Matemáticas II PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Y PRUEBA DE ADMISIÓN ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2024–2025

MATEMÁTICAS II

Instrucciones:

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados.

c) Este examen consta de siete ejercicios distribuidos en un bloque con un ejercicio obligatorio y tres bloques con dos ejercicios optativos cada uno.

d) Deberá resolver el ejercicio obligatorio y solamente un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad.

e) En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

f) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos.

g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

h) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

i) Se proporcionará la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

BLOQUE OBLIGATORIO. Resuelve el siguiente ejercicio:

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Considera las rectas r ≡

y−2 z−k x+2 y+3 z−1

y s≡

−1

−1

a) [1,5 puntos] Determina k sabiendo que ambas se cortan en un punto.

b) [1 punto] Para k = 0, halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a s.

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 2. (2,5 puntos) Un náufrago se encuentra en una isla situada en el punto de coordenadas (2, 0) de un plano. Se √ sabe que un ferry navega en el mismo plano siempre en la trayectoria dada por la gráfica de la función f (x) = x + 1. ¿Hacia qué punto de la trayectoria debe nadar el náufrago para recorrer la menor distancia posible? Calcula dicha distancia.

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Sea la función f : (−1, 1) → R definida por f (x) =

1 + |x|

1 − |x|

a) [1,5 puntos] Estudia la derivabilidad de f .

b) [1 punto] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .

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MATEMÁTICAS II

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 2. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

a11 a12 a13 Se considera la matriz M = a21 a22 a23  con determinante igual a −5.

a31 a32 a33 a11

a) [1,25 puntos] Calcula 3a12

2a13

a31 2a21 3a32 6a22 .

2a33 4a23

2a11 − 3a31 2a12 − 3a32 4a13 − 6a33 a21 a22 2a23

b) [1,25 puntos] Calcula a31 a32 2a33

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

Sean las matrices A =

a 3 b 1

1 1 y B =  −1 2  .

1 1

a) [1,5 puntos] Determina a y b para que A2 = 4I , donde I es la matriz identidad de orden 2.

b) [1 punto] Para a = −1 y b = 1, calcula, si es posible, la matriz X que cumple A2 X = B t .

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 3. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 6. (2,5 puntos) Considera las funciones f, g : R → R definidas por f (x) = −ex y g(x) = −e−x .

a) [1 punto] Esboza las gráficas de dichas funciones.

b) [1,5 puntos] Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por las gráficas de dichas funciones y las rectas x = −1 y x = 1.

EJERCICIO 7. (2,5 puntos) El peso de las manzanas producidas en una granja sigue una distribución normal de media 200 gramos y desviación típica desconocida.

a) [1,25 puntos] Si el 33 % de las manzanas pesan más de 230 gramos, calcula la desviación típica del peso de las manzanas.

b) [1,25 puntos] Si la desviación típica es de 50 gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesan entre 160 y 220 gramos.

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS GENERALES DE CORRECCIÓN Los ejercicios deben realizarse expresando de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión necesarios. Usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto. Utilizando argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes. Valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo la resolución de manera efectiva, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo, en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

Se realizarán únicamente el ejercicio del bloque obligatorio, y un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad. En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

En los ejercicios en los que sea necesaria la lectura en sentido inverso en la tabla de la ley Normal, de valores de áreas que no aparezcan en dicha tabla, se darán por buenos cualquiera de los dos procedimientos siguientes: interpolación y aproximación por el valor más cercano de los que aparezcan en la tabla.

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente.

Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento"se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

EJERCICIO 1. a) [1,5 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento. b) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento.

EJERCICIO 2. [2,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por la expresión de la distancia a minimizar.

EJERCICIO 3. a) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por la derivabilidad de f en (−1, 0) ∪ (0, 1). b) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por dar el intervalo de crecimiento.

EJERCICIO 4. a) [1,25 puntos] Hasta 1 punto por aplicar correctamente las propiedades de los determinantes. b) [1,25 puntos] Hasta 1 punto por aplicar correctamente las propiedades de los determinantes.

EJERCICIO 5. a) [1,5 puntos] Hasta 0,25 puntos por cada una de las cuatro ecuaciones. b) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por resolver simbólicamente X .

EJERCICIO 6. a) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por la gráfica de f . b) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por expresar las áreas de los dos recintos como dos integrales definidas o como el doble de una integral definida.

EJERCICIO 7. a) [1,25 puntos] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento y tipificar. b) [1,25 puntos] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento y tipificar.