Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2026

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CONVOCATÒRIA: ORDINÀRIA 2026 (extra)

CONVOCATORIA: ORDINARIA 2026 (extra)

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

BAREM DE L’EXAMEN: S’ha de contestar un problema de l’apartat 1, un problema de l’apartat 2 i el

problema de l’apartat 3. En cada qüestió s’indica la puntuació màxima, i la nota final és la suma de les qualificacions de cadascuna de les qüestions. Es permet l’ús de calculadores sempre que no siguen gràfiques o programables i que no puguen fer càlcul simbòlic ni emmagatzemar text o fórmules en memòria. S’utilitze o no la calculadora, els resultats analítics, numèrics i gràfics han d’estar sempre degudament justificats. Està permés l’ús de regla. Les gràfiques s’han de fer amb el mateix color que la resta de l’examen.

Totes les respostes han de estar degudament raonades.

Problema 1.A. Una empresa dedicada al desenvolupament de videojocs disposa de tres equips de treball: un format per 8 persones encarregades del disseny dels personatges, un altre compost per 15 persones responsables de la creació de les pantalles del joc, i un tercer de 14 persones dedicat al so i l’ambientació. L’empresa desenvolupa jocs de consola i jocs d’ordinador. Cada joc de consola genera un benefici diari de 100 euros, mentre que cada joc d’ordinador produeix un benefici diari de 90 euros. Per a elaborar tots dos tipus de jocs es requereix una persona de l’equip de disseny de personatges. A més, per al disseny de les pantalles d’un joc de consola es necessiten dues persones i per al d’un joc d’ordinador se’n necessita només una. Per al so i l’ambientació d’un joc d’ordinador es necessiten dues persones i per a un joc de consola només una. Es demana:

a) Quants jocs de consola i quants d’ordinador s’han de fer perquè el benefici diari siga màxim?

(3 punts)

b) Quin és el benefici diari màxim?

(0,5 punts)

Problema 1.B. Una empresa estudia els preus de la subscripció a les plataformes d’estríming Metfilm, Lamparx i Tuing. L’any 2023 amb 1850 € es van poder contractar 40 subscripcions a Metfilm, 50 a Lamparx i 20 a Tuing. En 2024, Metfilm i Lamparx van pujar la quota 1 € mentre que Tuing va mantenir el preu i, amb el mateix pressupost, es van haver de reduir 2 subscripcions de Metfilm i 3 de Lamparx, però es va poder mantenir el nombre de subscripcions a Tuing. Tenint en compte que Metfilm era 5 € més cara que Lamparx l’any 2023, calculeu el cost de subscripció de cada companyia en cada any.

(Plantejament correcte 1,5 punts --- Resolució correcta 2 punts)

Apartat 2. Responeu a un problema d’aquest apartat dels dos proposats.

Problema 2.A. Es considera la funció:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

ln(𝑥𝑥 2 + 𝑎𝑎) (𝑥𝑥 + 1)2

𝑏𝑏

⎩ 5𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 1

si si si

𝑥𝑥 ≤ 1

1 < 𝑥𝑥 ≤ 4 𝑥𝑥 > 4

a) Estudia la continuïtat de la funció i determineu quins han de ser els valors 𝑎𝑎 i 𝑏𝑏 perquè siga contínua en tot punt.

(0,75 punts)

b) Suposem que 𝑎𝑎 = 54 i que 𝑏𝑏 = 25. Determineu el màxim absolut i el mínim absolut d’aquesta funció en l’interval [−1, 5].

(2 punts)

c) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per aquesta funció, l’eix 𝑂𝑂𝑂𝑂, la recta d’equació 𝑥𝑥 = 2 i la recta d’equació 𝑥𝑥 = 3.

(0,75 punts)

Problema 2.B. Atesa la funció:

Es demana:

𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 4 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 − 4

(0,5 punts)

a) El seu domini i els punts de tall amb els eixos de coordenades.

b) Les asímptotes horitzontals i verticals, si n’hi ha.

(0,5 punts)

c) Els intervals de creixement i decreixement, i els màxims i mínims locals, si n’hi ha, i el valor d’aquests.

(2 punts)

d) La representació gràfica de la funció a partir dels resultats obtinguts en els apartats anteriors.

(0,5 punts) Apartat 3. Responeu a l’únic problema d’aquest apartat.

Problema 3. Una consultoria realitza una prova de qualitat a noves empreses per a detectar si tenen una gestió adequada. Després d’anys d’estudis, s’ha arribat a la conclusió que el 70% de les empreses estudiades són ben gestionades i que, en aquest cas, la prova indica que és ben gestionada en el 90% dels casos. Se sap que la probabilitat que la prova detecte com a ben gestionada una empresa que és mal gestionada és del 5%.

a) Calculeu la probabilitat que una empresa siga mal gestionada i la prova haja indicat que és mal gestionada.

(1 punt)

b) Si la prova ha indicat que una empresa és ben gestionada, quina és la probabilitat que l’empresa siga ben gestionada?

(1 punt)

c) Calculeu la probabilitat que el resultat de la prova siga incorrecte.

(1 punt)

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CONVOCATÒRIA: ORDINÀRIA 2026 (extra)

CONVOCATORIA:ORDINARIA 2026 (extra)

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

BAREMO DEL EXAMEN: Se ha de contestar un problema del apartado 1, un problema del apartado 2 y

el problema del apartado 3. En cada cuestión se indica la puntuación máxima, siendo la nota final la suma de las calificaciones de cada una ellas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados. Está permitido el uso de regla. Las gráficas se harán con el mismo color que el resto del examen.

Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas.

Apartado 1. Responde un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 1. A. Una empresa dedicada al desarrollo de videojuegos dispone de tres equipos de trabajo: uno formado por 8 personas encargadas del diseño de los personajes, otro compuesto por 15 personas responsables de la creación de las pantallas del juego, y un tercero de 14 personas dedicado al sonido y la ambientación. La empresa desarrolla juegos de consola y juegos de ordenador. Cada juego de consola genera un beneficio diario de 100 euros, mientras que cada juego de ordenador produce un beneficio diario de 90 euros. Para la elaboración de ambos tipos de juegos se requiere una persona del equipo de diseño de personajes. Además, para el diseño de las pantallas de un juego de consola se necesitan dos personas y para el de un juego de ordenador se necesita solo una. Para el sonido y la ambientación de un juego de ordenador se necesitan dos personas y para un juego de consola solo una. Se pide:

a) ¿Cuántos juegos de consola y cuántos de ordenador se tienen que hacer para que el beneficio diario sea máximo?

(3 puntos)

b) ¿Cuál es el beneficio diario máximo?

(0,5 puntos) Problema 1. B. Una empresa estudia los precios de la subscripción a las plataformas de streaming Metfilm, Lamparx y Tuing. En el año 2023 con 1850€ se pudieron contratar 40 subscripciones a Metfilm, 50 a Lamparx y 20 a Tuing. En 2024, Metfilm y Lamparx subieron la cuota 1€ mientras que Tuing mantuvo el precio y, con el mismo presupuesto, se tuvieron que reducir 2 subscripciones de Metfilm y 3 de Lamparx, pero se pudo mantener el número de subscripciones a Tuing. Teniendo en cuenta que Metfilm era 5€ más cara que Lamparx en el año 2023, calcula el coste de subscripción de cada compañía en cada año.

(Planteamiento correcto 1,5 puntos --- Resolución correcta 2 puntos)

Apartado 2. Responde un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 2. A. Se considera la función:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

ln(𝑥𝑥 2 + 𝑎𝑎) (𝑥𝑥 + 1)2

si si

𝑥𝑥 ≤ 1

1 < 𝑥𝑥 ≤ 4

𝑏𝑏

𝑥𝑥 > 4 ⎩ 5𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 1 si

a) Estudia la continuidad de la función y determina cuáles deben ser los valores de 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 para que sea continua en todo punto.

(0,75 puntos)

b) Supongamos que 𝑎𝑎 = 54 y que 𝑏𝑏 = 25. Determina el máximo absoluto y el mínimo absoluto de esta función en el intervalo [−1, 5].

(2 puntos)

c) Calcula el área de la región delimitada por esta función, el eje 𝑂𝑂𝑂𝑂, la recta de ecuación 𝑥𝑥 = 2 y la recta de ecuación 𝑥𝑥 = 3.

(0,75 puntos)

Problema 2. B. Dada la función

𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 4 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 − 4

Se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.

(0,5 puntos)

b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.

(0,5 puntos)

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen, y el valor de estos.

(2 puntos)

d) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores.

(0,5 puntos) Apartado 3. Responda el único problema de este apartado.

Problema 3. Una consultoría realiza una prueba de calidad a nuevas empresas para detectar si tienen una gestión adecuada. Tras años de estudios, se ha llegado a la conclusión de que el 70% de las empresas estudiadas están bien gestionadas y de que, en este caso, la prueba indica que está bien gestionada en el 90% de los casos. Se sabe que la probabilidad de que la prueba detecte como bien gestionada una empresa que está mal gestionada es del 5%.

a) Calcula la probabilidad de que una empresa esté mal gestionada y la prueba haya indicado que está mal gestionada.

(1 punto)

b) Si la prueba ha indicado que una empresa está bien gestionada, ¿cuál es la probabilidad de que la empresa esté bien gestionada?

(1 punto)

c) Calcula la probabilidad de que el resultado de la prueba sea incorrecto.

(1 punto)

Soluciones y criterios de corrección en texto

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CONVOCATORIA: ORDINARIA 2026 (extra)

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIS DE CORRECCIÓ / CRITERIOS DE CORRECCIÓN S’ha de contestar un dels dos problemes de l’apartat 1, un dels dos problemes de l’apartat 2 i el problema de l’apartat 3.

Totes les respostes han d’estar degudament raonades. En cada apartat, cada error en operacions aritmètiques elementals es penalitza amb 0,1 punts, fins a un màxim de penalització de 0,25 punts.

La penalització per errors ortogràfics i gramaticals s’aplica tenint en compte els criteris següents: i) els dos primers errors ortogràfics no es penalitzen i a partir de la tercera falta d’ortografia hi ha una penalització de 0,1 punts per cada falta, fins a una penalització màxima d’1 punt; ii) quan es repetisca la mateixa falta d’ortografia es compta com una sola; iii) la penalització per errors en la redacció, errors en la presentació, falta de coherència, falta de cohesió, incorrecció lèxica i incorrecció gramatical pot ser de fins a 0,5 punts, si bé la suma d’aquesta penalització i la penalització per errors ortogràfics no pot ser mai superior a 1 punt.

PROBLEMA 1.A.

Denotem per 𝑥𝑥 el nombre de jocs de consola i per 𝑦𝑦 el nombre de jocs per ordinador.

a) De 0 a 0,25 punts per obtenir la funció objectiu: 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 100𝑥𝑥 + 90𝑦𝑦. De 0 a 0,75 punts per plantejar les restriccions, amb els criteris següents: 0,25 punts si només hi ha una restricció correcta, 0,50 punts si només hi ha dues restriccions correctes, 0,75 si les tres restriccions són correctes (les restriccions de no negativitat no donen punts). En cas que les restriccions no estiguen degudament justificades, es descompten 0,25 punts. Les restriccions són:

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 8 ⎧2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 15

𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 ≤ 14 ⎨ 𝑥𝑥 ≥ 0

⎩ 𝑦𝑦 ≥ 0

De 0 a 1,5 punts per obtenir la regió factible: regió de vèrtexs 𝐴𝐴(0,7), 𝐵𝐵(2,6), 𝐶𝐶(7,1) i 𝐷𝐷(7.5,0). De 0 a 0,5 punts per obtenir la solució correcta: el màxim benefici diari s’assoleix quan es fabriquen 7 jocs de consola i 1 d’ordinador.

b) De 0 a 0,5 punts per obtenir el benefici diari màxim: 790 euros.

Si la solució s’obté per qualsevol altre mètode raonat i correcte, es puntua de 0 a 3,5 punts. La regió factible és la regió ratllada del gràfic següent:

PROBLEMA 1.B.

Per plantejar el problema, de 0 a 1,5 punts, amb els criteris següents: 3 equacions correctes degudament justificades, 1,5 punts; 2 equacions correctes, 1 punt; 1 equació correcta, 0,5 punts. En cas que les tres equacions no estiguen degudament justificades, es descompten 0,25 punts. Anomenem x al preu per subscripció de Metflim, 𝑦𝑦 al preu per subscripció de Lamparx i 𝑧𝑧 al preu per subscripció de Turing l’any 2023. Llavors:

40𝑥𝑥 + 50𝑦𝑦 + 20𝑧𝑧 = 1.850 40𝑥𝑥 + 50𝑦𝑦 + 20𝑧𝑧 = 1.850 �(40 − 2)(𝑥𝑥 + 1) + (50 − 3)(𝑦𝑦 + 1) + 20𝑧𝑧 = 1.850 ≡ � 38𝑥𝑥 + 47𝑦𝑦 + 20𝑧𝑧 = 1.765 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 5 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 5

Per obtenir la solució del sistema d’equacions, de 0 a 2 punts, amb els criteris següents:

2 punts si la solució és correcta per al sistema plantejat per l’alumne i no hi ha incoherències (valors negatius, etc.); si la solució no és la del sistema plantejat per l’alumne, la puntuació màxima és d’1,5 punts, en els quals es valora l’adequació i justificació del procediment de resolució. Si la solució obtinguda és incoherent amb l’enunciat (valors negatius, etc.), es puntua aquesta part amb un 0, llevat que s’hi indique que la solució no és raonable i ha d’haver-hi algun error. La solució és 𝑥𝑥 = 20, 𝑦𝑦 = 15, 𝑧𝑧 = 15 en 2023 i 𝑥𝑥� = 21, 𝑦𝑦� = 16, 𝑧𝑧̃ = 15, en què 𝑥𝑥�, 𝑦𝑦�, 𝑧𝑧̃ són els preus de subscripció de Metfilm, Lamparx i Tuing en 2024 respectivament. Si només hi indiquen els preus de subscripció d’un dels dos anys, es penalitza la resolució de l’exercici amb 0,25 punts.

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

PROBLEMA 2.A.

a) De 0 a 0,25 punts per justificar que perquè la funció siga contínua en 1 el límit per l’esquerra, que és 𝑙𝑙𝑙𝑙(1 + 𝑎𝑎), ha de ser igual al límit per la dreta, que és 4; això implica que 𝑎𝑎 = 𝑒𝑒 4 − 1 ≈ 53,5982. De 0 a 0,25 punts per justificar que perquè siga contínua en el punt x=4 llavors el límit per l’esquerra, que val 25, ha de ser igual al límit per la dreta, que és 20+b/5; això implica que 𝑏𝑏 = 25. De 0 a 0,25 punts per indicar que és contínua en (−∞, 1) ∪ (1,4) ∪ (4, +∞) ja que són: una funció logaritme avaluada en un número positiu, un polinomi i una funció racional en què el denominador no s’anul·la.

b) De 0 a 0,25 punts pel càlcul correcte de la derivada en cada tram. De 0 a 0,25 punts pel càlcul correcte dels intervals de creixement i decreixement de cada tram. De 0 a 0,25 punts per obtenir el màxim absolut i de 0 a 0,25 punts per obtenir el mínim absolut.

2𝑥𝑥

En el primer tram, la derivada és x2 +54, i és decreixent en (-1,0) i creixent de

(0,1) i per tant té un mínim local en x=0 que és ln(54)≈ 3.9889 i un màxim local en 1 i -1 que és ln(55) ≈4.0073.

En el segon tram, la derivada és 2(𝑥𝑥 + 1), i és creixent en (1,4), en què el límit per la dreta en x=1 de la funció és igual a 4, i f(4)=25.

En el tercer tram, la derivada de la funció és 5 − 25/(𝑥𝑥 + 1)2 , i és creixent en

(4,5), en què 𝑓𝑓(5) = 6 ≈ 29,1667.

Per tant, el mínim absolut en l’interval [-1,5] s’assoleix en x=0 i el màxim absolut s’assoleix en x=5.

c) De 0 a 0,5 punts per calcular una primitiva de la funció, que és de la forma

(𝑥𝑥+1)3

𝐷𝐷, en què 𝐷𝐷 és una constant real. De 0 a 0,25 punts per calcular la solució de la

integral, que és 3 ≈ 12,3333.

PROBLEMA 2.B.

a) De 0 a 0,25 punts per obtenir el domini: 𝑅𝑅 ∖ {2, −2}. De 0 a 0,25 punts per determinar els punts de tall amb els eixos, en aquest cas, és el punt (0, −1) i com el polinomi 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 4 no té arrels reals llavors no hi ha tall amb l’eix OX.

b) De 0 a 0,25 punts per obtenir les asímptotes verticals: la recta d’equació 𝑥𝑥 = −2 i la recta d’equació 𝑥𝑥 = 2. De 0 a 0,25 punts per obtenir l’asímptota horitzontal: la recta d’equació 𝑦𝑦 = 1.

c) De 0 a 0,7 punts per obtenir els intervals de creixement: la funció és creixent en (−∞, −2) ∪ (−2, 𝑥𝑥0 ) ∪ (𝑥𝑥1 , +∞), en què 𝑥𝑥0 = 4 − 2√3 = 0,5359 i 𝑥𝑥1 = 4 + 2√3 = 7,4641. De 0

a 0,7 punts per obtenir els intervals de decreixement: la funció és decreixent en l’interval (𝑥𝑥0 , 2) ∪ (2, 𝑥𝑥1 ). De 0 a 0,3 punts per calcular el màxim local de la funció: la funció té un màxim local en 𝑥𝑥0 , amb 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) ≈ −0,86602. De 0 a 0,3 punts per calcular el mínim local: la funció té un mínim local en 𝑥𝑥1 amb 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) ≈ 0,86602.

d) De 0 a 0,5 punts per la gràfica de la funció. A partir dels resultats anteriors, la gràfica de la funció és:

PROBLEMA 3.

a) De 0 a 0,5 punts per identificar la fórmula que permet obtenir la probabilitat demanada a partir de les probabilitats que l’empresa siga mal gestionada i la probabilitat condicional que la prova done negatiu sabent que és mal gestionada.

De 0 a 0,5 punts pel càlcul, que és:

𝑃𝑃(M ∩-) = 𝑃𝑃(-|M)𝑃𝑃(𝑀𝑀) = 0,95 ⋅ 0,3 = 0,2850.

b) De 0 a 0,25 punts per identificar que es tracta d’una probabilitat condicional i conéixer-ne la fórmula; de 0 a 0,5 punts per calcular el numerador i de 0 a 0,25 punts per calcular el denominador. La resposta correcta és:

𝑃𝑃(𝐵𝐵|+) =

𝑃𝑃�+�𝐵𝐵 � 𝑃𝑃(𝐵𝐵) 𝑃𝑃(+)

0,63

0,63

= 0,7⋅0,9+0,3·0,05 = 0,645 ≈ 0,9767.

c) De 0 a 0,5 punts per identificar correctament les dues situacions en què el resultat de la prova és incorrecte. De 0 a 0,5 punts per calcular les probabilitats de totes dues situacions. La resposta correcta és:

𝑃𝑃(cometre error) = 𝑃𝑃(𝐵𝐵)𝑃𝑃(−|𝐵𝐵) + 𝑃𝑃(𝑀𝑀)𝑃𝑃(+|𝑀𝑀) = 0,7 · 0,1 + 0,3 · 0,05 = 0,07 + 0,015 = 0,085.

Si en algun apartat s’obté alguna probabilitat impossible, aquest apartat es puntua amb un 0.

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CONVOCATÒRIA: ORDINÀRIA 2026 (extra)

CONVOCATORIA: ORDINARIA 2026 (extra)

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIS DE CORRECCIÓ / CRITERIOS DE CORRECCIÓN

Se ha de contestar uno de los dos problemas del apartado 1, uno de los dos problemas del apartado 2, y el problema del apartado 3.

Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas. En cada apartado, cada error en operaciones aritméticas elementales se penalizará con 0,1 puntos hasta un máximo de penalización de 0,25 puntos.

La penalización por errores ortográficos y gramaticales se aplicará teniendo en cuenta los criterios siguientes: i) los dos primeros errores ortográficos no se penalizarán; ii) cuando se repita la misma falta de ortografía se contará como una sola; a partir de la tercera falta de ortografía habrá una penalización de 0,1 puntos por cada falta, hasta una penalización máxima de un punto; iv) la penalización por errores en la redacción, errores en la presentación, falta de coherencia, falta de cohesión, incorrección léxica e incorrección gramatical podrá ser de hasta 0,5 puntos, si bien la suma de esta penalización y la penalización por errores ortográficos nunca podrá ser superior a 1 punto.

PROBLEMA 1. A.

Denotamos por 𝑥𝑥 el número de juegos de consola y por 𝑦𝑦 el número de juegos por ordenador.

a) De 0 a 0,25 puntos por la obtención de la función objetivo: 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 100𝑥𝑥 + 90𝑦𝑦. De 0 a 0,75 puntos por el planteamiento de las restricciones, con los siguientes criterios: 0,25 puntos si solo hay una restricción correcta, 0,50 puntos si solo hay dos restricciones correctas, 0,75 si las tres restricciones son correctas (las restricciones de no negatividad no dan puntos). En caso de que las restricciones no estén debidamente justificadas, se descontarán 0,25 puntos. Las restricciones son 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 8 ⎧2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 15

𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 ≤ 14 ⎨ 𝑥𝑥 ≥ 0

⎩ 𝑦𝑦 ≥ 0

De 0 a 1,5 puntos por obtener la región factible: región de vértices 𝐴𝐴(0,7), 𝐵𝐵(2,6), 𝐶𝐶(7,1) y 𝐷𝐷(7.5,0). De 0 a 0,5 puntos por la obtención de la solución correcta:

el máximo beneficio diario se alcanza cuando se fabrican 7 juegos de consola y 1 de ordenador.

b) De 0 a 0,5 puntos por la obtención del beneficio diario máximo: 790 euros.

Si la solución se obtiene por cualquier otro método razonado y correcto, se puntuará de 0 a 3,5 puntos. La región factible es la región rayada del gráfico siguiente:

PROBLEMA 1. B.

Por el planteamiento del problema, de 0 a 1,5 puntos con los siguientes criterios: 3 ecuaciones correctas debidamente justificadas, 1,5 puntos; 2 ecuaciones correctas, 1 punto; 1 ecuación correcta, 0,5 puntos. En caso de que las tres ecuaciones no estén debidamente justificadas, se descontarán 0,25 puntos. Llamamos x al precio por suscripción de Metflim, 𝑦𝑦 al precio por suscripción de Lamparx y 𝑧𝑧 al precio por suscripción de Turing en el año 2023. Entonces:

40𝑥𝑥 + 50𝑦𝑦 + 20𝑧𝑧 = 1.850 40𝑥𝑥 + 50𝑦𝑦 + 20𝑧𝑧 = 1.850 �(40 − 2)(𝑥𝑥 + 1) + (50 − 3)(𝑦𝑦 + 1) + 20𝑧𝑧 = 1.850 ≡ � 38𝑥𝑥 + 47𝑦𝑦 + 20𝑧𝑧 = 1.765 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 5 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 5

Por la obtención de la solución del sistema de ecuaciones, de 0 a 2 puntos con los siguientes criterios: 2 puntos si la solución es correcta para el sistema planteado por el alumno y no hay incoherencias (valores negativos, …); si la solución no es la del sistema planteado por el alumno, la puntuación máxima será de 1,5 puntos, en los que se valorará la adecuación y justificación del procedimiento de resolución. Si la solución obtenida es incoherente con el enunciado (valores negativos, …), se puntuará esta parte con un 0, salvo que se indique que la solución no es razonable y debe haber algún error. La solución es 𝑥𝑥 = 20, 𝑦𝑦 = 15, 𝑧𝑧 = 15 en 2023 y 𝑥𝑥� = 21, 𝑦𝑦� = 16, 𝑧𝑧̃ = 15, donde 𝑥𝑥�, 𝑦𝑦�, 𝑧𝑧̃ son los precios de suscripción de Metfilm, Lamparx y Tuing en 2024 respectivamente. Si solo indican los precios de suscripción de uno de los dos años, se penalizará la resolución del ejercicio con 0,25 puntos.

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

PROBLEMA 2. A.

a) De 0 a 0,25 puntos por justificar que para que la función sea continua en 1 el límite por la izquierda, que es 𝑙𝑙𝑙𝑙(1 + 𝑎𝑎), tiene que ser igual al límite por la derecha que es 4 ; esto implica que 𝑎𝑎 = 𝑒𝑒 4 − 1 ≈ 53,5982. De 0 a 0,25 puntos por justificar que para que sea continua en el punto x=4 entonces el límite por la izquierda que vale 25 tiene que ser igual al límite por la derecha que es 20+b/5 ; esto implica que 𝑏𝑏 = 25.

De 0 a 0,25 puntos por indicar que es continua en (−∞, 1) ∪ (1,4) ∪ (4, +∞) ya que son: una función logaritmo evaluada en un número positivo, un polinomio y una función racional donde el denominador no se anula.

b) De 0 a 0,25 puntos por el cálculo correcto de la derivada en cada tramo. De 0 a 0,25 puntos por el cálculo correcto de los intervalos de crecimiento y decrecimiento en cada tramo. De 0 a 0,25 puntos por la obtención del máximo absoluto y de 0 a 0,25 puntos por la obtención del mínimo absoluto.

2𝑥𝑥

En el primer tramo, la derivada es x2+54 , y es decreciente en (-1,0) y creciente

de (0,1) y por tanto tiene un mínimo local en x=0 que es ln(54)≈ 3.9889 y un máximo local en 1 y -1 que es ln(55) ≈4.0073.

En el segundo tramo, la derivada es 2(𝑥𝑥 + 1), y es creciente en (1,4), siendo el límite por la derecha en x=1 de la función igual a 4, y f(4)=25.

En el tercer tramo, la derivada de la función es 5 − 25/(𝑥𝑥 + 1)2 , y es creciente

en (4,5), siendo 𝑓𝑓(5) = 6 ≈ 29,1667.

Por tanto, el mínimo absoluto en el intervalo [-1,5] se alcanza en x=0 y el máximo absoluto se alcanza en x=5.

c) De 0 a 0,5 puntos por calcular una primitiva de la función, que es de la forma

(𝑥𝑥+1)3

𝐷𝐷, siendo 𝐷𝐷 una constante real. De 0 a 0,25 puntos por calcular la solución de la

integral, que es 3 ≈ 12,3333.

PROBLEMA 2. B.

a) De 0 a 0,25 puntos por la obtención del dominio: 𝑅𝑅 ∖ {2, −2}. De 0 a 0,25 puntos por la determinación de los puntos de corte con los ejes, en este caso, es el punto (0, −1) y como el polinomio 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 4 no tiene raíces reales entonces no hay corte con el eje OX.

b) De 0 a 0,25 puntos por la obtención de las asíntotas verticales: la recta de ecuación 𝑥𝑥 = −2 y la recta de ecuación 𝑥𝑥 = 2. De 0 a 0,25 puntos por la obtención de la asíntota horizontal: la recta de ecuación 𝑦𝑦 = 1.

c) De 0 a 0,7 puntos por la obtención de los intervalos de crecimiento: la función es creciente en (−∞, −2) ∪ (−2, 𝑥𝑥0 ) ∪ (𝑥𝑥1 , +∞), siendo 𝑥𝑥0 = 4 − 2√3 = 0,5359 y 𝑥𝑥1 = 4 +

2√3 = 7,4641. De 0 a 0,7 puntos por la obtención de los intervalos de decrecimiento:

la función es decreciente en el intervalo (𝑥𝑥0 , 2) ∪ (2, 𝑥𝑥1 ). De 0 a 0,3 puntos por el cálculo del máximo local de la función: la función tiene un máximo local en 𝑥𝑥0 , con 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) ≈ −0,86602. De 0 a 0,3 puntos por el cálculo del mínimo local: la función tiene un mínimo local en 𝑥𝑥1 con 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) ≈ 0,86602.

d) De 0 a 0,5 puntos por la gráfica de la función. A partir de los resultados anteriores, la gráfica de la función es:

PROBLEMA 3.

…