Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2026

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso 2025-2026 MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓN El examen consta de 4 preguntas: la primera sin apartados optativos y las tres siguientes con posibilidad de elección. Todas las respuestas deben ser razonadamente justificadas.

CALIFICACIÓN: cada pregunta se valorará sobre 2,5 puntos.

DURACIÓN: 90 minutos.

P REGUNTA 1 (2,5 puntos) Responda los dos apartados. Esta pregunta no tiene opcionalidad.

El barómetro de octubre de 2025 del Centro de Investigaciones Sociológicas (CIS) recoge las entrevistas realizadas a una muestra de 4029 personas. La Pregunta 10R plantea al entrevistado: “¿Cuál es, a su juicio, el principal problema que existe actualmente en España? ¿Y el segundo? ¿Y el tercero?” De los 333 entrevistados entre 18 y 24 años, un 35,5 % mencionan como alguno de los tres problemas “la vivienda”, un 26,7 % “la inmigración” y un 25,1 % “los problemas relacionados con la calidad del empleo”. En los barómetros de septiembre y julio de 2025, “la vivienda” fue mencionada como respuesta a la Pregunta 10R por el 31,9 % y el 29,3 % de los jóvenes en la misma franja de edad, respectivamente.

1.a) (1,5 puntos) Calcule el intervalo de confianza al 95 % para la proporción de jóvenes de 18 a 24 años que consideran la vivienda como uno de los tres principales problemas de España en octubre de 2025.

1.b) (1 punto) Para el barómetro de noviembre se desea volver a estimar la proporción de jóvenes de 18 a 24 años que consideran la vivienda como uno de los tres principales problemas de España. Se quiere que esta estimación tenga un margen de error de cinco puntos porcentuales y un nivel de confianza del 97 %. Calcule el tamaño de muestra que sería necesario asumiendo que la proporción es p = 0, 355.

P REGUNTA 2 (2,5 puntos) Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 2.1 o bien 2.2.

2.1 Considere la función real de variable real

f (x) = x(1 − x2 ) + e−λx , donde λ es un parámetro real sin especificar.

2.1.a) (1 punto) Calcule F (x), la primitiva de f (x), tal que F (0) = 1.

2.1.b) (1 punto) Obtenga el área entre la curva de f (x) y el eje horizontal en el intervalo [0, 1].

2.1.c) (0,5 puntos) ¿Para qué valores de λ es f ′ (0) positiva?

2.2 Sea la función real de variable real definida por

f (x) =

x+2

 (x − 2)2

si x < 0,

x2 + x3

 2 x +1

si x ≥ 0.

2.2.a) (0,5 puntos) Determine razonadamente el dominio de f (x).

2.2.b) (0,5 puntos) Estudie la continuidad de f (x) en x = 0.

2.2.c) (0,5 puntos) Calcule la asíntota de f (x) cuando x → −∞.

2.2.d) (1 punto) Calcule la asíntota de f (x) cuando x → +∞.

P REGUNTA 3 (2,5 puntos) Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 3.1 o bien 3.2.

3.1 Considere las siguientes matrices:

1/2 1 3/2 A =  1 1/2 1  3/2 1 1/2

1 0

y B = 0 1/2 0  .

0 0 1/4

3.1.a) (1,5 puntos) Calcule la matriz X en la ecuación matricial AXB = A + B .

3.1.b) (1 punto) Calcule el determinante |C 2 B|, siendo C = 2(A−1 )t Nota: M t denota la matriz traspuesta de la matriz M.

3.2 Considere la región S del plano delimitada por las siguientes restricciones:

x ≤ 6,

3y − 2x ≤ 10,

3y ≥ 2 − 2x,

x ≤ 10 − y,

y ≥ x − 6.

3.2.a) (2,0 puntos) Calcule las coordenadas de los vértices de S y represente gráficamente la región S .

3.2.b) (0,5 puntos) Se desea minimizar el triple de y menos la mitad de x en S . Indique el valor mínimo y el punto de la región en el cual se alcanza.

P REGUNTA 4 (2,5 puntos) Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 4.1 o bien 4.2.

4.1 Sean A, B y C tres sucesos de los que se conoce la siguiente información:

P (A) = 0,4,

P (B) = 0,6,

P (A | C) = 0,6,

P (C) = 0,5,

P (B | C) = 0,8

P (A ∩ B | C) = P (A | C)P (B | C),

P (A ∩ B | C) = 0,08.

4.1.a) (1 punto) Determine si A y B son independientes.

4.1.b) (1,5 puntos) Determine la probabilidad de que C ocurra sabiendo que A y B ocurrieron.

Nota: S denota el suceso complementario (contrario) del suceso S.

4.2 En un laboratorio farmacéutico se realiza un test de control de calidad para detectar productos defectuosos antes de su distribución. Se conoce la siguiente información:

El 3 % de los productos presenta un defecto grave, el 7 % un defecto leve y el resto no presenta defectos.

Si el defecto es grave, el test da positivo el 98 % de las veces.

Si el defecto es leve, el test da positivo el 80 % de las veces.

Si el producto no tiene defectos, el test da positivo el 5 % de las veces.

4.2.a) (1,2 puntos) Calcule la probabilidad de que el test de un producto seleccionado al azar dé negativo.

4.2.b) (1,3 puntos) Si el test de un producto ha dado positivo, calcule la probabilidad de que el defecto sea grave.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR Los valores en la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de z.

,00

,01

,02

,03

,04

,05

,06

,07

,08

,09

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554

0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736

0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844

0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159

0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186

0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212

0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238

0,7054 0,7389 0,7703 0,7995 0,8264

0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289

0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315

0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340

0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365

0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192

0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207

0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222

0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236

0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251

0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265

0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279

0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292

0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306

0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713

0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719

0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726

0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732

0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738

0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744

0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750

0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756

0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761

0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918

0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920

0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922

0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925

0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927

0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929

0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931

0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932

0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934

0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981

0,9940 0,9954 0,9966 0,9975 0,9982

0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982

0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983

0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984

0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984

0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985

0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985

0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986

0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986

3,0

0,9987

0,9987

0,9987

0,9988

0,9988

0,9989

0,9989

0,9989

0,9990

0,9990

SOLUCIONES-MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II P REGUNTA 1

1.a) Se tiene una muestra de n = 333 jóvenes de 18-24 años y una proporción muestral p̂oct25 = 0,355. Como np̂oct25 = 118,215 > 5 y n(1 − p̂oct25 ) = 214,785 > 5, se puede usar la aproximación normal para construir el intervalo de confianza. Además, α = 0,05 y zα/2 ≈ 1,96. El intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que consideran la vivienda como uno de los tres principales problemas de España es

p̂oct25 ± zα/2

IC1−α (poct25 ) =

p̂oct25 (1 − p̂oct25 )

0,355 ± 1,96 ·

0,355(1 − 0,355)

≈ (0,355 ± 0,0514) = (0,3036; 0,4064) .

1.b) El error en la estimación de la proporción pnov25 viene dado por

p̂nov25 (1 − p̂nov25 )

Sabemos que α = 0,03, por lo que zα/2 ≈ 2,17, y que E = 0,05. Despejando n y tomando como estimación preliminar p̂nov25 = p̂oct25 = 0,355 (valor del mes anterior), se obtiene E = zα/2

zα/2 p̂nov25 (1 − p̂nov25 )

n≥

2,172 · 0,355(1 − 0,355) = 431,2882.

0,052

E2 Se requiere una muestra mínima de n = 432 entrevistados.

P REGUNTA 2

Opción 2.1

2.1.a) La primitiva de f (x) = x(1 − x2 ) + e−λx es

F (x) =

x2 x4 e−λx x(1 − x2 ) + e−λx dx =

+ C.

Como F (0) = 1 ⇐⇒ − λ1 + C = 1, C = 1 + λ1 = λ+1 λ da la primitiva F (x) buscada.

2.1.b) Obsérvese que f (x) es positiva siempre que x ∈ [0, 1]. Por la regla de Barrow, el área entre la curva de f (x) y el eje horizontal en el intervalo [0, 1] es

Z 1 f (x) dx = F (1) − F (0) =

1 1 − e−λ 1 1 e−λ − − + = +

2 4

2.1.c) La derivada de f (x) es f ′ (x) = 1 − 3x2 − λe−λx , por lo que f ′ (0) = 1 − λ > 0 ⇐⇒ λ < 1.

Opción 2.2

2.2.a) Cuando x < 0, el denominador (x − 2)2 solo se anula si x = 2, por lo que esa rama está definida siempre.

Cuando x ≥ 0, x2 + 1 > 0. Por lo tanto, Domf (x) = R.

2.2.b) La función f (x) es continua en x = 0 si se cumple que f (0) = lı́mx→0− f (x) = lı́mx→0+ f (x):

f (0) = 0.

x+2

lı́mx→0− (x−2) 2 = 2.

lı́mx→0+ xx2+x +1 = 0.

Por lo tanto, f (x) no es continua en x = 0.

x+2 x+2

2.2.c) Cuando x → −∞, lı́mx→−∞ (x−2) 2 = lı́mx→−∞ x2 −4x+4 = 0. Por lo tanto, la función tiene una asíntota horizontal y = 0 cuando x → −∞. No hay asíntota oblicua.

2.2.d) Cuando x → +∞, el grado del numerador en f (x) es una unidad superior al del denominador, por lo que no hay asíntota horizontal y sí existe asíntota oblicua y = mx + n:

f (x) x2 + x3 = lı́m = 1, x→+∞ x3 + x x→+∞ x x2 + x3 − x(x2 + 1) x2 − x n = lı́m [f (x) − mx] = lı́m = lı́m = 1.

x→+∞ x→+∞ x→+∞ x2 + 1 x +1 Así, la asíntota oblicua cuando x → +∞ es y = x + 1.

m = lı́m

P REGUNTA 3

Opción 3.1

3.1.a) La matriz B es diagonal, por lo que su inversa es inmediata. La inversa de A también existe, pues |A| = 1.

Estas inversas son:

−1

−2 1  1 − 43

− 34

Por lo tanto, AXB = A + B ⇐⇒ XB = I + A

y B −1 = 0

−1

B ⇐⇒ X = B

1 1 14

X = 1 0 1  .

1 13

−1

0 .

+ A−1 . Operando, se obtiene

3.1.b) Por las propiedades del determinante, |C 2 B| = |C|2 |B| = |C|2 /8. Además, |C| = |2(A−1 )t | = 23 |A−1 | = 8/|A| = 8. Por lo tanto, |C 2 B| = 82 /8 = 8.

Opción 3.2

3.2.a) La región se grafica en la Figura 1. Los vértices del polígono S son A(4, 6), B(6, 4), C(6, 0), D(4, −2) y E(−2, 2).

F IGURA 1. Región S , en azul, y restricciones activas.

3.2.b) La función f (x, y) = 3y − x/2 toma los siguientes valores en los vértices de S :

Vértice

f (x, y)

A(4, 6) B(6, 4) C(6, 0) D(4, −2) E(−2, 2)

−3 −8

Por lo tanto f (x, y) alcanza su mínimo en el vértice D(4, −2), con valor f (4, −2) = −8.

P REGUNTA 4

Opción 4.1

4.1.a) Por la ley de la probabilidad total:

P (A ∩ B) = P (A ∩ B | C)P (C) + P (A ∩ B | C)P (C) = (0,6 · 0,8) · 0,5 + 0,08 · 0,5 = 0,28.

Como P (A)P (B) = 0,4 · 0,6 = 0,24 ̸= P (A ∩ B), A y B no son independientes.

4.1.b) Por la regla de Bayes:

P (C | A ∩ B) =

0,48 · 0,5 0,24 P (A ∩ B | C)P (C)

≈ 0,8571, P (A ∩ B) 0,28 0,28

donde se usa que, como A y B son condicionalmente independientes dado C ,

P (A ∩ B | C) = P (A | C)P (B | C) = 0,6 · 0,8 = 0,48.

Opción 4.2

4.2.a) Sean G = “defecto grave”, L = “defecto leve”, N = “sin defecto”, − = “test negativo” y + = “test positivo”.

Según los datos aportados,

P (G) = 0,03,

P (L) = 0,07,

P (+ | G) = 0,98,

P (N ) = 0,90,

P (+ | L) = 0,80,

P (+ | N ) = 0,05,

de donde se deduce que P (− | G) = 0,02, P (− | L) = 0,20 y P (− | N ) = 0,95. La probabilidad del resultado negativo en el test es

P (−) = P (− | G)P (G) + P (− | L)P (L) + P (− | N )P (N ) = 0,02 · 0,03 + 0,20 · 0,07 + 0,95 · 0,90 = 0,8696.

4.2.b) Por la regla de Bayes,

P (G | +) =

0,0294 P (+ | G)P (G)

≈ 0,2255, P (+) 0,1304

usando que

P (+) = P (+ | G)P (G) + P (+ | L)P (L) + P (+ | N )P (N ) = 0,98 · 0,03 + 0,80 · 0,07 + 0,05 · 0,90 = 0,1304.

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ATENCIÓN: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos

Pregunta 1. (Puntuación máxima: 2,5 puntos) Apartado (1.a): 1,5 puntos.

Cálculo correcto de z α /2............................................................................. 0,3 puntos.

Justificación correcta del uso de la aproximación normal.......................... 0,4 puntos.

Planteamiento correcto de la fórmula del intervalo de confianza ............. 0,4 puntos.

Cálculo correcto del intervalo de confianza................................................ 0,4 puntos.

Apartado (1.b): 1 punto.

Cálculo correcto de z α /2............................................................................. 0,3 puntos.

Planteamiento correcto de la fórmula del error.......................................... 0,2 puntos.

Cálculo correcto del tamaño mínimo muestral .......................................... 0,5 puntos.

Pregunta 2. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)

Opción 2.1 Puntuación máxima: 2,5 puntos Apartado (2.1.a): 1 punto.

Cálculo correcto de la primitiva................................................................... 0,5 puntos.

Cálculo correcto de la constante................................................................. 0,5 puntos.

Apartado (2.1.b): 1 punto.

Justificación correcta de la positividad de f(x) en [0, 1]............................... 0,3 puntos.

Planteamiento correcto del área pedida (No penalizar por no dar el área en u2 )...................................................... 0,3 puntos.

Cálculo correcto del área ............................................................................ 0,4 puntos.

Apartado (2.1.c): 0.5 puntos.

Cálculo correcto de la derivada................................................................... 0,3 puntos.

Identificación correcta de f ′(0) y obtención de la condición sobre λ........... 0,2 puntos.

Opción 2.2 Puntuación máxima: 2,5 puntos Apartado (2.2.a): 0,5 puntos.

Justificación correcta del dominio en la rama x < 0..................................... 0,4 puntos.

Justificación correcta del dominio en la rama x ≥ 0...................................... 0,1 puntos.

Apartado (2.2.b): 0,5 puntos.

Planteamiento de la definición de continuidad............................................ 0,1 puntos.

Cálculo correcto de los límites..................................................................... 0,1 puntos.

Conclusión correcta sobre la no continuidad en x=0.................................. 0,3 puntos.

Apartado (2.2.c): 0,5 puntos.

Cálculo correcto de la asíntota horizontal................................................... 0,4 puntos.

Comunicación correcta del resultado.......................................................... 0,1 puntos.

Apartado (2.2.d): 1 punto.

Identificación de la existencia de una asíntota oblicua............................... 0,2 puntos.

…