Matemáticas II PAU 2020

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2019–2020

MATEMÁTICAS II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Este examen consta de 8 ejercicios.

c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos.

d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios de los ocho ejercicios propuestos. Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen.

e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

EJERCICIO 1 (2.5 puntos) Sabiendo que

xex − ln(1 + x) − (a + 1)x x→0 x2 lı́m

es finito, calcula a y el valor del límite (ln denota la función

logaritmo neperiano).

EJERCICIO 2 (2.5 puntos) Determina la función f : (−1, +∞) → R, sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto (0, 1),

f 0 (0) = 0 y f 00 (x) =

x+1

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

 ax + y + z = 1 x + ay + z = a Considera el sistema de ecuaciones

x + y + az = a2

a) Discútelo según los valores de a. (1.75 puntos)

b) Resuelve, si es posible, el sistema para a = 1 y a = −2. (0.75 puntos)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera el punto P (1, 0, −1) y la recta r ≡

x − y + 2z = 5 x−z =1

a) Determina el punto simétrico de P respecto de la recta r. (1.5 puntos)

b) Calcula el punto de la recta r que dista

6 unidades de P . (1 punto)

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MATEMÁTICAS II

EJERCICIO 5 (2.5 puntos) Sea f la función definida por f (x) =

|x| para x 6= 2.

2−x

a) Estudia la derivabilidad de f . (1.25 puntos)

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (1.25 puntos)

EJERCICIO 6 (2.5 puntos) Considera las funciones f, g : R → R definidas por f (x) = −4x + 2 y g(x) = −x2 + 2x + c.

a) Halla el valor de c sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que g alcanza su máximo. (1 punto)

b) Para c = −3, calcula el área de la región limitada por ambas gráficas. (1.5 puntos)

EJERCICIO 7 (2.5 puntos)

− 12

Considera la matriz A =  √

− 23

− 21

.

a) Calcula A37 y A41 . (1.5 puntos)

b) Halla el determinante de la matriz 3A52 (At )4 , donde At es la matriz traspuesta de A. (1 punto)

EJERCICIO 8 (2.5 puntos) Considera los vectores ~ u = (2, 1, 0), ~v = (1, 0, −1) y w ~ = (a, b, 1).

a) Halla a y b sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que w ~ es ortogonal a ~u. (1.5 puntos)

b) Para a = 1, calcula el valor o valores de b para que el volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores sea de 6 unidades cúbicas. (1 punto)