Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2026

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso 2025-2026 MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓN El examen consta de 4 preguntas: la primera sin apartados optativos y las tres siguientes con posibilidad de elección. Todas las respuestas deben ser razonadamente justificadas.

CALIFICACIÓN: cada pregunta se valorará sobre 2,5 puntos.

DURACIÓN: 90 minutos.

P REGUNTA 1 (2,5 puntos) Responda los dos apartados. Esta pregunta no tiene opcionalidad.

Una empresa textil fabrica dos tipos de pantalones: premium y básicos. La dirección necesita optimizar la producción para maximizar los beneficios del próximo mes. Cada pantalón premium requiere 1, 5 kg de algodón y 40 minutos de mano de obra, generando un beneficio de 25 euros. Cada pantalón básico requiere 1 kg de algodón y 10 minutos de mano de obra para generar un beneficio de 10 euros. La producción debe someterse a las siguientes restricciones:

Disponibilidad de algodón: 600 kg.

Tiempo de trabajo disponible: 12000 minutos.

Por contrato con un cliente mayorista, deben producir al menos 100 pantalones premium.

La demanda de pantalones básicos es limitada: no más de 360 unidades.

1.a) (1,2 puntos) Defina las variables de decisión y plantee la función objetivo que representa el beneficio total. Plantee también todas las restricciones del problema. Represente gráficamente la región factible.

1.b) (1,3 puntos) Determine cuántos pantalones de cada tipo debe producir la empresa para maximizar el beneficio. ¿Cuál es el beneficio máximo?

P REGUNTA 2 (2,5 puntos) Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 2.1 o bien 2.2.

2.1 Tenemos una baraja de dorso azul que contiene 60 cartas de diamantes y 40 cartas de tréboles y otra baraja de dorso verde que contiene 30 cartas de diamantes y 70 cartas de tréboles. Además, tenemos una bolsa con 2 bolas azules y 4 bolas verdes.

Se saca una bola de la bolsa. Si la bola es azul, se saca una carta al azar de la baraja azul. Si la bola es verde, se saca una carta al azar de la baraja de dorso verde.

2.1.a) (1,5 puntos) Calcule la probabilidad de que se saque una carta de diamantes.

2.1.b) (1 punto) Si la carta extraída es de tréboles, ¿cuál es la probabilidad de que su dorso sea verde?

, P (B) = y P (A ∩ B) = .

Calcule, razonadamente e indicando qué resultados matemáticos se usan, las probabilidades pedidas a continuación:

2.2.a) (0,5 puntos) P (A ∪ B)

2.2.b) (0,5 puntos) P (A ∩ B)

2.2.c) (0,5 puntos) P (B | A)

2.2.d) (0,5 puntos) P (A | A ∩ B)

2.2.e) (0,5 puntos) P (A | B) Nota: A denota al suceso contrario (o complementario) del suceso A.

2.2 Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio, siendo P (A) =

P REGUNTA 3 (2,5 puntos) Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 3.1 o bien 3.2.

3.1 Consideremos la función

f (x) =

 2x+3

 x + 5x + 2 2x + 3

si x ≤ 1

si x > 1

3.1.a) (1 punto) Calcule el área limitada por la función dada y el eje de abscisas en el intervalo [−1, 1].

3.1.b) (0,5 puntos) Estudie la continuidad de la función.

3.1.c) (1 punto) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo (1, ∞).

3.2 Dada la función g(x) = x3 + bx2 − 9x + d (b y d son números reales).

3.2.a) (1 punto) Calcule qué valores deben tomar b y d para que g(x) tenga un extremo relativo en x = 3 y la gráfica de g(x) pase por el punto (2, 10).

3.2.b) (1,5 puntos) Para b = 3 y d = 0, calcule los máximos y mínimos, relativos y absolutos, de la función en el intervalo cerrado [−4, 2].

P REGUNTA 4 (2,5 puntos) Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 4.1 o bien 4.2.

4.1 Una cadena de gimnasios quiere estudiar el perfil de sus clientes. Se asume que la edad de sus clientes sigue una distribución normal con media µ = 35 años y desviación típica σ = 12 años.

4.1.a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un cliente elegido al azar tenga entre 30 y 45 años, ambos inclusive.

4.1.b) (1,5 puntos) Se ha tomado una muestra aleatoria de 150 clientes y se ha observado que, para dicha muestra, la edad media es de 36, 5 años. Calcule el intervalo de confianza al 92 % para la edad media de los clientes del gimnasio. Si el nivel de confianza para la edad media de los clientes del gimnasio fuera del 98 % justifique si la amplitud del intervalo sería mayor o menor.

4.2 El peso de los paquetes de pipas de girasol que produce una determinada empresa sigue una distribución normal con media µ = 250 gramos y desviación típica σ = 8 gramos.

4.2.a) (1 punto) ¿Qué porcentaje de paquetes tienen un peso comprendido entre 240 y 255 gramos?

4.2.b) (1,5 puntos) La empresa quiere establecer un control de calidad rechazando aquellos paquetes cuyo peso se desvíe excesivamente del peso medio. Si decide rechazar el 5 % de los paquetes (el 2, 5 % de los más ligeros y el 2, 5 % de los más pesados), ¿entre qué valores debe estar el peso de un paquete para ser aceptado?

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR Los valores en la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de z.

,00

,01

,02

,03

,04

,05

,06

,07

,08

,09

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554

0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736

0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844

0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159

0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186

0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212

0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238

0,7054 0,7389 0,7703 0,7995 0,8264

0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289

0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315

0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340

0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365

0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192

0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207

0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222

0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236

0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251

0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265

0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279

0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292

0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306

0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713

0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719

0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726

0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732

0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738

0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744

0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750

0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756

0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761

0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918

0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920

0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922

0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925

0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927

0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929

0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931

0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932

0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934

0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981

0,9940 0,9954 0,9966 0,9975 0,9982

0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982

0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983

0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984

0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984

0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985

0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985

0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986

0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986

3,0

0,9987

0,9987

0,9987

0,9988

0,9988

0,9989

0,9989

0,9989

0,9990

0,9990

SOLUCIONES-MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II P REGUNTA 1

1.a) Las variables de decisión son:

x = número de pantalones premium y = número de pantalones básicos El enunciado del problema nos da las siguientes restricciones:

1, 5x + y ≤ 600 40x + 10y ≤ 12000 y ≤ 360 x ≥ 100

≥0

(1) (2) (3) (4) (5)

La función objetivo es f (x, y) = 25x + 10y.

r2

r3

r4

r1

x r5

1.b) Lo más sencillo es evaluar en los vértices de la región factible la función. Calcularemos las intersecciones

r1 ∩ r2 :

r1 ∩ r3 :

r2 ∩ r5 :

r3 ∩ r4 :

r5 ∩ r4 :

1, 5x + y = 600, 4x + y = 1200 ⇒ A(240, 240) 1, 5x + y = 600, y = 360 ⇒ B(160, 360) 4x + y = 1200, y = 0 ⇒ C(300, 0) D(100, 360) E(100, 0)

f (A) = 8400, f (B) = 7600, f (C) = 7500, f (D) = 6100, f (E) = 2500 (todo esto expresado en euros).

El beneficio máximo es de 8400, que se corresponde con una producción de 240 pantalones de cada tipo.

P REGUNTA 2

Opción 2.1

2.1.a) Consideremos los sucesos A = extraer una bola azul de la bolsa V = extraer una bola verde de la bolsa D = extraer una carta de diamantes T = extraer una carta de tréboles

Las condiciones del enunciado se traducen en que

P (A) = ,

P (V ) = ,

P (D|A) = ,

P (T |A) = ,

P (D|V ) =

P (T |V ) =

La cuestión puede resolverse utilizando el diagrama de árbol y, a partir de él, el teorema de la probabilidad total:

Bolsa

P (A) = 62 = 13

P (V ) = 46 = 32

Baraja azul

Baraja verde

10 = 5

10 = 5

Diamantes

Tréboles

Diamantes

Tréboles

P (D) = P (D|A) · P (A) + P (D|V ) · P (V ) =

3 1 3 2

· +

· = .

5 3 10 3

2.1.b) Aplicamos el teorema de Bayes

P (V | T ) =

· 7 P (V ∩ T )

= 3 3 10 = .

P (T )

Opción 2.2

2.2.a) P (A ∪ B) = P (A ∩ B) = 16 ⇒ P (A ∪ B) = 65 .

2.2.b) P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 16 .

−1 P (B ∩ A) P (A) − P (A ∩ B)

= 3 2 6 = 34 .

P (A) P (A)

2.2.d) Es 0 porque condicionado a A no puede ocurrir A.

P (B ∩ A)

2.2.e) P (A | B) = = 62 = .

P (B)

2.2.c) P (B | A) =

P REGUNTA 3

Opción 3.1

3.1.a) La función es positiva y, por tanto, no corta al eje de abscisas.

Z 1 Área =

2x+3

−1

1 2x+3 1 e5 − e

dx =

−1

3.1.b) Se resuelve fácilmente calculando límites laterales. Las dos ramas de la función son continuas en (−∞, 1) y (1, ∞) (el problema que podría presentarse en x = −3 2 al anularse un denominador no ha lugar puesto que ese punto está fuera de la zona donde interviene esa función). Por tanto, para ver si es continua o no, hay que estudiar el punto de “empalme” x = 1. Tomando límites laterales se concluye fácilmente que

lı́m f (x) = e5

x→1−

lı́m f (x) = .

x→1

lo que implica que la función no es continua en ese punto.

3.1.c) En el intervalo considerado se tiene que f ′ (x) =

2x2 + 6x + 11 y esa función es siempre (2x + 3)2

positiva, por lo que la función es creciente en ese intervalo.

Opción 3.2

3.2.a) Para que presente un extremo relativo en x = 3 ha de verificarse que g ′ (3) = 0. Como g ′ (x) = 3x2 + 2bx − 9 la condición nos lleva a que b = −3.

Que la gráfica pase por (2, 10) implica que g(2) = 10 y, por tanto, d = 32.

3.2.b) Para los valores b = 3 y d = 0 la función dada se convierte en g(x) = x3 + 3x2 − 9x y, por tanto, g ′ (x) = 3x2 + 6x − 9. Igualando a 0 y simplificando para hallar los puntos críticos tenemos que

4 + 12 −2 ± 4 x=

Y, por ello, los puntos críticos son: x1 = −3 y x2 = 1.

−2 ±

La primera derivada es un polinomio de segundo grado y es fácil estudiar su signo. Vemos que g es creciente en el intervalo (−∞, −3), decreciente en el intervalo (−3, 1) y creciente a partir de x = 1.

Por tanto en x = −3 presenta un máximo relativo y en x = 1 un mínimo relativo.

Para estudiar los extremos absolutos debemos tener en cuenta los puntos críticos y los extremos del intervalo.

g(−4) = 20, g(−3) = 27, g(1) = −5, g(2) = 2 En (−3, 27) está el máximo absoluto y en (1, −5) el mínimo absoluto.

Como la función crece a la derecha de −4 hay un mínimo relativo en (−4, 20) y como decrece a la izquierda de 2 hay un máximo relativo en (2, 2).

P REGUNTA 4

Opción 4.1

4.1.a) Tipificamos usando la transformación Z = X−µ σ :

P (30 < X < 45) = P

=P

−5

<Z<

45 − 35 30 − 35 <Z<

= P (−0,42 < Z < 0,83)

= P (Z < 0,83) − P (Z < −0,42) Buscando en la tabla de la normal, vemos que P (Z < 0,83) = 0,7967 y P (Z < −0,42) = 1 − P (Z < 0, 42) = 1 − 0, 6628 = 0,3372, por lo que P (30 < X < 45) = 0,7967 − 0,3372 = 0,4595

4.1.b) El intervalo de confianza para la media con σ conocida viene dado por

IC = x̄ − zα/2 · √ , x̄ + zα/2 · √

Si el nivel de confianza es 0,92 tenemos que α = 1 − 0,92 = 0,08 y por ello α2 = 0,04.

Por tanto: P (Z ≤ zα/2 ) = 1 − 0,04 = 0,96 y buscando en la tabla encontramos que zα/2 = 1,75 El error máximo viene dado por

E = zα/2 · √ = 1,75 · √ = 1,75 · = 1,75 · 0,9798 ≈ 1,715 12,247

Así el límite inferior del intervalo es 36,5 − 1,715 = 34,785 y el superior 36,5 + 1,715 = 38,215. Por tanto, el intervalo de confianza al 92 % es (34,79, 38,22) años.

El intervalo de confianza al 98 % es más amplio que el intervalo al 92 %. Esto es lógico porque mayor nivel de confianza implica mayor amplitud del intervalo: para estar más seguros de que el intervalo contiene la media poblacional, necesitamos un intervalo más amplio.

Si ahora el nivel de confianza es 0,98, los cálculos para ese nivel de confianza serían α = 1 − 0,98 = 0,02 y entonces α2 = 0,01. Por tanto P (Z ≤ zα/2 ) = 1 − 0,01 = 0,99. Miramos en la tabla para ver que ese valor se corresponde con zα/2 = 2,33 Ahora calculamos el error máximo

E = zα/2 · √ = 2,33 · √ = 2,33 · 0,9798 ≈ 2,283

Razonando como en el apartado anterior llegamos a que el intervalo de confianza al 98 % es (34,22, 38,78) años, aunque no era necesario calcular dicho intervalo para justificar la respuesta.

Opción 4.2 Sea X = “peso de un paquete de pipas” ⇒ X ∼ N (250, 8)

4.2.a) Debemos calcular P (240 < X < 255).

Tipificamos ambos valores:

240 − 250 = −1, 25

255 − 250 Z2 = = 0, 625

Z1 =

P (240 < X < 255) = P (−1, 25 < Z < 0, 625) = P (Z < 0,625) − P (Z < −1,25) = 0, 7340 − 0, 1056 = 0, 6284.

El 62, 84 % de los paquetes pesan entre 240 y 255 gramos.

4.2.b) Buscamos k1 y k2 tales que:

P (X < k1 ) = 0, 025 ⇒ P (Z < z1 ) = 0, 025 ⇒ z1 = −1, 96 P (X > k2 ) = 0, 025 ⇒ P (Z > z2 ) = 0, 025 ⇒ z2 = 1, 96 Destipificamos:

k1 = µ + z1 · σ = 250 + (−1, 96) · 8 = 250 − 15, 68 = 234, 32 gramos k2 = µ + z2 · σ = 250 + 1, 96 · 8 = 250 + 15, 68 = 265, 68 gramos Los paquetes aceptados deben pesar entre 234, 32 y 265, 68 gramos.

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ATENCIÓN: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos

Pregunta 1. (Puntuación máxima: 2,5 puntos) Apartado (1.a): 1,2 puntos.

Definición de las variables y expresión correcta de la función objetivo.......... 0,2 puntos.

Determinación correcta de las restricciones.................................................... 0,5 puntos.

Representación correcta de la región factible................................................. 0,5 puntos.

Apartado (1.b): 1,3 puntos.

Cálculo de los vértices de la región factible (*).............................................. 0,5 puntos.

Obtención correcta y contextualizada del nº de pantalones de cada tipo..... 0,5 puntos.

Obtención correcta y contextualizada del beneficio máximo......................... 0,3 puntos.

(*) Se penalizará con 0,1 puntos por cada vértice que falte o mal calculado

Pregunta 2. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)

Opción 2.1 Puntuación máxima: 2,5 puntos …