Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2026

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CONVOCATÒRIA: EXTRAORDINÀRIA 2026 CONVOCATORIA:

(extra) (extra)

EXTRAORDINARIA

2026

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIÈNCIES SOCIALS II CIENCIAS SOCIALES II

BAREM DE L’EXAMEN: S’ha de contestar un problema de l’apartat 1, un problema de l’apartat 2 i el problema de l’apartat 3. En cada qüestió s’indica la puntuació màxima, i la nota final és la suma de les qualificacions de cadascuna de les qüestions. Es permet l’ús de calculadores sempre que no siguen gràfiques o programables i que no puguen fer càlcul simbòlic ni emmagatzemar text o fórmules en memòria. S’utilitze o no la calculadora, els resultats analítics, numèrics i gràfics han d’estar sempre degudament justificats. Està permés l’ús de regla. Les gràfiques s’han de fer amb el mateix color que la resta de l’examen.

Totes les respostes han de estar degudament raonades.

Apartat 1. Responeu a un problema d’aquest apartat dels dos proposats.

Problema 1.A. Considerem les matrius:

𝐴=

𝐵=

2 2

−2 1

𝐶=

1/3 0 .

a) Determineu 𝐵𝐵 , en què 𝐵 és la transposada de la matriu 𝐵.

(0,5 punts)

b) Considerem la matriu 𝐷 = 𝜆𝐵, en què 𝜆 es un nombre real. Determineu 𝜆 perquè 𝐷𝐷 = 𝐼, en què 𝐼 és la matriu identitat d’ordre 2.

(0,5 punts)

c) Trobeu 𝐵 𝐵 .

(0,5 punts)

d) Determineu la matriu 𝑋 que és solució de l’equació 5𝑋𝐴 − 𝐵𝐶𝐵 = 𝐼, en què 𝐼 és la matriu identitat d’ordre 2.

(2 punts)

Problema 1.B. Una empresa de subministraments tecnològics ven tres tipus de components: processadors, targetes gràfiques i mòduls de memòria. El departament de comptabilitat ha perdut la informació sobre el preu individual de cada component. No obstant això, sap que la venda de 2 processadors, 1 targeta gràfica i 4 mòduls de memòria va sumar un total de 1020 € i que un lot de 3 processadors i 2 targetes gràfiques al qual es va aplicar un descompte equivalent al preu d’1 mòdul de memòria es va vendre al preu de 1280 €. Si el preu d’una targeta gràfica és igual a la suma del preu d’un processador més el doble del preu d’un mòdul de memòria, determineu el preu de cada component.

(Plantejament correcte 1,5 punts --- Resolució correcta 2 punts)

Apartat 2. Responeu a un problema d’aquest apartat dels dos proposats.

Problema 2.A. En una carretera se sanciona els vehicles amb velocitat superior a 110 km/h o inferior a 80 km/h. Si el radar detecta un vehicle amb velocitat inferior a 80 km/h, el conductor ha de pagar 100 euros, siga quina siga la seua velocitat; si la velocitat detectada és superior a 110 km/h, el conductor ha de pagar 50 euros més la diferencia entre la velocitat detectada pel radar i 110 km/h, en euros; si la velocitat detectada està entre 80 i 110 km/h, tots dos inclosos, no ha de pagar res.

a) Obteniu la funció que indique els euros que ha de pagar un conductor si el radar detecta que el seu cotxe circula a 𝑥 km/h, per a qualsevol 𝑥 ≥ 0, i analitzeu en quins punts aquesta funció és contínua i en quins punts és discontínua.

(1,25 punts)

b) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per aquesta funció, l’eix 𝑂𝑋, la recta d’equació 𝑥 = 120 i la recta d’equació 𝑥 = 125.

(1 punt)

c) En una altra carretera només se sanciona els vehicles amb velocitat superior a 120 km/h. Si la velocitat detectada pel radar no és superior a 120 km/h, el conductor no ha de pagar res; en cas contrari, ha de pagar el triple de la diferència entre la velocitat detectada pel radar i 120 km/h, en euros. A quines velocitats un conductor haurà de pagar el mateix en aquesta carretera que en l’anterior?

(1,25 punts) Problema 2.B. Es considera la funció:

𝑓 𝑥 =

𝑥 −𝑥 1+𝑥

Es demana:

a) El seu domini i els punts de tall amb els eixos de coordenades.

(0,5 punts)

b) Les asímptotes horitzontals i verticals, si n’hi ha.

(0,5 punts)

c) Els intervals de creixement i decreixement, i els màxims i mínims locals, si n’hi ha, i el valor d'estos.

(2 punts)

d) La representació gràfica de la funció a partir dels resultats obtinguts en els apartats anteriors.

(0,5 punts) Apartat 3. Responeu a l’únic problema d’aquest apartat.

Problema 3. En la fase final del campionat d’Europa de bàsquet juguen Alemanya, França, Croàcia i Espanya. Les semifinals són: Espanya-Alemanya i França-Croàcia. La probabilitat que Espanya guanye a Alemanya és 0,7, la probabilitat que guanye a França és 0,25 i la probabilitat que guanye a Croàcia és 0,55. La probabilitat que França perda contra Croàcia és 0,4. Se suposa independència entre els resultats d’uns partits i d’altres.

a) Calculeu la probabilitat que la final siga Alemanya-Croàcia.

(0,5 punts)

b) Calculeu la probabilitat que Espanya siga campiona.

(1 punt)

c) Si Espanya ha sigut campiona, quina és la probabilitat que en la final haja jugat contra França?

(0,5 punts)

d) El mes següent al campionat, Espanya i Croàcia jugaran set partits. Quina és la probabilitat que Croàcia guanye almenys cinc d’aquests partits?

(1 punt)

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CONVOCATÒRIA:

2026

CONVOCATORIA:

2026

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIÈNCIES SOCIALS II CIENCIAS SOCIALES II

BAREMO DEL EXAMEN: Se ha de contestar un problema del apartado 1, un problema del apartado 2 y el problema del apartado 3. En cada cuestión se indica la puntuación máxima, siendo la nota final la suma de las calificaciones de cada una ellas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados. Está permitido el uso de regla. Las gráficas se harán con el mismo color que el resto del examen.

Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas.

Apartado 1. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 1. A. Consideramos las matrices:

𝐴=

𝐵=

2 2

−2 1

𝐶= 0 1/3 0 .

a) Determina 𝐵𝐵 , siendo 𝐵 la traspuesta de la matriz 𝐵.

(0,5 puntos)

b) Consideramos la matriz 𝐷 = 𝜆𝐵, siendo 𝜆 un número real. Determina 𝜆 para que 𝐷𝐷 = 𝐼, siendo 𝐼 la matriz identidad de orden 2.

(0,5 puntos)

c) Halla 𝐵 𝐵 .

(0,5 puntos)

d) Determina la matriz 𝑋 que es solución de la ecuación 5𝑋𝐴 − 𝐵𝐶𝐵 = 𝐼, siendo 𝐼 la matriz identidad de orden 2.

(2 puntos)

Problema 1. B. Una empresa de suministros tecnológicos vende tres tipos de componentes: procesadores, tarjetas gráficas y módulos de memoria. El departamento de contabilidad ha perdido la información sobre el precio individual de cada componente.

No obstante, sabe que la venta de 2 procesadores, 1 tarjeta gráfica y 4 módulos de memoria sumó un total de 1020€ y que un lote de 3 procesadores y 2 tarjetas gráficas al que se aplicó un descuento equivalente al precio de 1 módulo de memoria se vendió al precio de 1280€. Si el precio de una tarjeta gráfica es igual a la suma del precio de un procesador más el doble del precio de un módulo de memoria, determina el precio de cada componente.

(Planteamiento correcto 1,5 puntos --- Resolución correcta 2 puntos)

Apartado 2. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 2. A. En una carretera se sanciona a los vehículos con velocidad superior a 110 km/h o inferior a 80 km/h. Si el radar detecta un vehículo con velocidad inferior a 80 km/h, el conductor debe pagar 100 euros, sea cual sea su velocidad; si la velocidad detectada es superior a 110 km/h, el conductor debe pagar 50 euros más la diferencia entre la velocidad detectada por el radar y 110 km/h, en euros; si la velocidad detectada está entre 80 y 110 km/h, ambos incluidos, no debe pagar nada.

a) Obtén la función que indique los euros que debe pagar un conductor si el radar detecta que su coche circula a 𝑥 km/h, para cualquier 𝑥 ≥ 0, y analiza en qué puntos esta función es continua y en qué puntos es discontinua.

(1,25 puntos)

b) Calcula el área de la región delimitada por esta función, el eje 𝑂𝑋, la recta de ecuación 𝑥 = 120 y la recta de ecuación 𝑥 = 125.

(1 punto)

c) En otra carretera solo se sanciona a los vehículos con velocidad superior a 120 km/h. Si la velocidad detectada por el radar no es superior a 120 km/h, el conductor no debe pagar nada; en caso contrario, debe pagar el triple de la diferencia entre la velocidad detectada por el radar y 120 km/h, en euros. ¿A qué velocidades un conductor tendrá que pagar lo mismo en esta carretera que en la anterior?

(1,25 puntos) Problema 2. B. Se considera la función:

𝑓 𝑥 =

𝑥 −𝑥 1+𝑥

Se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.

(0,5 puntos)

b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.

(0,5 puntos)

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen, y el valor de estos.

(2 puntos)

d) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores.

(0,5 puntos) Apartado 3. Responda el único problema de este apartado.

Problema 3. En la fase final del campeonato de Europa de baloncesto juegan Alemania, Francia, Croacia y España. Las semifinales son: España-Alemania y Francia-Croacia. La probabilidad de que España gane a Alemania es 0,7, la de que gane a Francia es 0,25 y la de que gane a Croacia es 0,55. La probabilidad de que Francia pierda contra Croacia es 0,4. Se supone independencia entre los resultados de unos partidos y otros.

a) Calcula probabilidad de que la final sea Alemania-Croacia.

(0,5 puntos)

b) Calcula la probabilidad de que España sea campeona.

(1 punto)

c) Si España ha sido campeona, ¿cuál es la probabilidad de que en la final haya jugado contra Francia?

(0,5 puntos)

d) El mes siguiente al campeonato, España y Croacia jugarán siete partidos. ¿Cuál es la probabilidad de que Croacia gane al menos cinco de esos partidos?

(1 punto)

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591

0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700

0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736

0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772

0,07 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808

0,08 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844

0,09 0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159

0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186

0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212

0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238

0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264

0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289

0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315

0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340

0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365

0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192

0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207

0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222

0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236

0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251

0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265

0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279

0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292

0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306

0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713

0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719

0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726

0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732

0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738

0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744

0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750

0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756

0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761

0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918

0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920

0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922

0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925

0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927

0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929

0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931

0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932

0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934

0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981

0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982

0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982

0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983

0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984

0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984

0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985

0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985

0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986

0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4

0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997

0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997

0,9987 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997

0,9988 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997

0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997

0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997

0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997

0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997

0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997

0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998

3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

Soluciones y criterios de corrección en texto

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CONVOCATÒRIA: EXTRAORDINÀRIA 2026 (extra)

CONVOCATORIA:EXTRAORDINARIA 2026 (extra)

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIS DE CORRECCIÓ / CRITERIOS DE CORRECCIÓN S’ha de contestar un dels dos problemes de l’apartat 1, un dels dos problemes de l’apartat 2 i el problema de l’apartat 3.

Totes les respostes han d’estar degudament raonades. En cada apartat, cada error en operacions aritmètiques elementals es penalitza amb 0,1 punts, fins a un màxim de penalització de 0,25 punts.

La penalització per errors ortogràfics i gramaticals s’aplica tenint en compte els criteris següents: i) els dos primers errors ortogràfics no es penalitzen i a partir de la tercera falta d’ortografia hi ha una penalització de 0,1 punts per cada falta, fins a una penalització màxima d’1 punt; ii) quan es repetisca la mateixa falta d’ortografia es compta com una sola; iii) la penalització per errors en la redacció, errors en la presentació, falta de coherència, falta de cohesió, incorrecció lèxica i incorrecció gramatical pot ser de fins a 0,5 punts, si bé la suma d’aquesta penalització i la penalització per errors ortogràfics no pot ser mai superior a 1 punt.

PROBLEMA 1.A.

a) De 0 a 0,5 punts per obtenir correctament l’expressió de 𝐵𝐵 𝐵𝐵𝑡𝑡 :

9 0

𝐵𝐵 𝐵𝐵𝑡𝑡 = � 0 9

b) De 0 a 0,5 punts per obtenir els valors de λ per als quals se satisfà la condició indicada: 𝜆𝜆 = 1/3 y 𝜆𝜆 = −1/3.

c) De 0 a 0,5 punts per obtenir correctament l’expressió de (𝐵𝐵 𝐵𝐵𝑡𝑡 )5 :

59049

𝐵𝐵 𝐵𝐵𝑡𝑡 = �

59049

d) De 0 a 1 punt por obtenir correctament l’expressió de 𝑋𝑋:

𝑋𝑋 = (𝐼𝐼 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑡𝑡 )𝐴𝐴−1

De 0 a 0,5 punts per calcular correctament 𝐴𝐴−1 :

1 −5

𝐴𝐴−1 = � 0 1 De 0 a 0,5 punts per calcular correctament 𝑋𝑋:

𝑋𝑋 = �

PROBLEMA 1.B.

4/3 −32/5

4/15 −2/5

Per plantejar el problema, de 0 a 1,5 punts, amb els criteris següents: 3 equacions correctes degudament justificades, 1,5 punts; 2 equacions correctes, 1 punt; 1 equació correcta, 0,5 punts. En cas que les tres equacions no estiguen degudament justificades, es descompten 0,25 punts. Anomenem P al preu dels processadors, T al de les targetes gràfiques i M al dels mòduls de memòria. Llavors, tenim:

2𝑃𝑃 + 𝑇𝑇 + 4𝑀𝑀 = 1020 �3𝑃𝑃 + 2𝑇𝑇 − 𝑀𝑀 = 1280 𝑇𝑇 = 𝑃𝑃 + 2𝑀𝑀

Per obtenir la solució del sistema d’equacions, de 0 a 2 punts, amb els criteris següents:

2 punts si la solució és correcta per al sistema plantejat per l’alumne i no hi ha incoherències (valors negatius o similar); si la solució no és la del sistema plantejat per l’alumne, la puntuació màxima és d’1,5 punts, en els quals es valora l’adequació i justificació del procediment de resolució. Si la solució obtinguda és incoherent amb l’enunciat (valors negatius o similar), es puntua aquesta part amb un 0, llevat que s’hi indique que la solució no és raonable i ha d’haver-hi algun error. La solució és 𝑃𝑃 = 220, 𝑇𝑇 = 340, 𝑀𝑀 = 60.

PROBLEMA 2.A.

a) De 0 a 0,5 punts por obtenir la funció:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

⎩ 50 + (𝑥𝑥 − 110)

si si si

𝑥𝑥 < 80

80 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 110 𝑥𝑥 > 110

De 0 a 0,25 punts per raonar per què la funció és discontínua en 𝑥𝑥 = 80. De 0 a 0,25 punts per raonar per què la funció és discontínua en 𝑥𝑥 = 110. De 0 a 0,25 punts per raonar per què la funció és contínua en qualsevol punt 𝑥𝑥 tal que 𝑥𝑥 ∊ [0, 80[ ∪ ]80, 110[ ∪ ]110, +∞[.

b) De 0 a 0,25 punts per identificar que s’ha de calcular la integral entre 120 i 125 de la funció 𝑥𝑥 − 60. De 0 a 0,25 punts per calcular una primitiva d’aquesta funció, que és de la forma 𝑥𝑥 2 /2 − 60𝑥𝑥 + 𝑐𝑐, en què 𝑐𝑐 és una constant real. De 0 a 0,5 punts per calcular el valor de la integral, que és 312,5.

c) De 0 a 0,75 punts per identificar que la velocitat 𝑥𝑥 a la qual ha d’anar un conductor per a haver de pagar una quantitat positiva i igual en totes dues carreteres és la solució de l’equació 3(𝑥𝑥 − 120) = 50 + (𝑥𝑥 − 110). De 0 a 0,25 punts per obtenir la solució d’aquesta equació és 𝑥𝑥 = 150. De 0 a 0,25 per indicar que les velocitats per

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

a les quals el conductor ha de pagar el mateix en totes dues carreteres són 150 km/h i les compreses entre 80 i 110 km/h, totes dues incloses.

PROBLEMA 2.B.

a) De 0 a 0,25 punts per raonar que el domini és tot el conjunt dels nombres reals. De 0 a 0,25 punts per determinar els punts de tall amb els eixos: els punts (0,0) i (1,0).

b) De 0 a 0,25 punts per raonar que no hi ha asímptotes verticals. De 0 a 0,25 punts per obtenir l’asímptota horitzontal: la recta d’equació 𝑦𝑦 = 1.

c) De 0 a 0,7 punts per obtenir els intervals de creixement: la funció és creixent en ] − ∞, −1 − √2[ ∪ ] − 1 + √2, +∞[. De 0 a 0,7 punts per obtenir l’interval de decreixement: la funció és decreixent en l’interval ] − 1 + √2, −1 + √2[ . De 0 a 0,3 punts per calcular el màxim local de la funció: la funció té un màxim local en 𝑥𝑥1 = −1 − √2 ≈ −2,4142, i per a aquest valor s’obté 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) =

4+3√2 ≈ 1,2071. De 0 a 0,3 punts 4+2√2

per calcular el mínim local de la funció: la funció té un mínim local en 𝑥𝑥2 = −1 + √2 ≈ 0,4142, i per a aquest valor s’obté 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ) =

4−3√2 ≈ −0,2071.

4−2√2

d) De 0 a 0,5 punts per la gràfica de la funció. A partir dels resultats anteriors, la gràfica de la funció és:

f(x)

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

PROBLEMA 3.

a) De 0 a 0,25 punts per raonar correctament com obtenir la probabilitat d’aquest succés i de 0 a 0,25 punts per calcular-la. La resposta correcta és 0,12.

b) De 0 a 0,5 punts per identificar correctament les dues situacions en què es compleix el succés la probabilitat del qual es vol calcular, i de 0 a 0,5 punts pel càlcul de les probabilitats de cadascuna d’aquestes situacions. La resposta correcta és 0,7 · 0,6 · 0,25 + 0,7 · 0,4 · 0,55 = 0,259.

c) De 0 a 0,25 punts per identificar que es tracta d’una probabilitat condicional i conéixer-ne la fórmula, i de 0 a 0,25 punts per calcular el numerador (el càlcul del denominador s’ha valorat en l’apartat anterior). La resposta correcta és 0,7 ⋅ 0,6 ⋅ 0,25 ≈ 0,4054.

0,259

d) De 0 a 0,5 punts per identificar la distribució binomial que permet obtenir aquesta probabilitat i de 0 a 0,5 punts per calcular correctament les probabilitats de les tres situacions en què es compleix el succés la probabilitat del qual es vol calcular. La resposta correcta és 0,1172 + 0,0320 + 0,0037 = 0,1529.

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CONVOCATÒRIA:

2026

CONVOCATORIA:

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

2026

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIS DE CORRECCIÓ / CRITERIOS DE CORRECCIÓN Se ha de contestar uno de los dos problemas del Apartado 1, uno de los dos problemas del Apartado 2, y el problema del Apartado 3.

Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas. En cada apartado, los errores en operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos.

La penalización por errores ortográficos y gramaticales se aplicará teniendo en cuenta los criterios siguientes: i) los dos primeros errores ortográficos no se penalizarán; ii) cuando se repita la misma falta de ortografía se contará como una sola; a partir de la tercera falta de ortografía habrá una penalización de 0,1 puntos por cada falta, hasta una penalización máxima de un punto; iv) la penalización por errores en la redacción, errores en la presentación, falta de coherencia, falta de cohesión, incorrección léxica e incorrección gramatical podrá ser de hasta 0,5 puntos, si bien la suma de esta penalización y la penalización por errores ortográficos nunca podrá ser superior a 1 punto.

PROBLEMA 1. A.

a) De 0 a 0,5 puntos por obtener correctamente la expresión de 𝐵𝐵 𝐵𝐵𝑡𝑡 :

9 0 𝐵𝐵 𝐵𝐵𝑡𝑡 = �

0 9

b) De 0 a 0,5 puntos por obtener los valores de 𝜆𝜆 para los que se satisface la condición indicada: 𝜆𝜆 = 1/3 y 𝜆𝜆 = −1/3.

c) De 0 a 0,5 puntos por obtener correctamente la expresión de (𝐵𝐵 𝐵𝐵𝑡𝑡 )5 :

59049

𝐵𝐵 𝐵𝐵𝑡𝑡 = �

59049

d) De 0 a 1 punto por obtener correctamente la expresión de 𝑋𝑋:

𝑋𝑋 = (𝐼𝐼 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝑡𝑡 )𝐴𝐴−1

De 0 a 0,5 puntos por calcular correctamente 𝐴𝐴−1 :

1 −5 𝐴𝐴−1 = �

0 1 De 0 a 0,5 puntos por calcular correctamente 𝑋𝑋:

4/3 −32/5 𝑋𝑋 = �

4/15 −2/5

PROBLEMA 1. B.

Por el planteamiento del problema, de 0 a 1,5 puntos con los siguientes criterios: 3 ecuaciones correctas debidamente justificadas, 1,5 puntos; 2 ecuaciones correctas, 1 punto; 1 ecuación correcta, 0,5 puntos. En caso de que las tres ecuaciones no estén debidamente justificadas, se descontarán 0,25 puntos. Llamamos P al precio de los procesadores, T al de las tarjetas gráficas y M al de los módulos de memoria. Entonces, tenemos:

2𝑃𝑃 + 𝑇𝑇 + 4𝑀𝑀 = 1020 �3𝑃𝑃 + 2𝑇𝑇 − 𝑀𝑀 = 1280 𝑇𝑇 = 𝑃𝑃 + 2𝑀𝑀

Por la obtención de la solución del sistema de ecuaciones, de 0 a 2 puntos con los siguientes criterios: 2 puntos si la solución es correcta para el sistema planteado por el alumno y no hay incoherencias (valores negativos o similar); si la solución no es la del sistema planteado por el alumno, la puntuación máxima será de 1,5 puntos, en los que se valorará la adecuación y justificación del procedimiento de resolución. Si la solución obtenida es incoherente con el enunciado (valores negativos o similar), se puntuará esta parte con un 0, salvo que se indique que la solución no es razonable y debe haber algún error. La solución es 𝑃𝑃 = 220, 𝑇𝑇 = 340, 𝑀𝑀 = 60.

PROBLEMA 2. A.

a) De 0 a 0,5 puntos por obtener la función:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

⎩ 50 + (𝑥𝑥 − 110)

si si si

𝑥𝑥 < 80

80 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 110 𝑥𝑥 > 110

De 0 a 0,25 puntos por razonar por qué la función es discontinua en 𝑥𝑥 = 80. De 0 a 0,25 puntos por razonar por qué la función es discontinua en 𝑥𝑥 = 110. De 0 a 0,25 puntos por razonar por qué la función es continua en cualquier punto 𝑥𝑥 tal que 𝑥𝑥 ∊ [0, 80[ ∪ ]80, 110[ ∪ ]110, +∞[.

b) De 0 a 0,25 puntos por identificar que debe calcularse la integral entre 120 y 125 de la función 𝑥𝑥 − 60. De 0 a 0,25 puntos por calcular una primitiva de esta función, que es de la forma 𝑥𝑥 2 /2 − 60𝑥𝑥 + 𝑐𝑐, siendo 𝑐𝑐 una constante real. De 0 a 0,5 puntos por calcular el valor de la integral, que es 312,5.

c) De 0 a 0,75 puntos por identificar que la velocidad 𝑥𝑥 a que debe ir un conductor para tener que pagar una cantidad positiva e igual en ambas carreteras es la solución de la ecuación 3(𝑥𝑥 − 120) = 50 + (𝑥𝑥 − 110). De 0 a 0,25 puntos por obtener la solución de esta ecuación es 𝑥𝑥 = 150. De 0 a 0,25 por indicar que las velocidades para las que el conductor tendrá que pagar lo mismo en ambas carreteras son 150 km/h y las comprendidas entre 80 y 110 km/h, ambas incluidas.

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PROBLEMA 2. B.

a) De 0 a 0,25 puntos por razonar que el dominio es todo el conjunto de los números reales. De 0 a 0,25 puntos por la determinación de los puntos de corte con los ejes:

los puntos (0,0) y (1,0).

b) De 0 a 0,25 puntos por razonar que no existen asíntotas verticales. De 0 a 0,25 puntos por la obtención de la asíntota horizontal: la recta de ecuación 𝑦𝑦 = 1.

c) De 0 a 0,7 puntos por la obtención de los intervalos de crecimiento: la función es creciente en ] − ∞, −1 − √2[ ∪ ] − 1 + √2, +∞[. De 0 a 0,7 puntos por la obtención del intervalo de decrecimiento: la función es decreciente en el intervalo ] − 1 + √2, −1 + √2[ . De 0 a 0,3 puntos por el cálculo del máximo local de la función: la función tiene un máximo local en 𝑥𝑥1 = −1 − √2 ≈ −2,4142, y para este valor se obtiene 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) = 4+3√2 ≈ 1,2071. De 0 a 0,3 puntos por el cálculo del mínimo local de la función: la 4+2√2

función tiene un mínimo local en 𝑥𝑥2 = −1 + √2 ≈ 0,4142, y para este valor se obtiene

𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ) =

4−3√2 ≈ −0,2071.

4−2√2

d) De 0 a 0,5 puntos por la gráfica de la función. A partir de los resultados anteriores, la gráfica de la función es:

f(x)

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

PROBLEMA 3.

a) De 0 a 0,25 puntos por razonar correctamente cómo obtener la probabilidad de este suceso y de 0 a 0,25 puntos por su cálculo. La respuesta correcta es 0,12.

b) De 0 a 0,5 puntos por identificar correctamente las dos situaciones en que se cumple el suceso cuya probabilidad se quiere calcular, y de 0 a 0,5 puntos por el cálculo de las probabilidades de cada una de estas situaciones. La respuesta correcta es 0,7 · 0,6 · 0,25 + 0,7 · 0,4 · 0,55 = 0,259.

c) De 0 a 0,25 puntos por identificar que se trata de una probabilidad condicional y conocer la fórmula de esta, y de 0 a 0,25 puntos por el cálculo del numerador (el cálculo del denominador se ha valorado en el apartado anterior). La respuesta correcta es 0,7 ⋅ 0,6 ⋅ 0,25 ≈ 0,4054.

0,259

d) De 0 a 0,5 puntos por identificar la distribución binomial que permite obtener esta probabilidad y de 0 a 0,5 puntos por calcular correctamente las probabilidades de las tres situaciones en que se cumple el suceso cuya probabilidad se quiere calcular.

La respuesta correcta es 0,1172 + 0,0320 + 0,0037 = 0,1529.