Matemáticas II PAU 2019

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD

MATEMÁTICAS II

ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2018–2019

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Opción A

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Dada la función f : (0, 2π) → R, definida por f (x) = sen(x) + cos(x), calcula sus máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la gráfica de f (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2.- Sea f : R → R la función dada por

f (x) =

−x2 + 6x − 8 x2 − 6x + 8

si si

x≤4 x>4

(a) [1,5 puntos] Calcula los puntos de corte entre la gráfica de f y la recta y = 2x − 4. Esboza el recinto que delimitan la gráfica de f y la recta.

(b) [1 punto] Calcula el área del recinto anterior.

 

m 1

Ejercicio 3.- Dadas las matrices A =  m − 1 m 0 , B =  1  y

1 1

X= y 

(a) [1,25 puntos] Estudia el rango de A según los valores de m.

(b) [1,25 puntos] Sabiendo que para m = 1 el sistema dado por AX = B tiene solución, encuentra k y resuélvelo.

Ejercicio 4.- Considera la recta r ≡

x−4

z−1 = =

y el plano π ≡ 2x + y − z + 3 = 0 .

(a) [1,25 puntos] Halla la ecuación general del plano perpendicular a π que contiene a r.

(b) [1,25 puntos] Calcula la distancia entre r y π .

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MATEMÁTICAS II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Opción B

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Considera la función f definida por

f (x) =

ax + b cx + 1

para cx + 1 6= 0 .

Determina a, b y c sabiendo que la recta x = −1 es una asíntota vertical a la gráfica de f y que y = 2 x + 4 es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Considera la función f : R → R dada por f (x) = −4x2 + a, siendo a > 0 un número real. Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta y = 0. Calcula a sabiendo que el área del recinto es

18.

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

 mx + (m + 1)z = m my + z = m

y + mz = m (a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de m.

(b) [0,75 puntos] Resuélvelo, si es posible, para m = 1.

Ejercicio 4.- Se consideran los puntos A(0, −1, 3), B(2, 3, −1) y la recta r ≡

x+2 y−2 z−3

(a) [1,25 puntos] Halla un punto C de r de forma que el triángulo ABC sea rectángulo en A.

(b) [1,25 puntos] Calcula los puntos de r que equidistan de los puntos A y B .

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN CRITERIOS GENERALES.

Los ejercicios deben realizarse atendiendo a los estándares del bloque 1 citado en los comentarios del Documento de Orientación de Matemáticas II, valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

Si se realizan ejercicios de las dos opciones, sólo se evaluarán los ejercicios de la misma opción que el primero que aparezca físicamente en el papel de examen.

CRITERIOS ESPECÍFICOS PARA ESTE MODELO. La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente. Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento" se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

Opción A

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por obtener cada uno de los dos extremos relativos. Hasta 0,5 puntos por obtener cada uno de los dos puntos de inflexión.

Ejercicio 2.- (a) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por los puntos de corte. (b) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por la expresión del área como integral definida.

Ejercicio 3.- (a) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por determinar los valores de m para los que el rango es 3. (b) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por encontrar k .

Ejercicio 4.- (a) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento. (b) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento.

Opción B

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Hasta 1,75 puntos por calcular los valores de a y de b.

Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por el esbozo de la región. Hasta 1 punto por expresar el área como una integral definida.

Ejercicio 3.- (a) [1,75 puntos] Hasta 0,5 puntos si calcula el determinante de la matriz de coeficientes. Hasta 0,5 puntos por el caso compatible determinado. (b) [0,75 puntos] Lo indicado.

Ejercicio 4.- (a) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento. (b) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento.