Matemáticas II PAU 2019

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2018–2019

MATEMÁTICAS II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Opción A

1 2 x , calcula las dimensiones del

rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y = 0.

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Dada la función f : R → R definida por f (x) = 6 −

Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Determina la función f : (0, +∞) → R sabiendo que es derivable, que su función derivada cumple

ln(x) f 0 (x) = √

( ln denota la función logaritmo neperiano) y que la gráfica de f pasa por el punto (1, 0).

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x + y + 2z = 0 (m + 2)x + y − z = m

3x + (m + 2)y + z = m (a) [1,5 puntos] Discute el sistema según los valores de m.

(b) [1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para m = 0.

Ejercicio 4.- Se consideran los vectores ~ u = (1, 2, 3), ~v = (1, −2, −1) y w ~ = (2, α, β), donde α y β son números reales.

(a) [0,75 puntos] Determina los valores de α y β para los que w ~ es ortogonal a los vectores ~u y ~v .

(b) [0,75 puntos] Determina los valores de α y β para los que w ~ y ~v tienen la misma dirección.

(c) [1 punto] Para α = 8, determina el valor de β para el que w ~ es combinación lineal de ~u y ~v .

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MATEMÁTICAS II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Opción B

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Se sabe que la función f : R → R, dada por

f (x) =

sen(x) + ax + b

si

x≤0

 ln(x + 1)

si

x>0

(ln denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula a y b.

Ejercicio 2.- Sea la función f : R → R dada por f (x) = xe−x .

(a) [1,25 puntos] Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados y los extremos relativos de f (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

(b) [1,25 puntos] Determina a > 0 de manera que sea intervalo [0, a] y el eje de abscisas.

el área del recinto determinado por la gráfica de f en el

Ejercicio 3.- [2,5 puntos] Calcula, en grados, los tres ángulos de un triángulo sabiendo que el menor de ellos es la mitad del ángulo mayor y que la suma del ángulo menor y el ángulo mayor es el doble del otro ángulo.

Ejercicio 4.- Considera las rectas r ≡

x−2 y−k

s≡

x+1 y−1 z−3

−1

(a) [1,5 puntos] Halla k sabiendo que ambas rectas se cortan en un punto.

(b) [1 punto] Para k = 1, halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a s.

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN CRITERIOS GENERALES.

Los ejercicios deben realizarse atendiendo a los estándares del bloque 1 citado en los comentarios del Documento de Orientación de Matemáticas II, valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

Si se realizan ejercicios de las dos opciones, sólo se evaluarán los ejercicios de la misma opción que el primero que aparezca físicamente en el papel de examen.

CRITERIOS ESPECÍFICOS PARA ESTE MODELO. La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente. Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento" se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

Opción A

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Hasta 1,5 puntos por la función a optimizar. Hasta 0,5 puntos por obtener el punto crítico. Hasta 0,25 puntos por comprobar que es un máximo absoluto.

Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Hasta 1,5 puntos por la integración por partes. Hasta 0,5 puntos por el valor de la constante.

Ejercicio 3.- (a) [1,5 puntos] Hasta 0,25 puntos si calcula el determinante de la matriz de coeficientes. Hasta 0,25 puntos por los valores críticos. Hasta 0,5 puntos por el caso m = −4. (b) [1 punto] Lo indicado.

Ejercicio 4.- (a) [0,75 puntos] Hasta 0,25 puntos por el planteamiento. (b) [0,75 puntos] Hasta 0,25 puntos por el planteamiento. (c) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento.

Opción B

Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Hasta 1,5 puntos por la obtención de a.

Ejercicio 2.- (a) [1,25 puntos] Hasta 0,25 puntos por encontrar el único punto de corte con los ejes coordenados.

Hasta 0,5 puntos por la derivada. Hasta 0,25 puntos por los puntos críticos. (b) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por la primitiva. Hasta 0,25 puntos por la regla de Barrow.

Ejercicio 3.- [2,5 puntos] Hasta 1,5 puntos por el planteamiento del sistema.

Ejercicio 4.- (a) [1,5 puntos] Hasta 1 punto por el planteamiento. (b) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento.