Matemáticas II PAU 2021

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2020–2021

MATEMÁTICAS II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno.

c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos.

d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar.

e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

BLOQUE A

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Sabiendo que lı́m

x→0

x+1

ln (x + 1) x

es finito, calcula a y el valor del límite ( ln denota la función logaritmo nepe-

riano).

EJERCICIO 2 (2.5 puntos) Sea f la función definida por f (x) =

ax2 + b (para x 6= a).

a−x

a) Halla a y b sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2, 3) y tiene una asíntota oblicua cuya pendiente vale −4. (1.25 puntos)

b) Para a = 2 y b = 3, calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. (1.25 puntos)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos) Considera la función f : R → R definida por f (x) = x2 + |x − 1|.

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (1.25 puntos)

Z 2 f (x) dx. (1.25 puntos)

b) Calcula

EJERCICIO 4 (2.5 puntos) Considera la función f : [0, +∞) → R definida por f (x) = xex .

a) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y las rectas x = 2, y = x. (1 punto)

b) Determina el área del recinto anterior. (1.5 puntos)

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MATEMÁTICAS II

BLOQUE B

EJERCICIO 5 (2.5 puntos)

m .

Considera la matriz A =  m m + 1

m+2

a) ¿Para qué valores de m existe la inversa de la matriz A? Razona la respuesta. (1.5 puntos)

b) Para m = 1, halla

−1 . (1 punto)

EJERCICIO 6 (2.5 puntos) En una cafetería, tres cafés, una tostada y dos zumos de naranja cuestan 7.50 e. Cuatro cafés, una tostada y un zumo de naranja cuestan 7.20 e.

a) Calcula, de forma razonada, el precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja. (1.5 puntos)

b) ¿El precio de un zumo de naranja podría ser de 2 e? Razona la respuesta. (1 punto)

EJERCICIO 7 (2.5 puntos) Considera el punto P (1, 0, 1) y el plano π ≡ x − y + z + 1 = 0.

a) Halla el simétrico del punto P respecto al plano π. (1.25 puntos)

b) Halla la distancia del punto P al plano π . (1.25 puntos)

EJERCICIO 8 (2.5 puntos) Considera las rectas

x−2

r≡ =y−1= −2 −2

s≡

x + 2y = 3 2y + z = 2

a) Estudia la posición relativa de r y s. (1.25 puntos)

b) Calcula, si es posible, el plano que contiene a r y a s. (1.25 puntos)

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS DE CORRECCIÓN

CRITERIOS GENERALES.

Los ejercicios deben realizarse atendiendo a los estándares del bloque 1 citado en los comentarios del Documento de Orientación de Matemáticas II, valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0.25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0.25 puntos en cada ejercicio.

Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen.

CRITERIOS ESPECÍFICOS PARA ESTE MODELO. La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente. Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento" se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

Ejercicio 1. [2.5 puntos] Hasta 0.75 puntos si comprueba que se trata de una indeterminación que puede resolverse mediante la regla de L´Hôpital. Hasta 0.5 puntos por la primera aplicación de la regla de L’Hôpital. Hasta 0.5 puntos por la segunda aplicación de la regla de L’Hôpital.

Ejercicio 2. (a) [1.25 puntos] Hasta 0.25 puntos por hallar la relación entre a y b usando f (2) = 3. Hasta 0.75 puntos por hallar a aplicando la pendiente de la asíntota oblicua. (b) [1.25 puntos] Hasta 1 punto por hallar la ecuación de la recta tangente.

Ejercicio 3. (a) [1.25 puntos] Hasta 0.75 puntos por los puntos críticos de f . (b) [1.25 puntos] Hasta 0.5 puntos por expresar esa integral como suma de dos integrales con funciones sin valor absoluto. Hasta 0.5 puntos por calcular las primitivas.

Ejercicio 4. (a) [1 punto] Hasta 0.5 puntos por esbozar la gráfica de la función. (b) [1.5 puntos] Hasta 0.5 puntos por expresar el área como una integral definida.

Ejercicio 5. (a) [1.5 puntos] Hasta 0.75 puntos por calcular el valor del determinante. (b) [1 punto] Hasta 0.75 puntos por hallar A−1 .

Ejercicio 6. (a) [1.5 puntos] Hasta 1 punto si plantea y resuelve el sistema de ecuaciones. (b) [1 punto] Hasta

0.75 puntos por el planteamiento.

Ejercicio 7. (a) [1.25 puntos] Hasta 0.75 puntos por el planteamiento. (b) [1.25 puntos] Hasta 0.75 puntos por el planteamiento.

Ejercicio 8. (a) [1.25 puntos] Hasta 0.75 puntos por el planteamiento. (b) [1.25 puntos] Hasta 0.75 puntos por el planteamiento.