Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2026

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso 2025-2026 MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓN El examen consta de 4 preguntas: la primera sin apartados optativos y las tres siguientes con posibilidad de elección. Todas las respuestas deben ser razonadamente justificadas.

CALIFICACIÓN: cada pregunta se valorará sobre 2,5 puntos.

DURACIÓN: 90 minutos.

P REGUNTA 1 (2,5 puntos) Responda los dos apartados. Esta pregunta no tiene opcionalidad.

Se está realizando un estudio sobre las ventas de mochilas de una marca deportiva en los pequeños establecimientos de una gran ciudad. Esta marca tiene dos tipos de mochilas, unas realizadas con material impermeable, que están indicadas preferentemente para deportes acuáticos, y otras fabricadas en lona no impermeable.

1.a) (1,3 puntos) Se supone que el precio de las mochilas sigue una distribución normal con desviación típica de 25 euros. Si se ha seleccionado una muestra de 50 comercios y se ha obtenido que el precio medio de venta de estas mochilas es de 43, 55 euros, obtenga un intervalo de confianza al 97, 8 % para la media de la distribución.

1.b) (1,2 puntos) Si se desea saber cuál es la proporción de clientes que prefieren las mochilas realizadas con material impermeable, ¿cuál es el número de comercios necesario para que dicha proporción tenga un error de muestreo inferior al 5 %? Utilice un nivel de confianza del 95 %. Considere el caso más conservador en el que p = q = 0, 5.

P REGUNTA 2 (2,5 puntos) Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 2.1 o bien 2.2.

2.1. Dadas las matrices

A=

1 3 1 2 0 1

1 0 B = 1 1 0 1

5 0 C= 0 −1

2.1.a) (1 punto) Calcule, si existe, la matriz D = (AB + I)−1 , donde M −1 significa la matriz inversa de M e I es la matriz identidad.

2.1.b) (1,5 puntos) Obtenga, si existe, el valor de k para que se verifique AAt − kB t B = C , donde M t representa la matriz transpuesta de la matriz M .

2.2. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a.

= 1

3x + ay 2x − y + az = 1

x − 3y + 2z = 1

2.2.a) (1,5 puntos) Discuta la solución del sistema para los diferentes valores de a.

2.2.b) (1 punto) Resuelva el sistema para el valor a = 3.

P REGUNTA 3 (2,5 puntos) Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 3.1 o bien 3.2.

3.1. Se está realizando un estudio sobre la utilización de IA por parte de los estudiantes universitarios en la elaboración de trabajos académicos. En dicho estudio participan un 30 % de estudiantes de Humanidades, un 45 % de estudiantes de Ciencias y un 25 % de estudiantes de Derecho. Además, por estudios anteriores, se estima que, en Humanidades el 15 % de los estudiantes utilizan la IA, en Ciencias el 5 % y en Derecho el 25 %.

3.1.a) (0,9 puntos) Obtenga la probabilidad de que, elegido un trabajo al azar, haya sido realizado con la IA.

3.1.b) (0,8 puntos) Si se selecciona un trabajo que no ha sido realizado con la IA, obtenga la probabilidad de que pertenezca a un estudiante de Derecho.

3.1.c) (0,8 puntos) En la Facultad de Derecho, el detector de IA utilizado para este estudio tiene un 90 % de probabilidad de detectar los trabajos que realmente fueron realizados con IA, mientras que en un 8 % de las ocasiones clasifica los trabajos como realizados con la IA cuando realmente no se han realizado con dicha herramienta. Si al pasar un trabajo de un estudiante de Derecho por el detector este señala que se ha realizado con la IA, ¿cuál es la probabilidad de que efectivamente se haya realizado con la IA?

3.2. Se consideran dos sucesos A y B tales que

P (A ∩ B) = 0, 1

P (A ∩ B) = 0, 7

P (A | B) = 0, 4

Resuelva las siguientes preguntas:

3.2.a) (0,5 puntos) P (B)

3.2.b) (0,5 puntos) P (A ∪ B)

3.2.c) (0,5 puntos) P (A)

3.2.d) (0,5 puntos) P A | B

3.2.e) (0,5 puntos) ¿Son independientes los sucesos A y B ? Justifique la respuesta Nota: S es el suceso complementario del suceso S .

P REGUNTA 4 (2,5 puntos) Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 4.1 o bien 4.2.

4.1. Considere la función real de variable real:

f (x) =

 −3x+2 e

x<0

x≥0

x2 − 4x + 2 x+1

4.1.a) (0,5 puntos) Determine razonadamente el dominio de la función.

4.1.b) (1 punto) Estudie la continuidad de la función en x = 0.

4.1.c) (1 punto) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. ¿Existe algún extremo de esta función?

4.2. Considere la función real de variable real:

f (x) = x3 + 3x2 + ax + b

4.2.a) (1 punto) Obtenga los valores de a y b para que la recta tangente a la función en el punto (1,2) sea horizontal.

4.2.b) (1,5 puntos) Si a = −10 y b = 0, calcule el área delimitada por la función, el eje horizontal y las rectas x = 1 y x = 3.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR Los valores en la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de z.

,00

,01

,02

,03

,04

,05

,06

,07

,08

,09

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554

0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736

0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844

0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159

0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186

0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212

0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238

0,7054 0,7389 0,7703 0,7995 0,8264

0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289

0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315

0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340

0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365

0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192

0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207

0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222

0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236

0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251

0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265

0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279

0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292

0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306

0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713

0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719

0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726

0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732

0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738

0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744

0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750

0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756

0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761

0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918

0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920

0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922

0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925

0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927

0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929

0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931

0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932

0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934

0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981

0,9940 0,9954 0,9966 0,9975 0,9982

0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982

0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983

0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984

0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984

0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985

0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985

0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986

0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986

3,0

0,9987

0,9987

0,9987

0,9988

0,9988

0,9989

0,9989

0,9989

0,9990

0,9990

SOLUCIONES-MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II P REGUNTA 1

1.a) La condición dada nos lleva a que 1 − α = 0, 978 ⇒ α = 0, 022 ⇒ α/2 = 0, 011 y buscando en la tabla de la distribución normal vemos que zα/2 = 2, 29

el intervalo será: x̄ − zα/2 √σn ; x̄ + zα/2 √σn

1.b) El error al estimar p es E = zα/2

= 43, 55 − 2, 29 √2550 ; 43, 55 + 2, 29 √2550 = (35, 454; 51, 646)

2 ·pq zα/2 pq

n por lo que n debe ser mayor o igual que E2

El nivel de confianza del 95 % implica que 1 − α = 0, 95 ⇒ α = 0, 05 ⇒ α/2 = 0, 025 y buscando en la tabla de la distribución normal vemos que zα/2 = 1, 96.

Si consideramos p=q =0, 5, despejando n =

n≥

2 ·pq zα/2

E2

1, 96 0, 52

nos queda

= 384, 16, 0,052 por tanto, se necesita una muestra con un mínimo de n = 385 comercios.

P REGUNTA 2

Opción 2.1

2.1.a)

A·B =

4 4 2 1

A·B+I =

2 1 1 2

5 4 2 2

−1

11 − 2k 3 − k 3 − k 5 − 2k

⇒ D = (A · B + I)

1 −2 −1 2, 5

2.1.b)

A·A =

11 3 3 5

B ·B =

A·A −k·B ·B =

5 0

=C⇒k=3 0 −1

Opción 2.2

3 a 0 3 a 0 1

2.2.a) A = 2 −1 a ; A∗ = 2 −1 a 1 1 −3 2 1 1 −3 2 det(A) = 0 ⇔ a = 1 ó a = −6 Siempre se tiene que rango(A) ≥ 2 puesto que

2 −1 ̸= 0 1 −3

Si a = 1 ⇒ rango(A) = rango(A∗ ) = 2 ⇒ S.C.I Si a = −6 ⇒ rango(A) = 2 y rango(A∗ ) = 3 ⇒ S.I Si a ̸= 1 y a ̸= −6 ⇒ rango(A) = rango(A∗ ) = 3 ⇒ S.C.D.

2.2.b) Si a = 3 es un sistema compatible determinado:

3 3 0 1 3 3 0 1

2 F −2∗3 F   2 −1 3 1 − −−−−−−→ 2 −1 3 1  1 −3 2 1 0 5 −1 −1

3 3 0 1 3 3 0 1

3∗2 F −2∗1 F 5∗2 F +9∗3 F −−−−−−−−→  0 −9 9 1  −−−−−−−−→  0 −9 9 1  0 5 −1 −1 0 0 36 −4

Solución: x = , y = − , z = −

P REGUNTA 3

Opción 3.1 Identificación de los sucesos:

H : el trabajo seleccionado es de un estudiante de Humanidades. P (H) = 0, 30 C : el trabajo seleccionado es de un estudiante de Ciencias. P (C) = 0, 45 D: el trabajo seleccionado es de un estudiante de Derecho P (D) = 0, 25.

IA: el trabajo seleccionado se ha realizado con Inteligencia Artificial.

IA: es el complementario del suceso IA, es decir el trabajo no se ha realizado con IA.

P (IA | H ) = 0, 15

P (IA | C ) = 0, 05

P (IA | D ) = 0, 25

3.1.a) Utilizando el teorema de la probabilidad total:

P (IA) = P (IA | H ) · P (H) + P (IA | C ) · P (C) + P (IA | D ) · P (D) = 0, 13

3.1.b) Utilizando el teorema de Bayes:

P (D ∩ IA) 0, 75 · 0, 25

P D | IA = = 0, 2155 (1 − 0, 13) P (IA)

3.1.c) En este apartado nos restringimos únicamente a estudiantes de Derecho. Llamemos DET al suceso “el detector clasifica el trabajo como realizado con IA”. Consideraremos también el suceso IAD= “El trabajo de un estudiante de derecho se ha realizado con IA”, (este suceso es el mismo que IA | D). Usando las fórmulas de Bayes (y restringiéndonos a estudiantes de Derecho) tenemos que

P (IAD | DET ) =

P (DET | IAD)P (IAD) P (DET | IAD)P (IAD)

P (DET ) P (DET | IAD)P (IAD) + P (DET | IAD)P (IAD) 0, 9 · 0, 25

≃ 0, 79 0, 9 · 0, 25 + 0, 08 · 0, 75

Opción 3.2

P (A ∩ B) P (A ∩ B) ⇒ P (B) = = 0,1 0,4 = 0, 25 P (B) P (A | B)

3.2.b) P (A ∩ B) = P (A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B) ⇒ P (A ∪ B) = 1 − P (A ∩ B) = 1 − 0, 7 = 0, 3

3.2.a) P (A | B) =

3.2.c)

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ⇒ P (A) = P (A ∪ B) + P (A ∩ B) − P (B) = 0, 15
P (A∩B)

3.2.d) P A | B = P (B) = 0, 9333

3.2.e) P A | B = 0, 9333 ̸= P (A) = 1 − 0, 15 = 0, 85. No son independientes.

P REGUNTA 4

Opción 4.1

4.1.a) El dominio de la función es R, puesto que si x < 0, la función es una exponencial, luego no presenta ningún valor en el que no esté definida. Si x ≥ 0, el denominador de esta función solo se anula en x = −1.

4.1.b) Continuidad en x = 0

lı́m f (x) = lı́m e−3x+2 = e2 y lı́m f (x) = lı́m x −4x+2 = 2.

x+1

x→0−

x→0−

x→0+

x→0+

Puesto que e2 ̸= 2, f (x) presenta una discontinuidad en el punto x = 0.

4.1.c) Si x < 0 f´(x) = −3e−3x+2 < 0 ⇒f es decreciente.

Si x > 0, f´(x) = x +2x−6 y f´(x) = 0 ⇔ x = 7 − 1 pues

(x+1)

x = − 7 − 1 < 0.

Se tiene √ que en ( 0, 7 − 1) es f´(x) < 0 ⇒f es decreciente y en ( 7 − 1, +∞) √ es f´(x) > 0 ⇒f es creciente En el punto x = 7 − 1 hay un mínimo porque pasa de decreciente a creciente.

Opción 4.2

4.2.a)

f´(x) = 3x2 + 6x + a ⇒ f´(1) = 0 ⇒ 9 + a = 0 ⇒ a = −9 f (1) = 2 ⇒ f (x) = 13 + 3 · 12 + a · 1 + b = 4 + a + b = 2 ⇒ a + b = −2 ⇒ b = 7

4.2.b) Puesto que f (x) es negativa en (0, 2) y positiva a partir de 2, el área pedida viene dada por la integral

Z3

|x3 + 3x2 − 10x|dx =

Z 2

−(x3 + 3x2 − 10x)dx +

Z 3

(x3 + 3x2 − 10x)dx =

2  4 3 −x4

− x + 5x

+ x − 5x = −4 − 8 + 20 + + 1 − 5 + + 27 − 45 − 4 − 8 + 20 = .

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ATENCIÓN: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos

Pregunta 1. (Puntuación máxima: 2,5 puntos) Apartado (1.a): 1,3 puntos.

Determinación del valor z α /2 .................................................. 0,5 puntos.

Aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo....... 0,5 puntos.

Determinación correcta del intervalo de confianza ................. 0,3 puntos.

Apartado (1.b): 1,2 puntos.

Determinación del valor z α /2 .................................................. 0,3 puntos.

Aplicación de la fórmula del error............................................ 0,4 puntos.

Determinación correcta del tamaño muestral necesario ........ 0,5 puntos.

Pregunta 2. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)

Opción 2.1 Puntuación máxima: 2,5 puntos Apartado (2.1.a): 1 punto.

Obtención de la expresión correcta de AB ............................. 0,4 puntos.

Obtención de la expresión correcta de AB+ I ........................ 0,1 puntos.

Cálculo correcto de D .............................................................. 0,5 puntos.

Apartado (2.1.b): 1,5 puntos.

Cálculo correcto de AA t ......................................................... 0,5 puntos.

Cálculo correcto de BB t .......................................................... 0,5 puntos.

Cálculo correcto de C ............................................................. 0,2 puntos.

Cálculo correcto de k .............................................................. 0,3 puntos.

Opción 2.2 Puntuación máxima: 2,5 puntos Apartado (2.2.a): 1,5 puntos.

Cálculo correcto del valor de a................................................ 0,3 puntos.

Discusión correcta del sistema................................................ 1,2 puntos.

Apartado (2.2.b): 1 punto.

Obtención de la solución correcta ............................................ 1 punto.

Pregunta 3. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)

Opción 3.1 Puntuación máxima: 2,5 puntos Apartado (3.1.a): 0,9 puntos.

Planteamiento correcto de la probabilidad............................... 0,6 puntos.

Cálculo correcto de la probabilidad........................................... 0,3 puntos.

Apartado (3.1.b): 0,8 puntos.

Planteamiento correcto de la probabilidad............................... 0,5 puntos.

Cálculo correcto de la probabilidad........................................... 0,3 puntos.

Apartado (3.1.c): 0,8 puntos.

Planteamiento correcto de la probabilidad............................... 0,5 puntos.

Cálculo correcto de la probabilidad........................................... 0,3 puntos.

NOTA: Por cada suceso no definido, se penalizará con 0,1 puntos en la puntuación total de la

Opción.

Opción 3.2 Puntuación máxima: 2,5 puntos Apartado (3.2.a): 0,5 puntos.

Cálculo correcto de la probabilidad........................................... 0,5 puntos.

Apartado (3.2.b): 0,5 puntos.

Cálculo correcto de la probabilidad........................................... 0,5 puntos.

Apartado (3.2.c): 0,5 puntos.

…