Matemáticas II PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Y PRUEBA DE ADMISIÓN ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2024–2025

MATEMÁTICAS II

Instrucciones:

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados.

c) Este examen consta de siete ejercicios distribuidos en un bloque con un ejercicio obligatorio y tres bloques con dos ejercicios optativos cada uno.

d) Deberá resolver el ejercicio obligatorio y solamente un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad.

e) En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

f) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos.

g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

h) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

i) Se proporcionará la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

BLOQUE OBLIGATORIO. Resuelve el siguiente ejercicio:

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Juan ha gastado 80e por la compra de un jersey, una camisa y un pantalón. Sabemos que el precio del jersey es un tercio del precio de la camisa y el pantalón juntos.

a) [1,25 puntos] ¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razona la respuesta.

b) [1,25 puntos] Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado 57e, pues el jersey, la camisa y el pantalón tenían un descuento del 30 %, del 40 % y del 20 %, respectivamente. Calcula el precio de cada prenda antes de las rebajas.

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

sen(x) − ax + 2 − 2 cos(x) es finito, calcula a y el valor del límite.

x→0 ex − x cos(x) − 1

Sabiendo que lı́m

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Sea la función f : (0, +∞) → R definida por f (x) = a +

ln(x)

x2

a) [1 punto] Calcula a para que y = 1 sea una asíntota horizontal de la gráfica de f .

b) [1,5 puntos] Para a = 0, calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . Estudia y halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

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MATEMÁTICAS II

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 2. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 4. (2,5 puntos) Sean los puntos O(0, 0, 0), A(0, 2, −2), B(1, 2, m) y C(2, 3, 2).

a) [1,25 puntos] Halla los valores de m para que el tetraedro determinado por los puntos O, A, B y C tenga un volumen de 3 unidades cúbicas.

b) [1,25 puntos] Para m = 0, calcula la distancia del punto O al plano que pasa por los puntos A, B y C .

EJERCICIO 5. (2,5 puntos) Considera el punto P (1, 1, 1) y la recta r ≡

y−2 z−3 x−1

a) [1 punto] Halla el plano que pasa por el punto P y contiene a la recta r.

b) [1,5 puntos] Halla la recta que pasa por el punto P y corta perpendicularmente a la recta r.

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 3. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 6. (2,5 puntos) Halla la función f : (0, +∞) → R que pasa por los puntos (2, e − 2 − 2 ln(2)) y (1, 0), y verifica que f ′′ (x) =

ex−1 −

EJERCICIO 7. (2,5 puntos) En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV en el año 2023:

Aptos No aptos

Coches 116.383

2.679

Motos 160.667

3.447

Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección.

a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto?

b) [1,25 puntos] Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto?

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN 𝑵(𝟎, 𝟏)

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS GENERALES DE CORRECCIÓN Los ejercicios deben realizarse expresando de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión necesarios. Usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto. Utilizando argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes. Valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo la resolución de manera efectiva, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo, en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

Se realizarán únicamente el ejercicio del bloque obligatorio, y un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad. En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

En los ejercicios en los que sea necesaria la lectura en sentido inverso en la tabla de la ley Normal, de valores de áreas que no aparezcan en dicha tabla, se darán por buenos cualquiera de los dos procedimientos siguientes: interpolación y aproximación por el valor más cercano de los que aparezcan en la tabla.

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente.

Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento"se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

EJERCICIO 1. a) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por plantear las dos ecuaciones del sistema. b) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por calcular las tres incógnitas y dar los tres precios.

EJERCICIO 2. [2,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por comprobar la indeterminación. Hasta 0,5 puntos por la primera aplicación de la regla de L’Hôpital.

EJERCICIO 3. a) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento. b) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por calcular los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

EJERCICIO 4. a) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento e imponer las condiciones. b) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A, B y C .

EJERCICIO 5. a) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por calcular los vectores directores del plano. b) [1,5 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento.

EJERCICIO 6. [2,5 puntos] Hasta 1,5 puntos por el cálculo de una primitiva de f ′ .

EJERCICIO 7. a) [1,25 puntos] Hasta 0,5 puntos si aplica de forma correcta la fórmula de la probabilidad de la unión. b) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento.