Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2026

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CONVOCATÒRIA: ORDINÀRIA 2026

CONVOCATORIA: ORDINARIA 2026

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

BAREM DE L’EXAMEN: S’ha de contestar un problema de l’apartat 1, un problema de l’apartat 2 i el

problema de l’apartat 3. En cada qüestió s’indica la puntuació màxima, i la nota final és la suma de les qualificacions de cadascuna de les qüestions. Es permet l’ús de calculadores sempre que no siguen gràfiques o programables i que no puguen fer càlcul simbòlic ni emmagatzemar text o fórmules en memòria. S’utilitze o no la calculadora, els resultats analítics, numèrics i gràfics han d’estar sempre degudament justificats. Està permés l’ús de regla. Les gràfiques s’han de fer amb el mateix color que la resta de l’examen.

Totes les respostes han de estar degudament raonades.

Apartat 1. Responeu a un problema d’aquest apartat dels dos proposats.

Problema 1.A. Considerem les matrius:

4 −1 �, 𝐵𝐵 = � −2 3

1 0 𝐶𝐶 = �0 1�, 1 0

1 −1 𝐷𝐷 = �−2 0 �.

a) Determineu la matriu 𝑋𝑋 que és solució de l’equació 4𝑋𝑋𝑋𝑋 + 𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝐷𝐷 = 𝐼𝐼, en què 𝐼𝐼 és la matriu identitat d’ordre 2 i 𝐶𝐶 𝑡𝑡 la transposada de la matriu 𝐶𝐶.

(2 punts)

b) Una matriu 𝐴𝐴 es diu que és idempotent si 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴. Considerem la matriu:

1 1 0 0

𝐹𝐹 = �

𝑧𝑧

Determineu per a quins valors de 𝑧𝑧 la matriu 𝐹𝐹𝐹𝐹 és idempotent.

(1,5 punts)

Problema 1.B. Una granja vol crear una mescla fertilitzant líquida utilitzant dos compostos comercials, NutriMax i BioGrow. Cada litre d’aquests compostos aporta diferents quantitats d’unitats de nitrogen, fòsfor i potassi. Perquè el cultiu siga productiu, els agrònoms han determinat que s’han d’aplicar al terreny com a mínim 8 unitats de nitrogen, 6 unitats de fòsfor i 10 unitats de potassi. Se sap que un litre de NutriMex conté 2 unitats de nitrogen, 1 unitat de fòsfor i 1 unitat de potassi, mentre que un litre de BioGrow conté 1 unitat de nitrogen, 1 unitat de fòsfor i 2 unitats de potassi. El cost d’un litre de NutriMax és de 5 euros i el de BioGrow és de 4 euros.

a) Quants litres de cada producte s’han de utilitzar perquè el cost de la mescla siga mínim?

(3 punts)

b) Quin és aquest cost mínim?

(0,5 punts)

Apartat 2. Responeu a un problema d’aquest apartat dels dos proposats.

Problema 2.A. El valor de mercat d’una empresa (en milions d’euros) depén del temps t (en anys) i ve donat per la funció:

𝑡𝑡 2 + 2, 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1, ⎧ 𝑎𝑎

+ 2, 1 < 𝑡𝑡 ≤ 2, 𝑔𝑔(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡

⎪𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 , 2 < 𝑡𝑡 ≤ 4.

𝑡𝑡 2

a) Tenint en compte que la funció ha de ser contínua i que 𝑔𝑔’(3) = 23/27, determineu 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 i 𝑐𝑐.

(1 punt)

b) L’empresa ha tingut tres gerents, el primer quan 𝑡𝑡 ∈ [0,1], el segon quan 𝑡𝑡 ∈ (1,2] i el tercer quan 𝑡𝑡 ∈ (2,4]. Determineu si amb tots els gerents el valor de mercat ha anat creixent.

(1 punt)

c) Determineu els màxims i mínims absoluts i relatius per al valor de mercat.

(0,5 punts)

d) El salari d’un gerent a l’any és cent mil vegades la integral de la funció 𝑔𝑔 durant el període que ha estat. Calculeu el salari del primer gerent.

(1 punt) Problema 2.B. Certa empresa tecnològica ofereix servici d'emmagatzematge de dades en el núvol. Els seus ingresos 𝐼𝐼 (en unitats monetàries) depenen de la quantitat de dades emmagatzemades 𝑥𝑥 (en terabytes), sent 𝐼𝐼(𝑥𝑥) = 400 𝑥𝑥, i la seua funció de despeses 𝐺𝐺 (en unitats monetàries) depèn també de la quantitat de dades emmagatzemades 𝑥𝑥 (en terabytes), sent 𝐺𝐺(𝑥𝑥) = 4 𝑥𝑥 2 + 100.

a) Calculeu la quantitat de dades que maximitza el benefici (ingressos menys despeses), i indiqueu quin és el benefici màxim que pot obtenir l’empresa. (1 punt)

b) La ràtio ingressos/despeses mesura l’eficiència financera de l’empresa. Calculeu la quantitat de dades per als quals l’eficiència financera de l’empresa és màxima, i indiqueu quina és aquesta eficiència màxima.

(1,5 punts)

c) Calculeu ∫0 𝐺𝐺(𝑥𝑥)2 𝑑𝑑𝑑𝑑.

(1 punt)

Apartat 3. Responeu a l’únic problema d’aquest apartat.

Problema 3. En una empresa de pintures se sap que hi ha tres tipus d’empleats: becaris, aprenents i mestres. El 50% dels empleats són becaris i el 35% aprenents. Entre els becaris, el 80% té estudis superiors i entre els mestres tan sols el 15% no té estudis superiors. Se sap que el 79% dels empleats de l’empresa té estudis superiors.

Seleccionem a l’atzar un empleat d’aquesta empresa.

a) Calculeu la probabilitat que l’empleat seleccionat tinga estudis superiors i siga aprenent.

(1 punt)

b) Si sabem que l’empleat seleccionat no té estudis superiors, quina és la probabilitat que siga aprenent?

(1 punt)

c) Calculeu la probabilitat de la intersecció dels successos “l’empleat seleccionat és aprenent o becari” i “l’empleat seleccionat té estudis superiors o és aprenent”.

(1 punt)

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CONVOCATÒRIA: ORDINÀRIA 2026

CONVOCATORIA: ORDINARIA 2026

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

BAREMO DEL EXAMEN: Se ha de contestar un problema del apartado 1, un problema del apartado 2 y

el problema del apartado 3. En cada cuestión se indica la puntuación máxima, siendo la nota final la suma de las calificaciones de cada una ellas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados. Está permitido el uso de regla. Las gráficas se harán con el mismo color que el resto del examen.

Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas.

Apartado 1. Responde un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 1. A. Consideramos las matrices:

1 0 4 −1 �, 𝐶𝐶 = �0 1�, 𝐵𝐵 = � −2 3 1 0

1 −1 𝐷𝐷 = �−2 0 �.

a) Determina la matriz 𝑋𝑋 que es solución de la ecuación 4𝑋𝑋𝑋𝑋 + 𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝐷𝐷 = 𝐼𝐼, siendo 𝐼𝐼 la matriz (2 puntos) identidad de orden 2 y 𝐶𝐶 𝑡𝑡 la traspuesta de la matriz 𝐶𝐶.

b) Una matriz 𝐴𝐴 se dice que es idempotente si 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴. Consideramos la matriz:

1 1 0 0

𝐹𝐹 = �

𝑧𝑧

Determina para qué valores de 𝑧𝑧 la matriz 𝐹𝐹𝐹𝐹 es idempotente.

(1,5 puntos)

Problema 1. B. Una granja desea crear una mezcla fertilizante líquida utilizando dos compuestos comerciales, NutriMax y BioGrow. Cada litro de estos compuestos aporta diferentes cantidades de unidades de nitrógeno, fósforo y potasio. Para que el cultivo sea productivo, los agrónomos han determinado que se deben aplicar al terreno como mínimo 8 unidades de nitrógeno, 6 unidades de fósforo y 10 unidades de potasio. Se sabe que un litro de NutriMex contiene 2 unidades de nitrógeno, 1 unidad de fósforo y 1 unidad de potasio, mientras que un litro de BioGrow contiene 1 unidad de nitrógeno, 1 unidad de fósforo y 2 unidades de potasio. El coste de un litro de NutriMax es de 5 euros y el de BioGrow es de 4 euros.

a) ¿Cuántos litros de cada producto han de utilizarse para que el coste de la mezcla sea mínimo?

(3 puntos)

b) ¿Cuál es dicho coste mínimo?

(0,5 puntos)

Apartado 2. Responde un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 2. A. El valor de mercado de una empresa (en millones de euros) depende del tiempo t (en años) y viene dado por la función:

𝑡𝑡 2 + 2, 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1, ⎧ 𝑎𝑎

+ 2, 1 < 𝑡𝑡 ≤ 2, 𝑔𝑔(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡

⎪𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 , 2 < 𝑡𝑡 ≤ 4.

𝑡𝑡 2

a) Teniendo en cuenta que la función debe ser continua y que 𝑔𝑔’(3) = 23/27, determina 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐.

(1 punto)

b) La empresa ha tenido tres gerentes, el primero cuando 𝑡𝑡 ∈ [0,1], el segundo cuando 𝑡𝑡 ∈ (1,2] y el tercero cuando 𝑡𝑡 ∈ (2,4]. Determina si con todos los gerentes el valor de mercado ha ido creciendo.

(1 punto)

c) Determina los máximos y mínimos absolutos y relativos para el valor de mercado.

(0,5 puntos)

d) El salario de un gerente al año es cien mil veces la integral de la función 𝑔𝑔 durante el período que ha estado. Calcula el salario del primer gerente.

(1 punto) Problema 2. B. Cierta empresa tecnológica ofrece servicio de almacenamiento de datos en la nube. Sus ingresos 𝐼𝐼 (en unidades monetarias) dependen de la cantidad de datos almacenados 𝑥𝑥 (en terabytes), siendo 𝐼𝐼(𝑥𝑥) = 400 𝑥𝑥, y su función de gastos 𝐺𝐺 (en unidades monetarias) depende también de la cantidad de datos almacenados 𝑥𝑥 (en terabytes), siendo 𝐺𝐺(𝑥𝑥) = 4 𝑥𝑥 2 + 100.

a) Calcula la cantidad de datos que maximiza el beneficio (ingresos menos gastos), e indica cuál es el beneficio máximo que puede obtener la empresa.

(1 punto)

b) El ratio ingresos/gastos mide la eficiencia financiera de la empresa. Calcula la cantidad de datos para los cuales la eficiencia financiera de la empresa es máxima, e indica cuál es esa eficiencia máxima.

(1,5 puntos)

c) Calcula ∫0 𝐺𝐺(𝑥𝑥)2 𝑑𝑑𝑑𝑑.

(1 punto)

Apartado 3. Responda el único problema de este apartado.

Problema 3. En una empresa de pinturas se sabe que hay tres tipos de empleados:

becarios, aprendices y maestros. El 50% de los empleados son becarios y el 35% aprendices. Entre los becarios, el 80% tiene estudios superiores y entre los maestros tan solo el 15% no tiene estudios superiores. Se sabe que el 79% de los empleados de la empresa tiene estudios superiores. Seleccionamos al azar un empleado de esta empresa.

a) Calcula la probabilidad de que el empleado seleccionado tenga estudios superiores y sea aprendiz.

(1 punto)

b) Si sabemos que el empleado no tiene estudios superiores, ¿cuál es la probabilidad de que sea aprendiz?

(1 punto)

c) Calcula la probabilidad de la intersección de los sucesos "el empleado seleccionado es aprendiz o becario" y "el empleado seleccionado tiene estudios superiores o es aprendiz".

(1 punto)

Soluciones y criterios de corrección en texto

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CONVOCATÒRIA: ORDINÀRIA 2026

CONVOCATORIA: ORDINARIA 2026

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIS DE CORRECCIÓ / CRITERIOS DE CORRECCIÓN S’ha de contestar un dels dos problemes de l’apartat 1, un dels dos problemes de l’apartat 2 i el problema de l’apartat 3.

Totes les respostes han d’estar degudament raonades. En cada apartat, cada error en operacions aritmètiques elementals es penalitza amb 0,1 punts, fins a un màxim de penalització de 0,25 punts.

La penalització per errors ortogràfics i gramaticals s’aplica tenint en compte els criteris següents: i) els dos primers errors ortogràfics no es penalitzen i a partir de la tercera falta d’ortografia hi ha una penalització de 0,1 punts per cada falta, fins a una penalització màxima d’1 punt; ii) quan es repetisca la mateixa falta d’ortografia es compta com una sola; iii) la penalització per errors en la redacció, errors en la presentació, falta de coherència, falta de cohesió, incorrecció lèxica i incorrecció gramatical pot ser de fins a 0,5 punts, si bé la suma d’aquesta penalització i la penalització per errors ortogràfics no pot ser mai superior a 1 punt.

PROBLEMA 1.A.

a) De 0 a 1 punt per obtenir correctament l’expressió de la matriu 𝑋𝑋:

𝑋𝑋 = (𝐼𝐼 − 𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝐷𝐷)𝐵𝐵 −1

De 0 a 0,25 punts per calcular correctament la matriu 𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝐷𝐷 :

2 2 𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝐷𝐷 = �

−2 0 De 0 a 0,5 punts per calcular correctament la matriu 𝐵𝐵 −1 :

3/10 1/10

𝐵𝐵 −1 = � 2/10 4/10

De 0 a 0,25 punts per calcular correctament la matriu 𝑋𝑋 :

−7/40 −9/40

𝑋𝑋 = �

b) De 0 a 0,75 punts per obtenir correctament 𝐹𝐹𝐹𝐹 i (𝐹𝐹𝐹𝐹)2 . De 0 a 0,5 punts per plantejar correctament l’equació que permet obtenir 𝑧𝑧. De 0 a 0,25 punts per obtenir el resultat 𝑧𝑧 = 0.

PROBLEMA 1.B.

Denotem per 𝑥𝑥 els litres de NutriMax i per 𝑦𝑦 els litres de BioGrow.

a) De 0 a 0,25 punts per obtenir la funció objectiu: 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 5𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦. De 0 a 0,75 punts per plantejar les restriccions, amb els criteris següents: 0,25 punts si només hi ha una restricció correcta, 0,50 punts si només hi ha dues restriccions correctes i 0,75 punts si les tres restriccions són correctes (les restriccions de no negativitat no donen punts). En cas que les restriccions no estiguen degudament justificades, es descompten 0,25 punts. Les restriccions són:

2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥ 8 ⎧ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥ 6

𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 ≥ 10 ⎨ 𝑥𝑥 ≥ 0

⎩ 𝑦𝑦 ≥ 0 De 0 a 1,5 punts per obtenir la regió factible: regió no fitada de vèrtexs 𝐴𝐴(0,8), 𝐵𝐵(2,4) i 𝐶𝐶(10,0). De 0 a 0,5 punts per obtenir la solució correcta: el cost mínim s’obté utilitzant 2 litres de NutriMax i 4 litres de BioGrow.

b) De 0 a 0,5 punts per obtenir el cost mínim, 26 euros.

Si la solució s’obté per qualsevol altre mètode raonat i correcte, es puntua de 0 a 3,5 punts. La regió factible és la regió ratllada del gràfic següent:

-1

-1

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PROBLEMA 2.A.

a) De 0 a 0,25 punts per plantejar correctament les condicions per a a, b, c; de 0 a 0,5 punts pel càlcul correcte de g’; de 0 a 0,25 punts pel càlcul correcte de a=1, b=2 i c=1.

b) De 0 a 0,25 punts per analitzar correctament la funció en el primer tram. La funció és creixent.

De 0 a 0,25 punts per analitzar correctament la funció en el segon tram. La funció és decreixent.

De 0 a 0,5 punts per analitzar correctament la funció en el tercer tram. La funció és creixent.

c) De 0 a 0,25 punts per justificar que no hi ha màxims ni mínims relatius a l’interior de cap dels trams; de 0 a 0,25 punts per justificar que hi ha un màxim relatiu en 1, un mínim relatiu en 2, mínim absolut en 0 i màxim absolut en 4.

d) De 0 a 0,5 punts per calcular correctament la integral indefinida; de 0 a 0,5 punts pel càlcul del salari que és de 700 000/3 ≈ 233 333,3333 €.

PROBLEMA 2.B.

a) De 0 a 0,25 punts per calcular correctament la derivada de la funció benefici.

De 0 a 0,5 punts per determinar que el màxim s’assoleix per a x=50.

De 0 a 0,25 punts per determinar que el benefici màxim són 9900 €.

b) De 0 a 0,75 punts per calcular correctament la derivada 𝑒𝑒 ′ (𝑥𝑥) =

−1600x2 +40000 (4x2 +100)2

De 0 a 0,5 punts per determinar que el màxim s’assoleix per a x=5.

De 0 a 0,25 punts per determinar que l’eficiència màxima és igual a 10.

c) De 0 a 0,25 punts per expressar correctament la integral que s’ha de calcular

desenvolupant 𝐺𝐺(𝑥𝑥)2 : ∫0 (4x 2 + 100)2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫0 (16x 4 + 800x 2 + 10000) 𝑑𝑑𝑑𝑑

De 0 a 0,5 punts per calcular la primitiva, que és: 5 𝑥𝑥 5 + 3 𝑥𝑥 3 + 10000𝑥𝑥 + 𝐴𝐴.

De 0 a 0,25 punts per calcular la solució, que és 333 536/15 ≈ 22 235,73.

PROBLEMA 3.

a) De 0 a 0,75 punts per utilitzar un procediment correcte per a determinar la probabilitat demanada.

De 0 a 0,25 punts per obtenir aquesta probabilitat, P(Tenir estudis superiors ∩ Aprenent)=0,2625.

b) De 0 a 0,25 punts per identificar que es tracta de la probabilitat condicional P(Aprenent | No tenir estudis superiors) i conèixer-ne la fórmula; de 0 a 0,5 punts per calcular el numerador P(Aprenent ∩ No tenir estudis superiors)=0,0875, i de 0 a 0,25 punts per calcular el denominador. El resultat és P(Aprenent | No tenir estudis superiors)= 5/12 ≈ 0,4167.

c) De 0 a 0,75 punts per utilitzar un procediment correcte per a determinar la probabilitat de la intersecció dels successos que s’hi indiquen.

De 0 a 0,25 punts per calcular aquesta probabilitat. P((Aprenent ⋃ Becari)∩(Tenir estudis superiors ⋃ Aprenent))=0,75.

Si en algun apartat s’obté alguna probabilitat impossible, aquest apartat es puntua amb un 0.

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CONVOCATÒRIA: ORDINÀRIA 2026

CONVOCATORIA: ORDINARIA 2026

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIS DE CORRECCIÓ / CRITERIOS DE CORRECCIÓN

Se ha de contestar uno de los dos problemas del apartado 1, uno de los dos problemas del apartado 2, y el problema del apartado 3.

Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas. En cada apartado, cada error en operaciones aritméticas elementales se penalizará con 0,1 puntos, hasta un máximo de penalización de 0,25 puntos.

La penalización por errores ortográficos y gramaticales se aplicará teniendo en cuenta los criterios siguientes: i) los dos primeros errores ortográficos no se penalizarán; ii) cuando se repita la misma falta de ortografía se contará como una sola; a partir de la tercera falta de ortografía habrá una penalización de 0,1 puntos por cada falta, hasta una penalización máxima de un punto; iii) la penalización por errores en la redacción, errores en la presentación, falta de coherencia, falta de cohesión, incorrección léxica e incorrección gramatical podrá ser de hasta 0,5 puntos, si bien la suma de esta penalización y la penalización por errores ortográficos nunca podrá ser superior a 1 punto.

PROBLEMA 1. A.

a) De 0 a 1 punto por obtener correctamente la expresión de la matriz 𝑋𝑋:

𝑋𝑋 = (𝐼𝐼 − 𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝐷𝐷)𝐵𝐵 −1

De 0 a 0,25 puntos por el cálculo correcto de la matriz 𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝐷𝐷 :

2 2 𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝐷𝐷 = �

−2 0 De 0 a 0,5 puntos por el cálculo correcto de la matriz 𝐵𝐵 −1 :

3/10 1/10

𝐵𝐵 −1 = � 2/10 4/10 De 0 a 0,25 puntos por el cálculo correcto de la matriz 𝑋𝑋.

−7/40 −9/40

𝑋𝑋 = �

b) De 0 a 0,75 puntos por obtener correctamente 𝐹𝐹𝐹𝐹 y (𝐹𝐹𝐹𝐹)2. De 0 a 0,5 puntos por plantear correctamente la ecuación que permite obtener 𝑧𝑧. De 0 a 0,25 puntos por la obtención del resultado 𝑧𝑧 = 0.

PROBLEMA 1. B.

Denotamos por 𝑥𝑥 los litros de NutriMax y por 𝑦𝑦 los litros de BioGrow.

a) De 0 a 0,25 puntos por la obtención de la función objetivo: 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 5𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦.

De 0 a 0,75 puntos por el planteamiento de las restricciones, con los siguientes criterios: 0,25 puntos si solo hay una restricción correcta, 0,50 puntos si solo hay dos restricciones correctas y 0,75 puntos si las tres restricciones son correctas (las restricciones de no negatividad no dan puntos). En caso de que las restricciones no estén debidamente justificadas, se descontarán 0,25 puntos. Las restricciones son:

2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥ 8 ⎧ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≥ 6

𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 ≥ 10 ⎨ 𝑥𝑥 ≥ 0

⎩ 𝑦𝑦 ≥ 0

De 0 a 1,5 puntos por obtener la región factible: región no acotada de vértices 𝐴𝐴(0,8),

𝐵𝐵(2,4) y 𝐶𝐶(10,0). De 0 a 0,5 puntos por la obtención de la solución correcta: el coste

mínimo se obtiene utilizando 2 litros de NutriMax y 4 litros de BioGrow.

b) De 0 a 0,5 puntos por la obtención del coste mínimo, 26 euros.

Si la solución se obtiene por cualquier otro método razonado y correcto, se puntuará de 0 a 3,5 puntos. La región factible es la región rayada del gráfico siguiente:

-1

-1

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PROBLEMA 2. A.

a) De 0 a 0,25 puntos por el planteamiento correcto de las condiciones para a,b,c ; de 0 a 0,5 puntos por el cálculo correcto de g’ ; de 0 a 0,25 puntos por el cálculo correcto de a=1, b=2 y c=1.

b) De 0 a 0,25 puntos por analizar correctamente la función en el primer tramo. La función es creciente.

De 0 a 0,25 puntos por analizar correctamente la función en el segundo tramo. La función es decreciente.

De 0 a 0,5 puntos por analizar correctamente la función en el tercer tramo. La función es creciente.

c) De 0 a 0,25 puntos por justificar que no hay máximos ni mínimos relativos en el interior de ninguno de los tramos ; de 0 a 0,25 puntos por justificar que hay un máximo relativo en 1, un mínimo relativo en 2, mínimo absoluto en 0 y máximo absoluto en 4.

d) De 0 a 0,5 puntos por el cálculo correcto de la integral indefinida ; de 0 a 0,5 puntos por el cálculo del salario que es de 700 000/3 ≈ 233 333,3333 €.

PROBLEMA 2. B.

a) De 0 a 0,25 puntos por calcular correctamente la derivada de la función beneficio.

De 0 a 0,5 puntos por determinar que el máximo se alcanza para x=50.

De 0 a 0,25 puntos por determinar que el beneficio máximo son 9900€.

b) De 0 a 0,75 puntos por calcular correctamente la derivada 𝑒𝑒 ′ (𝑥𝑥) =

−1600x2 +40000 (4x2 +100)2

De 0 a 0,5 puntos por determinar que el máximo se alcanza para x=5.

De 0 a 0,25 puntos por determinar que la eficiencia máxima es igual a 10.

c) De 0 a 0,25 puntos por expresar correctamente la integral que debe calcularse, desarrollando 𝐺𝐺(𝑥𝑥)2:

∫0 (4x 2 + 100)2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫0 (16x 4 + 800x 2 + 10000) 𝑑𝑑𝑑𝑑.

De 0 a 0,5 puntos por el cálculo de la primitiva, que es: 5 𝑥𝑥 5 + 3 𝑥𝑥 3 + 10000𝑥𝑥 + 𝐴𝐴.

De 0 a 0,25 puntos por el cálculo de la solución, que es 333 536/15 ≈ 22 235,73.

PROBLEMA 3.

a) De 0 a 0,75 puntos por utilizar un procedimiento correcto para determinar la probabilidad pedida.

De 0 a 0,25 puntos obtener dicha probabilidad, P(Tener estudios superiores ∩ Aprendiz)=0,2625.

b) De 0 a 0,25 puntos por identificar que se trata de la probabilidad condicional P(Aprendiz | No tener estudios superiores) y conocer la fórmula de esta; de 0 a 0,5 puntos por el cálculo del numerador P(Aprendiz ∩ No tener estudios superiores)=0,0875 y de 0 a 0,25 puntos por el cálculo del denominador. El resultado es P(Aprendiz | No tener estudios superiores)=5/12 ≈ 0,4167.

c) De 0 a 0,75 puntos por utilizar un procedimiento correcto para determinar la probabilidad de la intersección de los sucesos que se indican.

De 0 a 0,25 puntos por el cálculo de dicha probabilidad. P((Aprendiz ⋃ Becario)∩(Tener estudios superiores ⋃ Aprendiz))=0,75.

Si en algún apartado se obtiene alguna probabilidad imposible, este apartado se puntuará con un 0.