Matemáticas II PAU 2019

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD

MATEMÁTICAS II

ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2018–2019

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Opción A

Ejercicio 1.- Considera la función f definida por

f (x) =

x2 + 3x + 4 2x + 2

para

x 6= −1.

(a) [1,5 puntos] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f .

(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .

Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Sea la función f : (0, +∞) → R definida por f (x) = cuya gráfica pasa por el punto (1, 1). (Sugerencia: cambio de variable t = ex ).

Ejercicio 3.- [2,5 puntos] Calcula todas las matrices X =

a b c d

1 + ex . Halla la primitiva de f 1 − ex

tales que a + d = 1, tienen determinante 1

y cumplen AX = XA, siendo A =

0 −1

Ejercicio 4.- Considera la recta r ≡

y−2 z−1 x−2

y los planos π1 ≡ x = 0 y π2 ≡ y = 0.

−1

(a) [1,25 puntos] Halla los puntos de la recta r que equidistan de los planos π1 y π2 .

(b) [1,25 puntos] Determina la posición relativa de la recta r y la recta intersección de los planos π1 y π2 .

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MATEMÁTICAS II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Opción B

Ejercicio 1.- Considera la función f : R → R definida por f (x) = (x − a)ex .

(a) [1,25 puntos] Determina a sabiendo que la función tiene un punto crítico en x = 0.

(b) [1,25 puntos] Para a = 1, calcula los puntos de inflexión de la gráfica de f .

Ejercicio 2.- Considera la funciones f : (−2, +∞) → R, definida por f (x) = ln(x + 2) ( ln denota la función logaritmo neperiano) y g : R → R, definida por g(x) =

(x − 3).

(a) [1 punto] Esboza el recinto que determinan la gráfica de f , la gráfica de g , la recta x = 1 y la recta x = 3. (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).

(b) [1,5 puntos] Determina el área del recinto anterior.

 2

 

2m − 1 2 − m 1 2m − 1 , X =  y , B =  m ,

Ejercicio 3.- [2,5 puntos] Dadas las matrices A = 

considera el sistema de ecuaciones lineales dado por X t A = B t , donde X t , B t denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de m.

Ejercicio 4.- Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 2) y C(0, 2, 1).

(a) [1,25 puntos] Halla el área de dicho triángulo.

(b) [1,25 puntos] Calcula el coseno del ángulo en el vértice A.

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN CRITERIOS GENERALES.

Los ejercicios deben realizarse atendiendo a los estándares del bloque 1 citado en los comentarios del Documento de Orientación de Matemáticas II, valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

Si se realizan ejercicios de las dos opciones, sólo se evaluarán los ejercicios de la misma opción que el primero que aparezca físicamente en el papel de examen.

CRITERIOS ESPECÍFICOS PARA ESTE MODELO. La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente. Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento" se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

Opción A

Ejercicio 1.- (a) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por justificar que no tiene asíntotas horizontales. Hasta 0,25 puntos por la asíntota vertical. (b) [1 punto] Lo indicado.

Ejercicio 2.- [2,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por hacer el cambio de variable. Hasta 0,5 puntos por la descomposición en fracciones simples. Hasta 0,5 puntos por la integración de cada una de las dos funciones racionales. Hasta 0,25 puntos por el valor de la constante.

Ejercicio 3.- [2,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por el uso adecuado de cada condición sobre X .

Ejercicio 4.- (a) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos si sólo encuentra uno de los puntos. (b) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento.

Opción B

Ejercicio 1.- (a) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por la derivada. (b) [1,25 puntos] Lo indicado.

Ejercicio 2.- (a) [1 punto] Lo indicado. (b) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por expresar el área como una integral definida.

Ejercicio 3.- [2,5 puntos] Hasta 0,5 puntos si calcula el determinante de la matriz de coeficientes. Hasta 0,5 puntos por hallar los valores críticos.

Ejercicio 4.- (a) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento. (b) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento.