Matemáticas II PAU 2019

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2018–2019

MATEMÁTICAS II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Opción A

cos(x) − e−2 x − 2 x x→0 sen2 (x) lı́m

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Calcula

Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Calcula

 2

x +1 ln dx ( ln denota la función logaritmo neperiano).

m 1

Ejercicio 3.- Dadas las matrices A =  m − 1 m 0  y

1 1

1 −1 0  B= 2

(a) [1 punto] Calcula los valores de m para los cuales A tiene inversa.

(b) [1,5 puntos] Para m = 2, encuentra la matriz X que cumple AX − BB t = I , siendo B t la matriz traspuesta de B e I la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 4.- Considera el punto A(2, 1, 0) y los planos π1 ≡ x + y + z = 0 y π2 ≡ x − y + z = 0.

(a) [1,25 puntos] Calcula la recta que pasa por A y es paralela a π1 y a π2 .

(b) [1,25 puntos] Calcula los puntos de la recta s ≡

x−1 y−2

que equidistan de π1 y π2 .

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MATEMÁTICAS II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Opción B

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Se sabe que la función f : R → R, dada por

f (x) =

 2 x − ax + 2b

si

x≤0

 ln(x + 1)

si

x>0

(ln denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula a y b.

Ejercicio 2.- Sean las funciones f, g : [0, π] → R definidas por f (x) = sen(x) y

g(x) = sen(2x) .

(a) [1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

(b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas y las rectas x = 0 y x =

Ejercicio 3.- Dado el sistema de ecuaciones lineales

 mx − y + 13z = 0 2x − my + 4z = 0

x + y + 7z = 0 (a) [1,5 puntos] Encuentra los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones.

(b) [1 punto] Resuelve el sistema para m = 3. En este caso, ¿hay alguna solución en la que x = 10? Razona tu respuesta.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(0, 3, −1) y B(0, 1, a) y el plano π de ecuación x − y + z = 0.

(a) [0,75 puntos] Determina a sabiendo que la recta que pasa por A y por B es paralela al plano π .

(b) [0,75 puntos] Halla el punto de corte del plano π con la recta que pasa por A y es perpendicular a dicho plano.

(c) [1 punto] Para a = 2, halla el plano que contiene a los puntos A y B y es perpendicular al plano π .

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN CRITERIOS GENERALES.

Los ejercicios deben realizarse atendiendo a los estándares del bloque 1 citado en los comentarios del Documento de Orientación de Matemáticas II, valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

Si se realizan ejercicios de las dos opciones, sólo se evaluarán los ejercicios de la misma opción que el primero que aparezca físicamente en el papel de examen.

CRITERIOS ESPECÍFICOS PARA ESTE MODELO. La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente. Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento" se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

Opción A

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Hasta 1 punto por cada aplicación de la regla de L’Hôpital.

Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Hasta 1,25 puntos por la integración por partes.

Ejercicio 3.- (a) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por el cálculo del determinante de A. (b) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por la obtención de A−1 . Hasta 0,25 puntos por despejar X . Hasta 0,25 puntos por el cálculo BB t . Hasta 0,25 puntos por calcular I + BB t .

Ejercicio 4.- (a) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento. (b) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento.

Opción B

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Hasta 1,5 puntos por la obtención de a.

Ejercicio 2.- (a) [1 punto] Hasta 0,25 puntos por cada gráfica. (b) [1,5 puntos] Hasta 0,75 puntos por expresar el área como una integral definida. Hasta 0,5 puntos por el cálculo de las primitivas.

Ejercicio 3.- (a) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos si calcula el determinante de la matriz de coeficientes. Hasta 0,5 puntos por hallar los valores críticos. (b) [1 punto] Hasta 0,75 puntos por expresar correctamente la solución.

Ejercicio 4.- (a) [0,75 puntos] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento. (b) [0,75 puntos] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento. (c) [1 punto] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento.