Matemáticas II PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Y PRUEBA DE ADMISIÓN ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2024–2025

MATEMÁTICAS II

Instrucciones:

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados.

c) Este examen consta de siete ejercicios distribuidos en un bloque con un ejercicio obligatorio y tres bloques con dos ejercicios optativos cada uno.

d) Deberá resolver el ejercicio obligatorio y solamente un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad.

e) En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

f) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos.

g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

h) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

i) Se proporcionará la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

BLOQUE OBLIGATORIO. Resuelve el siguiente ejercicio:

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Sea f : [0, 2] → R la función definida por

1 − ex si 0 ≤ x < 1 f (x) = 2x − 1 − e si 1 ≤ x ≤ 2

a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f .

b) [1,5 puntos] Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 2. (2,5 puntos) Calcula

Z 2

4x

x4 − 6x2 + 10

dx.

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable t = x2 − 3).

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Sean las funciones f, g : R → R definidas por f (x) = x3 − x y g(x) = −x2 + 1.

a) [1 punto] Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de f y g . Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.

b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de f y g .

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MATEMÁTICAS II

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 2. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 4. (2,5 puntos)

Considera la matriz A =  1 −4 −5 .

−1

a) [1,5 puntos] Comprueba que A3 + I = O, siendo I la matriz identidad y O la matriz nula. Calcula A−1 .

b) [1 punto] Calcula A2025 .

EJERCICIO 5. (2,5 puntos)

a b c Sabiendo que x y z = 1, calcula razonadamente:

u v w a+x b+y c+z

a) [1,5 puntos]

2a + u 2b + v 2c + w

c w u .

b v

b) [1 punto] x a

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 3. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 6. (2,5 puntos) Considera el plano π ≡ x + y + z + 1 = 0 y los puntos A(1, 2, 0) y B(3, 1, 0).

a) [1,5 puntos] Calcula el punto simétrico del punto A con respecto al plano π .

b) [1 punto] Halla el plano que contiene a los puntos A y B y es perpendicular al plano π .

EJERCICIO 7. (2,5 puntos) Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de 29 %, 51 % y 20 %. Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tazas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes 18 %, 31 % y 11 %, respectivamente.

a) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado?

b) [1,75 puntos] Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS GENERALES DE CORRECCIÓN Los ejercicios deben realizarse expresando de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión necesarios. Usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto. Utilizando argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes. Valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo la resolución de manera efectiva, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo, en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

Se realizarán únicamente el ejercicio del bloque obligatorio, y un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad. En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

En los ejercicios en los que sea necesaria la lectura en sentido inverso en la tabla de la ley Normal, de valores de áreas que no aparezcan en dicha tabla, se darán por buenos cualquiera de los dos procedimientos siguientes: interpolación y aproximación por el valor más cercano de los que aparezcan en la tabla.

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente.

Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento"se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

EJERCICIO 1. a) [1 punto] Hasta 0,25 puntos por la derivabilidad de f en [0, 1) ∪ (1, 2]. b) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por justificar los dos extremos absolutos.

EJERCICIO 2. [2,5 puntos] Hasta 2 puntos por el cálculo de una primitiva.

EJERCICIO 3. a) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por de corte de las gráficas de f y g . b) [1,5 puntos] Hasta 1 punto por obtener la primitiva.

EJERCICIO 4. a) [1,5 puntos] Hasta 0,25 puntos por calcular A2 . Hasta 0,5 puntos por obtener que A3 + I = 0.

b) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por expresar A2025 en términos de A3 .

EJERCICIO 5. a) [1,5 puntos] Hasta 1,25 puntos por aplicar correctamente las propiedades de los determinantes.

b) [1 punto] Hasta 0,75 puntos por aplicar correctamente las propiedades de los determinantes.

EJERCICIO 6. a) [1,5 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento. b) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento.

EJERCICIO 7. a) [0,75 puntos] Hasta 0,5 por el planteamiento. b) [1,75 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento utilizando el teorema de Bayes.