Matemáticas II PAU 2020

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2019–2020

MATEMÁTICAS II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Este examen consta de 8 ejercicios.

c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos.

d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios de los ocho ejercicios propuestos. Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen.

e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

EJERCICIO 1 (2.5 puntos) Considera la función f definida por f (x) =

x3 para x 6= 1, −1.

x2 − 1

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f . (1.25 puntos)

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (1.25 puntos)

EJERCICIO 2 (2.5 puntos) Determina la única función derivable f : R → R que cumple que f (0) = 1, f 0 (0) = 1 y f 00 (x) = ex (x + 2).

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera A =

2 1 1 1 0 1

 

1 0 , B =  −1 m  , X =  y  y C =  −2  .

1 1

a) Determina los valores de m para los que AB no tiene inversa. (0.75 puntos)

b) Determina los valores de m para los que BA no tiene inversa. (0.75 puntos)

c) Para m = 0, resuelve, si es posible, el sistema dado por BAX = C y halla una solución en la que x + y + z = 0.

(1 punto)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos) Considera los puntos A(t, 2, −1), B(0, 1, 1), C(−1, 0, 2) y D(2, 3, −t − 1).

a) Calcula el valor o valores de t para que el volumen del tetraedro de vértices A, B , C , D sea 5 unidades cúbicas.

(1.25 puntos)

b) Para t = 0, calcula la distancia del punto A a la recta determinada por los puntos B y C . (1.25 puntos)

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MATEMÁTICAS II

EJERCICIO 5 (2.5 puntos) Se sabe que la función f : R → R dada por f (x) = ax3 + bx2 + cx + d tiene un punto crítico en x = 0, que su gráfica pasa por (0, 3) y que la recta y = −2x + 2 es tangente a dicha gráfica en el punto de abscisa x = 1. Calcula a, b, c y d.

EJERCICIO 6 (2.5 puntos) Calcula el valor de a > 0 para que el área comprendida entre la parábola y = 3x2 − 2ax y el eje de abscisas sea 4 unidades cuadradas.

EJERCICIO 7 (2.5 puntos)

Considera las matrices A =

1 1 1 2

y B=

2 1 2 0

a) Sabiendo que una matriz X verifica que X 3 AX = B 2 , halla los posibles valores de su determinante. (1 punto)

b) Determina, si existe, una matriz Y que verifique A2 Y B −1 = A. (1.5 puntos)

EJERCICIO 8 (2.5 puntos) Considera el punto A(0, 1, −2) y los planos π1 ≡ 2x − y − z + 5 = 0 y π2 ≡ x + 5y − 6z − 4 = 0.

a) Halla el punto simétrico de A respecto de π1 . (1.5 puntos)

b) Determina la recta que pasa por A y es paralela a π1 y π2 . (1 punto)

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS DE CORRECCIÓN CRITERIOS GENERALES.

Los ejercicios deben realizarse atendiendo a los estándares del bloque 1 citado en los comentarios del Documento de Orientación de Matemáticas II, valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0.25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo de manera efectiva la resolución, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0.25 puntos en cada ejercicio.

Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen.

CRITERIOS ESPECÍFICOS PARA ESTE MODELO. La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente. Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento" se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

EJERCICIO 1 a) (1.25 puntos) Hasta 0.5 puntos por hallar las asíntotas verticales. Hasta 0.5 puntos por hallar la asíntota oblicua. b) (1.25 puntos) Hasta 0.5 puntos por hallar la derivada.

EJERCICIO 2 (2.5 puntos) Hasta 1 punto por cada integración por partes.

EJERCICIO 3 a) (0.75 puntos) Hasta 0.25 puntos por calcular AB . b) (0.75 puntos) Hasta 0.25 puntos por calcular BA. c) (1 punto) Hasta 0.75 puntos por la solución general del sistema.

EJERCICIO 4 a) (1.25 puntos) Hasta 0.5 puntos por el planteamiento. b) (1.25 puntos) Hasta 0.5 puntos por el planteamiento.

EJERCICIO 5 (2.5 puntos) Hasta 0.5 puntos por expresar algebraicamente cada una de las cuatro condiciones.

EJERCICIO 6 (2.5 puntos) Hasta 1 punto por expresar el área como una integral definida.

EJERCICIO 7 a) (1 punto) Hasta 0.5 puntos por usar adecuadamente las propiedades de los determinantes. b) (1.5 puntos) Hasta 0.5 puntos si calcula simbólicamente Y . Hasta 0.5 puntos si calcula A−1 .

EJERCICIO 8 a) (1.5 puntos) Hasta 0.75 puntos por el planteamiento. b) (1 punto) Hasta 0.5 puntos por el planteamiento.