Matemáticas II PAU 2021

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2020–2021

MATEMÁTICAS II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno.

c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos.

d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar.

e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

BLOQUE A

EJERCICIO 1 (2.5 puntos) Sea la función continua f : R → R definida por

f (x) =

ln(ex + x3 )

4x + a

b + sen(πx)

si

x<0

si

0≤x<1

si

1≤x

( ln denota la función logaritmo neperiano). Determina a y b.

EJERCICIO 2 (2.5 puntos) Sea f : R → R la función definida por f (x) =

e2x − 1

e2x + 1

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f . (1.25 puntos)

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (1.25 puntos)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Z π/2 Calcula

2 sen2 (x) − cos2 (x) dx.

EJERCICIO 4 (2.5 puntos) Considera las funciones f , g : R → R definidas por f (x) = |x| − 2 y por g(x) = 4 − x2 .

a) Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan. (1 punto)

b) Determina el área del recinto anterior. (1.5 puntos)

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MATEMÁTICAS II

BLOQUE B

EJERCICIO 5 (2.5 puntos)

2 0 2 Considera la matriz A =  −1 2 1 .

0 1 4

a) Estudia, según los valores de λ, el rango de la matriz A − λI , siendo I la matriz identidad de orden tres.

(1.75 puntos)

  

0  y halla, si existe, una solución en la que x = 2. (0.75 puntos)

b) Resuelve el sistema (A − I)

EJERCICIO 6 (2.5 puntos)

Considera las matrices A =

1 −1 0 1 m 1

2 .

y B= 0 m −1

a) Calcula m para que AB no tenga inversa. (1 punto)

b) Estudia el rango de la matriz BA según los valores de m. (1.5 puntos)

EJERCICIO 7 (2.5 puntos) Considera las rectas

x = 2 + 3λ r ≡ y = −1 + 2λ

z =3+λ

2x − y − 2 = 0 s≡ y + 2z − 4 = 0

a) Halla el plano que contiene a r y es paralelo a s. (1.5 puntos)

b) Deduce razonadamente que ningún plano perpendicular a s contiene a r. (1 punto)

EJERCICIO 8 (2.5 puntos) Considera los puntos A(1, 2, 3), B(−2, 4, −3) y C(−10, 1, 0).

a) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C . (1.25 puntos)

b) Halla el plano que equidista de A y B . (1.25 puntos)

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS DE CORRECCIÓN

CRITERIOS GENERALES.

Los ejercicios deben realizarse atendiendo a los estándares del bloque 1 citado en los comentarios del Documento de Orientación de Matemáticas II, valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0.25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0.25 puntos en cada ejercicio.

Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen.

CRITERIOS ESPECÍFICOS PARA ESTE MODELO. La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente. Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento" se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

Ejercicio 1. [2.5 puntos] Hasta 1 punto por la condición de continuidad en x = 0. Hasta 1 punto por la condición de continuidad en x = 1.

Ejercicio 2. (a) [1.25 puntos] Hasta 0.25 puntos por justificar que no tiene asíntotas verticales. Hasta 0.5 puntos por calcular la asíntota horizontal y = 1. Hasta 0.25 puntos por calcular la asíntota horizontal y = −1. (b) [1.25 puntos] Hasta 0.5 puntos por el cálculo de la primera derivada.

Ejercicio 3. [2.5 puntos] Hasta 1 punto por obtener una primitiva de sen2 (x). Hasta 0.5 puntos por aplicar la regla de Barrow.

Ejercicio 4. (a) [1 punto] Hasta 0.5 puntos por los puntos de corte. (b) [1.5 puntos] Hasta 1 punto por calcular la primitiva.

Ejercicio 5. (a) [1.75 puntos] Hasta 0.5 puntos por calcular el determinante de A − λI . Hasta 0.75 puntos por calcular los valores críticos. (b) [0.75 puntos] Hasta 0.5 puntos por resolver el sistema.

Ejercicio 6. (a) [1 punto] Hasta 0.5 puntos por calcular AB . (b) [1.5 puntos] Hasta 1 punto por razonar que BA no puede tener rango 3.

Ejercicio 7. (a) [1.5 puntos] Hasta 1 punto por el planteamiento. (b) [1 punto] Hasta 0.5 puntos por el planteamiento.

Ejercicio 8. (a) [1.25 puntos] Hasta 0.75 puntos por el planteamiento. (b) [1.25 puntos] Hasta 0.75 puntos por el planteamiento.