Matemáticas II PAU 2021

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2020–2021

MATEMÁTICAS II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno.

c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos.

d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar.

e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

BLOQUE A

EJERCICIO 1 (2.5 puntos) Calcula a, b, c y d sabiendo que la gráfica de la función f : R → R definida por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d tiene un punto de inflexión en (0, 4) y su recta normal en el punto (1, 8) es paralela al eje de ordenadas.

EJERCICIO 2 (2.5 puntos) Considera la función f definida por f (x) =

x2 − 10 (para x 6= −3, x 6= 1).

x2 + 2x − 3

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f . (1.25 puntos)

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (1.25 puntos)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos) Considera la función f : R → R definida por f (x) = ex .

a) Calcula a para que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) pase por el origen de coordenadas.

(1.25 puntos)

b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , la recta tangente a la misma en el punto (1, f (1)) y el eje de ordenadas. (1.25 puntos)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Z 3 Calcula

|x2 − 3x + 2| dx.

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MATEMÁTICAS II

BLOQUE B

EJERCICIO 5 (2.5 puntos)

2 1 Considera la matriz A =  b −1 1 , con determinante igual a 5.

1 1

a) Calcula razonadamente el determinante de 2A3 . (0.5 puntos)

b) Calcula razonadamente los determinantes

2a −1 3 2b 1/2 3 2c −1/2 3

a+4 b−2 c+2 .

a+1 b+1 c+1

(2 puntos)

EJERCICIO 6 (2.5 puntos) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

mz = 1  x + my + x + 2my + (m + 1)z = 1

2x + my + mz = 2

a) Discute el sistema según los valores de m. (1.75 puntos)

b) Resuelve el sistema, si es posible, para m = 1. (0.75 puntos)

EJERCICIO 7 (2.5 puntos) Considera el punto P (1, 2, 6) y el plano π ≡ 2x − y + z = 0.

a) Halla las ecuaciones de los planos paralelos a π cuya distancia a éste sea

6 unidades. (1.25 puntos)

b) Halla el simétrico del punto P respecto al plano π . (1.25 puntos)

EJERCICIO 8 (2.5 puntos)

 x = −λ y = 1 + 2λ Considera los puntos B(−1, 0, −1), C(0, 1, −3) y la recta r ≡

z = −1 + λ

a) Calcula un punto que esté en r y equidiste de B y C . (1.25 puntos)

b) Siendo D(1, −1, −2), calcula el área del triángulo con vértices en los puntos B , C y D. (1.25 puntos)

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS DE CORRECCIÓN

CRITERIOS GENERALES.

Los ejercicios deben realizarse atendiendo a los estándares del bloque 1 citado en los comentarios del Documento de Orientación de Matemáticas II, valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0.25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0.25 puntos en cada ejercicio.

Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen.

CRITERIOS ESPECÍFICOS PARA ESTE MODELO. La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente. Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento" se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

Ejercicio 1. [2.5 puntos] Hasta 0.75 puntos por las condiciones en el punto (1, 8). Hasta 0.75 puntos por las condiciones en el punto (0, 4).

Ejercicio 2. (a) [1.25 puntos] Hasta 0.5 puntos por el estudio y obtención de las asíntotas verticales. Hasta 0.5 puntos por el estudio y obtención de la asíntota horizontal. (b) [1.25 puntos] Hasta 0.25 puntos por el cálculo de la primera derivada de f . Hasta 0.5 puntos por la obtención de los puntos de derivada nula.

Ejercicio 3. (a) [1.25 puntos] Hasta 0.75 puntos por calcular la ecuación general de la recta tangente a dicha gráfica. Hasta 0.25 puntos por obligar a que dicha recta pase por el origen de coordenadas. (b) [1.25 puntos] Hasta 0.75 puntos por expresar el área como una integral definida. Hasta 0.25 puntos por la primitiva.

Ejercicio 4. [2.5 puntos] Hasta 1.5 puntos por expresar esa integral como suma de dos integrales con funciones sin valor absoluto. Hasta 0.5 puntos por calcular las dos primitivas.

Ejercicio 5. (a) [0.5 puntos] Lo indicado en el enunciado. (b) [2 puntos] Hasta 1.5 puntos por aplicar correctamente las propiedades de los determinantes.

Ejercicio 6. (a) [1.75 puntos] Hasta 0.5 puntos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes. Hasta

0.5 puntos por hallar los valores críticos. (b) [0.75 puntos] Lo indicado en el enunciado.

Ejercicio 7. (a) [1.25 puntos] Hasta 0.75 puntos por el planteamiento. (b) [1.25 puntos] Hasta 0.75 puntos por el planteamiento.

Ejercicio 8. (a) [1.25 puntos] Hasta 0.75 puntos por el planteamiento. (b) [1.25 puntos] Hasta 0.75 puntos por el planteamiento.