = 1 determina, si es posible, la matriz inversa de A.

EJERCICIO 7. (2,5 puntos) Los rodamientos de las ruedas de un coche se configuran con unas bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 13 mm y desviación típica 0,1 mm. Para que el funcionamiento del rodamiento sea óptimo el diámetro debe estar entre 12,9 mm y 13,15 mm. No obstante, la máquina que los elabora es muy sensible a los cambios de temperatura y pierde eficacia cuando ésta sube considerablemente. El 15 de julio, tras una rotura del sistema de refrigeración, la máquina configura bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 12,9 mm y desviación típica 0,2 mm.

a) [1,25 puntos] En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?

b) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el 15 de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS GENERALES DE CORRECCIÓN Los ejercicios deben realizarse expresando de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión necesarios. Usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto. Utilizando argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes. Valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo la resolución de manera efectiva, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo, en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

Se realizarán únicamente el ejercicio del bloque obligatorio, y un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad. En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

En los ejercicios en los que sea necesaria la lectura en sentido inverso en la tabla de la ley Normal, de valores de áreas que no aparezcan en dicha tabla, se darán por buenos cualquiera de los dos procedimientos siguientes: interpolación y aproximación por el valor más cercano de los que aparezcan en la tabla.

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente.

Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento"se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

EJERCICIO 1. a) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por las pendientes de las rectas tangente y normal. b) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por el estudio de la asíntota horizontal.

EJERCICIO 2. a) [0,75 puntos] Hasta 0,5 puntos por la gráfica de f . b) [1,75 puntos] Hasta 0,75 puntos por plantear y resolver la ecuación.

EJERCICIO 3. [2,5 puntos] Hasta 1,75 puntos por el cálculo de la integral indefinida.

EJERCICIO 4. a) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por el cálculo de los vectores que determinan el triángulo. b) [1,5 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento.

EJERCICIO 5. a) [1,5 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento. b) [1 punto] Hasta 0,25 puntos por indicar la condición que debe de verificar un plano para ser paralelo a otro. Hasta 0,5 puntos por calcular la distancia entre dos planos paralelos.

EJERCICIO 6. a) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por calcular el determinante de A. Hasta 0,25 puntos por calcular los valores de α para los que existe la matriz inversa de A. b) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por calcular la matriz adjunta de A.

EJERCICIO 7. a) [1,25 puntos] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento. b) [1,25 puntos] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento.