Matemáticas II PAU 2020

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2019–2020

MATEMÁTICAS II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Este examen consta de 8 ejercicios.

c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos.

d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios de los ocho ejercicios propuestos. Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen.

e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

EJERCICIO 1 (2.5 puntos) Considera la función f : R → R dada por f (x) = ex (x2 − 5x + 6). Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f y los puntos de inflexión de su gráfica.

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Z π Calcula

x sen2 (x) dx.

EJERCICIO 3 (2.5 puntos) Considera el sistema de ecuaciones dado por AX = B siendo

 

−2

−2  , X =  y  y B =  2m  .

A= m

0 m + 2 −3

a) Discute el sistema según los valores de m. (1.5 puntos)

b) Para m = −2, ¿existe alguna solución con z = 0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta. (1 punto)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera el plano π ≡ x − y + az = 0 y la recta r ≡

4x − 3y + 4z = 1 3x − 2y + z = 0

a) Halla a sabiendo que π es paralelo a r. (1.5 puntos)

b) Determina el plano perpendicular a r que pasa por el punto P (1, 2, 3). (1 punto)

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MATEMÁTICAS II

EJERCICIO 5 (2.5 puntos) Sea la función derivable f : R → R definida por

f (x) =

 2ax−4b  e

si x < 1

1 − x lnx si x ≥ 1

(ln denota la función logaritmo neperiano).

a) Determina los valores de a y b. (1.75 puntos)

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2. (0.75 puntos)

EJERCICIO 6 (2.5 puntos) Considera las funciones f, g : R → R definidas por f (x) = |x| y g(x) = x2 − 2.

a) Calcula los puntos de corte de las gráficas de f y g . Esboza el recinto que determinan. (1 punto)

b) Determina el área del recinto anterior. (1.5 puntos)

EJERCICIO 7 (2.5 puntos)

  1 2 3

Considera A =  0 0 2  y X =  y  .

0 1 1

a) Halla los valores de λ tales que |A − λI| = 0, donde I es la matriz identidad de orden 3. (1.25 puntos)

b) Para λ = 1, resuelve el sistema dado por (A − λI)X = 0. ¿Existe alguna solución tal que z = 1? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta. (1.25 puntos)

EJERCICIO 8 (2.5 puntos) Considera el plano π ≡ x − y + z = 2 y la recta r ≡

y+1 z+2

−1

a) Calcula la distancia entre r y π . (1 punto)

b) Halla la ecuación general del plano perpendicular a π que contiene a r. (1.5 puntos)

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS DE CORRECCIÓN CRITERIOS GENERALES.

Los ejercicios deben realizarse atendiendo a los estándares del bloque 1 citado en los comentarios del Documento de Orientación de Matemáticas II, valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0.25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0.25 puntos en cada ejercicio.

Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen.

CRITERIOS ESPECÍFICOS PARA ESTE MODELO. La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente. Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento" se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

EJERCICIO 1 (2.5 puntos) Hasta 0.5 puntos por la primera derivada. Hasta 0.5 puntos por la segunda derivada.

EJERCICIO 2 (2.5 puntos) Hasta 2 puntos por hallar la integral indefinida.

EJERCICIO 3 a) (1.5 puntos) Hasta 0.75 puntos por los valores críticos. b) (1 punto) Hasta 0.5 puntos por el planteamiento.

EJERCICIO 4 a) (1.5 puntos) Hasta 0.5 puntos por el planteamiento. b) (1 punto) Hasta 0.5 puntos por el planteamiento.

EJERCICIO 5 a) (1.75 puntos) Hasta 0.5 puntos por la condición de continuidad. Hasta 0.75 puntos por la condición de derivabilidad. b) (0.75 puntos) Lo indicado.

EJERCICIO 6 a) (1 punto) Hasta 0.25 puntos por cada uno de los dos puntos de corte. b) (1.5 puntos) Hasta 0.5 puntos por expresar el área como una integral definida. Hasta 0.25 puntos por la regla de Barrow.

EJERCICIO 7 a) (1.25 puntos) Hasta 0.75 puntos por calcular el determinante. b) (1.25 puntos) Hasta 0.75 puntos por resolver el sistema.

EJERCICIO 8 a) (1 punto) Hasta 0.5 puntos por el estudio de la posición relativa de r y π . b) (1.5 puntos) Hasta

0.5 puntos por el planteamiento.