Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CONVOCATÒRIA:

CONVOCATORIA:

JUNY 2025

JUNIO 2025

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

BAREMO DEL EXAMEN: Se ha de contestar un problema del apartado 1, un problema del apartado 2 y

el problema del apartado 3. En cada cuestión se indica la puntuación máxima, siendo la nota final la suma de las calificaciones de cada una ellas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados. Está permitido el uso de regla. Las gráficas se harán con el mismo color que el resto del examen.

Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas.

Apartado 1. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 1. A. Una empresa fabrica lotes de tres productos: P1, P2 y P3. La empresa tiene dos plantas de fabricación: A y B. En un día de funcionamiento, la planta A fabrica 1 lote del producto P1, 2 lotes del P2 y 1 lote del P3, mientras que la planta B fabrica 1 lote del producto P1, 1 del P2 y 5 del P3. Cada día de funcionamiento de la planta A cuesta 60 miles de euros y cada día de funcionamiento de la planta B cuesta 75 miles de euros. En los próximos días la empresa tiene que producir al menos 6 lotes del producto P1, al menos 8 lotes del producto P2 y al menos 10 lotes del producto P3.

a) ¿Cuántos días ha de funcionar cada planta para que el coste de producción sea mínimo?

(3 puntos)

b) ¿Cuál es dicho coste mínimo?

(0,5 puntos)

Problema 1. B. A un espectáculo circense acuden 500 espectadores, y la recaudación del importe de las entradas asciende a 2.115 euros. Los menores de 5 años pagan el 20% de la entrada, y los que tienen entre 5 y 16 años el 50%. Calcula cuántos espectadores han pagado el importe total de la entrada, que vale 9 euros, cuántos han pagado el 20% de la entrada y cuántos el 50%, sabiendo que el número de espectadores que han pagado el 20% es el doble del número de espectadores que han pagado la entrada completa.

(Planteamiento correcto 1,5 puntos --- Resolución correcta 2 puntos)

Apartado 2. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 2. A. Se considera la función:

𝑓(𝑥) =

1 + 𝑥2 1+𝑥

si

0≤𝑥<4

2𝑥 + 4

si

4≤𝑥<8

{ 3𝑥 + 60 − 𝑥 2

si

8≤𝑥≤9

Se pide:

a) Estudiar la continuidad de la función en el intervalo [0,9].

(0,75 puntos)

b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo [0,9].

(1,5 puntos)

c) Calcular los puntos donde la función alcanza el máximo y el mínimo, y cuánto vale la función en esos puntos.

(0,5 puntos)

d) Calcular el área de la región delimitada por esta función, el eje 𝑂𝑋, la recta de ecuación 𝑥 = 8 y la recta de ecuación 𝑥 = 9.

(0,75 puntos) Problema 2. B. Se considera la función:

𝑓(𝑥) =

4𝑥 2 − 36 𝑥 2 − 2𝑥 − 8

Se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.

(0,5 puntos)

b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.

(0,5 puntos)

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen.

(2 puntos)

d) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores.

(0,5 puntos) Apartado 3. Responda el único problema de este apartado.

Problema 3. En un país se sabe que un 35% de personas vive en municipios pequeños (10 000 habitantes o menos), un 25% de personas vive en municipios medianos (entre 10 001 y 50 000 habitantes) y un 40% de personas vive en municipios grandes (más de 50 000 habitantes). Entre las personas que viven en municipios pequeños, un 20% se graduó en la universidad; entre las que viven en municipios medianos, un 30% se graduó en la universidad; y entre las que viven en municipios grandes, un 60% se graduó en la universidad. Seleccionamos al azar una persona de este país.

a) Calcula la probabilidad de que la persona seleccionada se haya graduado en la universidad.

(1 punto)

b) Si sabemos que la persona seleccionada se graduó en la universidad, ¿cuál es la probabilidad de que viva en un municipio con más de 10 000 habitantes. (1 punto)

c) Calcula la probabilidad de la intersección de los sucesos "la persona seleccionada vive en un municipio con 50 000 habitantes o menos" y "la persona seleccionada se graduó en la universidad o vive en un municipio con más de 10 000 habitantes".

(1 punto)

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ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

BAREM DE L’EXAMEN: S’ha de contestar un problema de l’apartat 1, un problema de l’apartat 2 i el

problema de l’apartat 3. En cada qüestió s’indica la puntuació màxima i la nota final és la suma de les qualificacions de cada una. Es permet l’ús de calculadores sempre que no siguen gràfiques o programables i que no puguen realitzar càlcul simbòlic ni emmagatzemar text o fórmules en memòria. S’utilitze o no la calculadora, els resultats analítics, numèrics i gràfics han d’estar sempre degudament justificats. Està permès l’ús de regle. Les gràfiques es faran amb el mateix color que la resta de l’examen.

Totes les respostes han d’estar degudament raonades.

Apartat 1. Respon a un problema d’aquest apartat dels dos que es proposen.

Problema 1. A. Una empresa fabrica lots de tres productes: P1, P2 i P3. L’empresa té dues plantes de fabricació: A i B. En un dia de funcionament, la planta A fabrica 1 lot del producte P1, 2 lots del P2 i 1 lot del P3, mentre que la planta B fabrica 1 lot del producte P1, 1 del P2 i 5 del P3. Cada dia de funcionament de la planta A costa 60 milers d’euros i cada dia de funcionament de la planta B costa 75 milers d’euros. En els pròxims dies, l’empresa ha de produir almenys 6 lots del producte P1, almenys 8 lots del producte P2 i almenys 10 lots del producte P3.

a) Quants dies ha de funcionar cada planta perquè el cost de producció siga mínim?

(3 punts)

b) Quin és aquest cost mínim?

(0,5 punts)

Problema 1. B. A un espectacle circense acudeixen 500 espectadors i la recaptació de l’import de les entrades puja a 2.115 euros. Els menors de 5 anys paguen el 20% de l’entrada, i els que tenen entre 5 i 16 anys, el 50%. Calcula quants espectadors han pagat l’import total de l’entrada, que val 9 euros; quants han pagat el 20% de l’entrada, i quants el 50%, sabent que el nombre d’espectadors que han pagat el 20% és el doble del nombre d’espectadors que han pagat l’entrada completa.

(Plantejament correcte 1,5 punts --- Resolució correcta 2 punts)

Apartat 2. Respon a un problema d’aquest apartat dels dos que es proposen.

Problema 2. A. Es considera la funció:

𝑓(𝑥) =

1 + 𝑥2 1+𝑥

si

0≤𝑥<4

2𝑥 + 4

si

4≤𝑥<8

{ 3𝑥 + 60 − 𝑥 2

si

8≤𝑥≤9

Es demana:

a) Estudiar la continuïtat de la funció en l’interval [0,9].

(0,75 punts)

b) Estudiar el creixement i decreixement de la funció en l’interval [0,9].

(1,5 punts)

c) Trobar els punts en què la funció arriba al màxim i al mínim, i quant val la funció en aquests punts.

(0,5 punts)

d) Calcular l’àrea de la regió delimitada per aquesta funció, l’eix 𝑂𝑋, la recta d’equació 𝑥 = 8 i la recta d’equació 𝑥 = 9.

(0,75 punts) Problema 2. B. Es considera la funció:

4𝑥 2 − 36 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 2𝑥 − 8

Es demana:

a) El seu domini i els punts de tall amb els eixos coordenats.

(0,5 punts)

b) Les asímptotes horitzontals i verticals, si n’hi ha.

(0,5 punts)

c) Els intervals de creixement i decreixement, i els màxims i mínims locals, si n’hi ha.

(2 punts)

d) La representació gràfica de la funció a partir dels resultats obtinguts en els apartats anteriors.

(0,5 punts) Apartat 3. Respon a l’únic problema d’aquest apartat.

Problema 3. En un país se sap que un 35% de persones viu en municipis menuts (10 000 habitants o menys), un 25% de persones viu en municipis mitjans (entre 10 001 i 50 000 habitants) i un 40% de persones viu en municipis grans (més de 50 000 habitants). Entre les persones que viuen en municipis menuts, un 20% es va graduar en la universitat; entre les que viuen en municipis mitjans, un 30% es va graduar en la universitat; i entre les que viuen en municipis grans, un 60% es va graduar en la universitat. Seleccionem a l’atzar una persona d’aquest país.

a) Calcula la probabilitat que la persona seleccionada s’haja graduat en la universitat.

(1 punt)

b) Si sabem que la persona seleccionada es va graduar en la universitat, quina és la probabilitat que visca en un municipi amb més de 10 000 habitants?

(1 punt)

c) Calcula la probabilitat de la intersecció dels successos “la persona seleccionada viu en un municipi amb 50 000 habitants o menys” i “la persona seleccionada es va graduar en la universitat o viu en un municipi amb més de 10 000 habitants”.

(1 punt)

Soluciones y criterios de corrección en texto

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ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

CRITERIS DE CORRECCIÓ / CRITERIOS DE CORRECCIÓN Se ha de contestar uno de los dos problemas del apartado 1, uno de los dos problemas del apartado 2, y el problema del apartado 3.

Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas. En cada apartado, cada error en operaciones aritméticas elementales se penalizará con 0,1 puntos, hasta un máximo de penalización de 0,25 puntos.

La penalización por errores ortográficos y gramaticales se aplicará teniendo en cuenta los criterios siguientes: i) los dos primeros errores ortográficos no se penalizarán; ii) cuando se repita la misma falta de ortografía se contará como una sola; a partir de la tercera falta de ortografía habrá una penalización de 0,1 puntos por cada falta, hasta una penalización máxima de un punto; iii) la penalización por errores en la redacción, errores en la presentación, falta de coherencia, falta de cohesión, incorrección léxica e incorrección gramatical podrá ser de hasta 0,5 puntos, si bien la suma de esta penalización y la penalización por errores ortográficos nunca podrá ser superior a 1 punto.

PROBLEMA 1. A.

Denotamos por 𝑥 el número de días de funcionamiento de la planta A y por 𝑦 el número de días de funcionamiento de la planta B.

a) De 0 a 0,25 puntos por la obtención de la función objetivo: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 60𝑥 + 75𝑦. De 0 a 0,75 puntos por el planteamiento de las restricciones, con los siguientes criterios: 0,25 puntos si solo hay una restricción correcta, 0,50 puntos si solo hay dos restricciones correctas, 0,75 si las tres restricciones son correctas (las restricciones de no negatividad no dan puntos). En caso de que las restricciones no estén debidamente justificadas, se descontarán 0,25 puntos. Las restricciones son 𝑥+𝑦≥6 2𝑥 + 𝑦 ≥ 8 𝑥 + 5𝑦 ≥ 10 𝑥≥0 { 𝑦≥0 De 0 a 1,5 puntos por obtener la región factible: región de vértices 𝐴(2,4), 𝐵(5,1), 𝐶(0,8) y 𝐷(10,0). De 0 a 0,5 puntos por la obtención de la solución

correcta: el coste es mínimo cuando la planta A trabaja 5 días y la planta B trabaja 1 día.

b) De 0 a 0,5 puntos por la obtención del coste mínimo: 375 miles de euros.

Si la solución se obtiene por cualquier otro método razonado y correcto, se puntuará de 0 a 3,5 puntos. La región factible es la región coloreada del gráfico siguiente:

PROBLEMA 1. B.

Por el planteamiento del problema, de 0 a 1,5 puntos con los siguientes criterios: 3 ecuaciones correctas debidamente justificadas, 1,5 puntos; 2 ecuaciones correctas, 1 punto; 1 ecuación correcta, 0,5 puntos. En caso de que las tres ecuaciones no estén debidamente justificadas, se descontarán 0,25 puntos. Llamamos x al número de espectadores que pagan la entrada completa, y al número de espectadores que pagan el 20% y z al número de espectadores que pagan el 50 %. Entonces, tenemos:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 500 {9𝑥 + 1,8𝑦 + 4,5𝑧 = 2.115 𝑦 = 2𝑥 Por la obtención de la solución del sistema de ecuaciones, de 0 a 2 puntos con los siguientes criterios: 2 puntos si la solución es correcta para el sistema planteado por el alumno y no hay incoherencias (valores negativos, no naturales…); si la solución no es la del sistema planteado por el alumno, la puntuación máxima será de 1,5 puntos, en los que se valorará la adecuación y justificación del procedimiento de resolución. Si la solución obtenida es incoherente con el enunciado (valores negativos, no naturales…), se puntuará esta parte con un 0, salvo que se indique que la solución no es razonable y debe haber algún error. La solución es 𝑥 = 150, 𝑦 = 300, 𝑧 = 50.

PROBLEMA 2. A.

a) De 0 a 0,25 puntos por justificar que no es continua en 4: el límite por la izquierda es 17/5=3,4 y el límite por la derecha es 12. De 0 a 0,25 puntos por justificar que es continua en 8: el límite por la izquierda y por la derecha es 20. De 0 a 0,25 puntos por indicar que es continua en [0,4) unión con (4,9]. La gráfica de la función es la siguiente:

b) De 0 a 0,4 puntos por calcular la derivada del primer trozo, que es

−1+2𝑥+𝑥 2 (1+𝑥)2

. De 0

a 0,3 puntos por obtener que es decreciente en [0, −1 + √2). De 0 a 0,3 puntos por obtener que es creciente en (−1 + √2 ,4]. De 0 a 0,25 puntos por obtener que es creciente en [4,8). De 0 a 0,25 puntos por obtener que es decreciente en (8,9].

c) De 0 a 0,25 puntos por calcular el mínimo, que es −1 + √2 ; el valor de la función en el mínimo es 𝑓(−1 + √2) = 2√2 − 2. De 0 a 0,25 puntos por calcular el máximo, que es 8 ; el valor de la función en el máximo es 𝑓(8) = 20.

d) De 0 a 0,5 puntos por calcular una primitiva de la función, que es de la forma 𝐷 + 60𝑥 +

3𝑥 2

𝑥3

, siendo 𝐷 una constante real. De 0 a 0,25 puntos por calcular la

solución de la integral, que es 79/6 = 13.1667.

PROBLEMA 2. B.

a) De 0 a 0,25 puntos por la obtención del dominio: 𝑅\{−2,4}. De 0 a 0,25 puntos por la determinación de los puntos de corte con los ejes, en este caso, los puntos (−3,0), (3,0), (0, 9/2).

b) De 0 a 0,25 puntos por la obtención de las asíntotas verticales: la recta de ecuación 𝑥 = −2 y la recta de ecuación 𝑥 = 4. De 0 a 0,25 puntos por la obtención de la asíntota horizontal: la recta de ecuación 𝑦 = 4.

c) De 0 a 1,4 puntos por razonar que la función es decreciente en su dominio. De 0 a 0,6 puntos por razonar que la función no tiene ni máximos ni mínimos locales.

d) De 0 a 0,5 puntos por la gráfica de la función. A partir de los resultados anteriores, la gráfica de la función es:

PROBLEMA 3.

a) De 0 a 0,2 puntos por identificar la fórmula que permite obtener la probabilidad pedida a partir de las probabilidades de haberse graduado, condicionales al tamaño de la ciudad, y de las probabilidades marginales de vivir en cada tipo de ciudad; de 0 a 0,2 puntos por el cálculo de cada uno de los tres sumandos que aparecen en esta probabilidad condicional y de 0 a 0,2 puntos por calcular la probabilidad pedida. La respuesta correcta es 𝑃(Graduado | Municipio Pequeño) · 𝑃(Municipio Pequeño) + 𝑃(Graduado | Municipio Mediano) · 𝑃(Municipio Mediano) + 𝑃(Graduado | Municipio Grande) · 𝑃(Municipio Grande) = 0,2 · 0,35 + 0,3 · 0,25 + 0,6 · 0,4 = 0,385.

b) De 0 a 0,25 puntos por identificar que se trata de una probabilidad condicional y conocer la fórmula de esta; de 0 a 0,5 puntos por el cálculo del numerador y de 0 a 0,25 puntos por el cálculo del denominador. La respuesta correcta es (𝑃(Graduado y Municipio Mediano) + 𝑃(Graduado y Municipio Grande))/𝑃(Graduado) = (0,3 · 0,25 + 0,6 · 0,4)/0,385 = 0,8182.

c) De 0 a 0,75 puntos por utilizar un procedimiento correcto para obtener la intersección de los sucesos que se indican; de 0 a 0,25 puntos por el cálculo de la probabilidad del suceso intersección. La respuesta correcta es 𝑃(“Municipio Pequeño o Mediano” y “Graduado o Municipio Mediano o Municipio Grande”) = 𝑃(Graduado y Municipio Pequeño) + 𝑃(Mediano) = 0,2 · 0,35 + 0,25 = 0,32.

Si en algún apartado se obtiene alguna probabilidad imposible, este apartado se puntuará con un 0.

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ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

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ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIS DE CORRECCIÓ / CRITERIOS DE CORRECCIÓN S’ha de contestar un dels dos problemes de l’apartat 1, un dels dos problemes de l’apartat 2 i el problema de l’apartat 3.

Totes les respostes han d’estar degudament raonades. En cada apartat, cada error en operacions aritmètiques elementals es penalitzarà amb 0,1 punts fins a un màxim de penalització de 0,25 punts.

La penalització per errors ortogràfics i gramaticals s’aplicarà tenint en compte els criteris següents: i) els dos primers errors ortogràfics no es penalitzen; ii) quan es repetisca la mateixa falta d’ortografia es comptarà com una sola falta;

a partir de la tercera falta d’ortografia hi haurà una penalització de 0,1 punts per cada falta, fins a una penalització màxima d’un punt; iii) la penalització per errors en la redacció, errors en la presentació, falta de coherència, falta de cohesió, incorrecció lèxica i incorrecció gramatical podrà ser de fins a 0,5 punts, si bé la suma d’aquesta penalització i la penalització per errors ortogràfics mai podrà ser superior a 1 punt.

PROBLEMA 1. A.

Denotem per 𝑥 el nombre de dies de funcionament de la planta A i per 𝑦 el nombre de dies de funcionament de la planta B.

a) De 0 a 0,25 punts per l’obtenció de la funció objectiu: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 60𝑥 + 75𝑦. De 0 a 0,75 punts pel plantejament de les restriccions, amb els criteris següents: 0,25 punts si només hi ha una restricció correcta, 0,50 punts si només hi ha dues restriccions correctes, 0,75 si les tres restriccions són correctes (les restriccions de no negativitat no donen punts). En cas que les restriccions no estiguen degudament justificades, es descomptaran 0,25 punts. Les restriccions són:

𝑥+𝑦≥6 2𝑥 + 𝑦 ≥ 8 𝑥 + 5𝑦 ≥ 10 𝑥≥0 { 𝑦≥0 De 0 a 1,5 punts per obtenir la regió factible: regió de vèrtexs 𝐴(2,4), 𝐵(5,1), 𝐶(0,8) i 𝐷(10,0). De 0 a 0,5 punts per l’obtenció de la solució correcta: el cost és mínim quan la planta A treballa 5 dies i la planta B treballa 1 dia.

b) De 0 a 0,5 punts per l’obtenció del cost mínim: 375 milers d’euros.

Si la solució s’obté per qualsevol altre mètode raonat i correcte, es puntuarà de 0 a 3,5 punts. La regió factible és la regió acolorida del gràfic següent:

PROBLEMA 1. B.

Pel plantejament del problema, de 0 a 1,5 punts amb els criteris següents: 3 equacions correctes degudament justificades, 1,5 punts; 2 equacions correctes, 1 punt; 1 equació correcta, 0,5 punts. En cas que les tres equacions no estiguen degudament justificades, es descomptaran 0,25 punts. Anomenem x el nombre d’espectadors que paguen l’entrada completa, y el nombre d’espectadors que paguen el 20% i z el nombre d’espectadors que paguen el 50%. Llavors, tenim que:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 500 {9𝑥 + 1,8𝑦 + 4,5𝑧 = 2.115 𝑦 = 2𝑥

Per l’obtenció de la solució del sistema d’equacions, de 0 a 2 punts amb els criteris següents: 2 punts si la solució és correcta per al sistema plantejat per l’alumne i no hi ha incoherències (valors negatius, no naturals…); si la solució no és la del sistema plantejat per l’alumne, la puntuació màxima serà d’1,5 punts, en els quals es valorarà l’adequació i la justificació del procediment de resolució. Si la solució obtinguda és incoherent amb l’enunciat (valors negatius, no naturals…), es puntuarà aquesta part amb un 0, llevat que s’indique que la solució no és raonable i ha d’haver-hi algun error.

La solució és 𝑥 = 150, 𝑦 = 300, 𝑧 = 50.

PROBLEMA 2. A.

a) De 0 a 0,25 punts per justificar que no és contínua en 4: el límit per l’esquerra és 17/5=3,4 i el límit per la dreta és 12. De 0 a 0,25 punts per justificar que és contínua en 8: el límit per l’esquerra i per la dreta és 20. De 0 a 0,25 punts per indicar que és contínua en [0,4) unió amb (4,9]. La gràfica de la funció és aquesta:

b) De 0 a 0,4 punts per calcular la derivada del primer tros, que és

−1+2𝑥+𝑥 2 (1+𝑥)2

. De 0 a

0,3 punts per obtenir que és decreixent en [0, −1 + √2). De 0 a 0,3 punts per obtenir que és creixent en (−1 + √2 ,4]. De 0 a 0,25 punts per obtenir que és creixent en [4,8). De 0 a 0,25 punts per obtenir que és decreixent en (8,9].

c) De 0 a 0,25 punts per calcular el mínim, que és −1 + √2 ; el valor de la funció en el mínim és 𝑓(−1 + √2) = 2√2 − 2. De 0 a 0,25 punts per calcular el màxim, que és 8;

el valor de la funció en el màxim és 𝑓(8) = 20.

d) De 0 a 0,5 punts per calcular una primitiva de la funció, que és de la forma 3𝑥 2

𝑥3

𝐷 + 60𝑥 + 2 − 3 , on 𝐷 és una constant real. De 0 a 0,25 punts per calcular la solució de la integral, que és 79/6 = 13,1667.

PROBLEMA 2. B.

a) De 0 a 0,25 punts per l’obtenció del domini: 𝑅\{−2,4}. De 0 a 0,25 punts per la determinació dels punts de tall amb els eixos; en aquest cas, els punts (−3,0), (3,0), (0, 9/2).

b) De 0 a 0,25 punts per l’obtenció de les asímptotes verticals: la recta d’equació 𝑥 = −2 i la recta d’equació 𝑥 = 4. De 0 a 0,25 punts per l’obtenció de l’asímptota horitzontal: la recta d’equació 𝑦 = 4.

c) De 0 a 1,4 punts per raonar que la funció és decreixent en el seu domini. De 0 a 0,6 punts per raonar que la funció no té ni màxims ni mínims locals.

d) De 0 a 0,5 punts per la gràfica de la funció. A partir dels resultats anteriors, la gràfica de la funció és:

PROBLEMA 3.

a) De 0 a 0,2 punts per identificar la fórmula que permet obtenir la probabilitat demanada a partir de les probabilitats d’haver-se graduat, condicionals a la grandària de la ciutat, i de les probabilitats marginals de viure en cada tipus de ciutat; de 0 a 0,2 punts pel càlcul de cadascun dels tres sumands que apareixen en aquesta probabilitat condicional i de 0 a 0,2 punts pel càlcul de la probabilitat demanada. La resposta correcta és:

𝑃(Graduat | Municipi menut) · 𝑃(Municipi menut) + 𝑃(Graduat | Municipi mitjà)

· 𝑃(Municipi mitjà) + 𝑃(Graduat | Municipi gran) · 𝑃(Municipi gran) = 0,2 · 0,35 + 0,3 · 0,25 + 0,6 · 0,4 = 0,385.

b) De 0 a 0,25 punts per identificar que es tracta d’una probabilitat condicional i conèixer la seua fórmula; de 0 a 0,5 punts pel càlcul del numerador i de 0 a 0,25 punts pel càlcul del denominador. La resposta correcta és:

(𝑃(Graduat i Municipi mitjà) + 𝑃(Graduat i Municipi gran))/𝑃(Graduat) = (0,3 · 0,25 + 0,6 · 0,4)/0,385 = 0,8182.

c) De 0 a 0,75 punts per utilitzar un procediment correcte per a obtenir la intersecció dels successos que s’indiquen; de 0 a 0,25 punts pel càlcul de la probabilitat del succés intersecció. La resposta correcta és:

𝑃(“Municipi menut o mitjà” i “Graduat o Municipi mitjà o Municipi gran”) = 𝑃(Graduat i Municipi menut) + 𝑃(Mitjà) = 0,2 · 0,35 + 0,25 = 0,32.

Si en algun apartat s’obté alguna probabilitat impossible, aquest apartat es puntuarà amb un 0.