Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CONVOCATÒRIA:

CONVOCATORIA:

EXTRA JULIOL 2025

EXTRA JULIO 2025

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

BAREMO DEL EXAMEN: Se ha de contestar un problema del apartado 1, un problema del apartado 2 y

el problema del apartado 3. En cada cuestión se indica la puntuación máxima, siendo la nota final la suma de las calificaciones de cada una ellas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados. Está permitido el uso de regla. Las gráficas se harán con el mismo color que el resto del examen.

Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas.

Apartado 1. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 1. A. Consideramos las matrices:

−1

𝐴=(

0 2 ), 3 1

𝐵 = (1 1

0),

𝐶 = (1

2)

𝐷=(

).

Sabiendo que, si 𝐾 es una matriz, 𝐾 𝑡 representa su matriz traspuesta, se pide:

a) Calcular 𝑀 = 𝐴𝐵 𝑡 𝐶 − 𝐷.

(0,75 puntos)

b) Justificar si 𝑀 es invertible y, si lo es, hallar su inversa.

(0,75 puntos)

c) Hallar 𝑀 y 𝑀 .

(0,5 puntos)

d) Justificar si son invertibles las matrices 𝐶𝐶 y 𝐶 𝐶.

(0,5 puntos)

1 1

e) Hallar la matriz 𝑋 que satisface la ecuación 𝐴𝑡 + 𝑋 ( ) = (𝐶 𝑡 𝐵)𝑡 .

(1 punto) 2 −1

Problema 1. B. Una empresa de organización de eventos desea poner a la venta dos tipos de entradas para un evento musical: entradas preferentes y entradas estándar, que se venden a 115€ y 90€, respectivamente, aunque en las localidades preferentes la empresa tiene unos gastos de 5€ por entrada porque en ellas se sirve un aperitivo. La instalación de cada localidad preferente tiene un coste de 20€ y la de cada localidad estándar de 10€; la empresa dispone de un presupuesto de 1.000€ para gastos de instalación. El aforo máximo es de 75 asientos.

a) ¿Cuántas entradas de cada tipo se deben poner a la venta para obtener el máximo beneficio posible?

(3 puntos)

b) ¿Cuál es dicho beneficio máximo?

(0,5 puntos)

Apartado 2. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 2. A. Una empresa agrícola que se dedica al cultivo de frutas tropicales ha implementado un sistema de riego automatizado para optimizar el consumo de agua. La función que describe la necesidad de agua del cultivo (en 𝑚3 /𝑑í𝑎) tras 𝑥 días de crecimiento, para 𝑥 entre 0 y 30, es:

𝑓(𝑥) =

𝑥 3 − 4𝑥 2 + 10

si

0≤𝑥≤8

3𝑥 + 9

si

8 < 𝑥 ≤ 20

si

20 < 𝑥 ≤ 30

a) Estudia la continuidad de esta función en el intervalo [0, 30].

(0,75 puntos)

b) Determina en qué días la necesidad de agua es máxima y mínima.

(2 puntos)

c) Calcula el área delimitada por esta función y el eje 𝑂𝑋 entre los días 3 y 7.

(0,75 puntos) Problema 2. B. Cuando la temperatura de un invernadero se mantiene a 𝑥 grados centígrados, siendo 𝑥 un número real entre 10 y 30, la producción (en kilogramos) de cierta hortaliza viene dada por la función 𝑄(𝑥) = 30𝑥 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵 − 𝑥 3 . Sabemos que la producción máxima se alcanza cuando el invernadero se mantiene a 21 grados centígrados, y que dicha producción máxima es 5.300 kg.

a) Determina los valores 𝐴 y 𝐵 que aparecen en la función 𝑄(𝑥).

(1,5 puntos)

b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑄(𝑥).

(1 punto)

c) Para valores de la temperatura comprendidos entre 10 y 30 grados centígrados, ¿en algún caso se obtiene una producción inferior a 1.000 kg?

(1 punto)

Apartado 3. Responda el único problema de este apartado.

Problema 3. Manuel va a celebrar su cumpleaños y ha invitado a dos grupos de amigos que no se conocen entre sí: del instituto y de su barrio. Cada grupo va a una tienda distinta a comprar un regalo. El grupo del instituto va a la tienda A, donde un 40% de los regalos son libros, un 15% es ropa y un 45% son juegos. El grupo de su barrio va a la tienda B, donde el 20% son libros, el 10% es ropa y el 70% son juegos. Supón que cada grupo elige aleatoriamente su regalo. Calcula:

a) La probabilidad de que Manuel tenga dos regalos de distinto tipo.

(1 punto)

b) La probabilidad de que Manuel tenga como regalo un libro o un juego. (1 punto)

c) La probabilidad de que, si uno de los regalos es ropa y el otro no, el regalo de ropa se haya comprado en la tienda A.

(1 punto)

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EXTRA JULIOL 2025

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ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

BAREM DE L’EXAMEN: S’ha de contestar un problema de l’apartat 1, un problema de l’apartat 2 i el

problema de l’apartat 3. En cada qüestió s’indica la puntuació màxima i la nota final és la suma de les qualificacions de cada una. Es permet l’ús de calculadores sempre que no siguen gràfiques o programables i que no puguen realitzar càlcul simbòlic ni emmagatzemar text o fórmules en memòria. S’utilitze o no la calculadora, els resultats analítics, numèrics i gràfics han d’estar sempre degudament justificats. Està permès l’ús de regle. Les gràfiques es faran amb el mateix color que la resta de l’examen.

Totes les respostes han d'estar degudament raonades.

Apartat 1. Respon a un problema d’aquest apartat dels dos que es proposen.

Problema 1. A. Considerem les matrius:

−1

𝐴=(

0 2 ), 3 1

𝐵 = (1 1

0),

𝐶 = (1

2)

𝐷=(

).

Sabent que, si 𝐾 és una matriu, 𝐾 𝑇 representa la seua matriu transposada, es demana:

a) Calcular 𝑀 = 𝐴𝐵 𝑇 𝐶 − 𝐷.

(0,75 punts)

b) Justificar si 𝑀 és invertible i, si ho és, calcular-ne la inversa.

(0,75 punts)

c) Determinar 𝑀 i 𝑀 .

(0,5 punts)

d) Justificar si són invertibles les matrius 𝐶𝐶 i 𝐶 𝐶.

(0,5 punts)

1 1

e) Trobar la matriu 𝑋 que satisfà l’equació 𝐴𝑇 + 𝑋 ( ) = (𝐶 𝑇 𝐵)𝑇 .

(1 punt) 2 −1

Problema 1. B. Una empresa d’organització d’esdeveniments desitja posar a la venda dos tipus d’entrades per a un esdeveniment musical: entrades preferents i entrades estàndard, que es venen a 115€ i 90€, respectivament, encara que en les localitats preferents l’empresa té unes despeses de 5€ per entrada perquè en aquestes se serveix un aperitiu. La instal·lació de cada localitat preferent té un cost de 20€ i la de cada localitat estàndard de 10€; l’empresa disposa d’un pressupost de 1.000€ per a despeses d’instal·lació. L’aforament màxim és de 75 seients.

a) Quantes entrades de cada tipus s’han de posar a la venda per a obtenir el màxim benefici possible?

(3 punts)

b) Quins és aquest benefici màxim?

(0,5 punts)

Apartat 2. Respon a un problema d’aquest apartat dels dos que es proposen.

Problema 2. A. Una empresa agrícola que es dedica al cultiu de fruites tropicals ha implementat un sistema de reg automatitzat per a optimitzar el consum d’aigua. La funció que descriu la necessitat d’aigua del cultiu (en 𝑚3 /𝑑𝑖𝑎) després de 𝑥 dies de creixement, per a 𝑥 entre 0 i 30, és:

𝑓(𝑥) =

𝑥 3 − 4𝑥 2 + 10

si

0≤𝑥≤8

3𝑥 + 9

si

8 < 𝑥 ≤ 20

si

20 < 𝑥 ≤ 30

a) Estudia la continuïtat d’aquesta funció en l’interval [0, 30].

(0,75 punts)

b) Determina en quins dies la necessitat d’aigua és màxima i mínima.

(2 punts)

c) Calcula l’àrea delimitada per aquesta funció i l’eix 𝑂𝑋 entre els dies 3 i 7.

(0,75 punts) Problema 2. B. Quan la temperatura d’un hivernacle es manté a 𝑥 graus centígrads, sent 𝑥 un nombre real entre 10 i 30, la producció (en quilograms) d’una certa hortalissa és donada per la funció 𝑄(𝑥) = 30𝑥 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵 − 𝑥 3 . Sabem que la producció màxima s’aconsegueix quan l’hivernacle es manté a 21 graus centígrads i que aquesta producció màxima és de 5.300 kg.

a) Determina els valors 𝐴 i 𝐵 que apareixen en la funció 𝑄(𝑥).

(1,5 punts)

b) Determina els intervals de creixement i decreixement de la funció 𝑄(𝑥).

(1 punt)

c) Per a valors de la temperatura compresos entre 10 i 30 graus centígrads, en algun cas s’obté una producció inferior a 1.000 kg?

(1 punt)

Apartat 3. Respon a l’únic problema d’aquest apartat.

Problema 3. Manel vol celebrar el seu aniversari i ha convidat dos grups d’amics que no es coneixen entre si: de l’institut i del seu barri. Cada grup va a una botiga diferent a comprar un regal. El grup de l’institut va a la botiga A, on un 40% dels regals són llibres, un 15% és roba i un 45% són jocs. El grup del seu barri va a la botiga B, on el 20% són llibres, el 10% és roba i el 70% són jocs. Suposa que cada grup tria aleatòriament el seu regal. Calcula:

a) La probabilitat que Manel tinga dos regals de diferent tipus.

(1 punt)

b) La probabilitat que Manel tinga com a regal un llibre o un joc.

(1 punt)

c) La probabilitat que, si un dels regals és roba i l’altre no, el regal de roba s’haja comprat a la botiga A.

(1 punt)

Soluciones y criterios de corrección en texto

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ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

CRITERIS DE CORRECCIÓ / CRITERIOS DE CORRECCIÓN Se ha de contestar uno de los dos problemas del apartado 1, uno de los dos problemas del apartado 2, y el problema del apartado 3.

Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas. En cada apartado, cada error en operaciones aritméticas elementales se penalizará con 0,1 puntos, hasta un máximo de penalización de 0,25 puntos.

La penalización por errores ortográficos y gramaticales se aplicará teniendo en cuenta los criterios siguientes: i) los dos primeros errores ortográficos no se penalizarán; ii) cuando se repita la misma falta de ortografía se contará como una sola; a partir de la tercera falta de ortografía habrá una penalización de 0,1 puntos por cada falta, hasta una penalización máxima de un punto; iii) la penalización por errores en la redacción, errores en la presentación, falta de coherencia, falta de cohesión, incorrección léxica e incorrección gramatical podrá ser de hasta 0,5 puntos, si bien la suma de esta penalización y la penalización por errores ortográficos nunca podrá ser superior a 1 punto.

PROBLEMA 1. A.

a) De 0 a 0,75 puntos por el cálculo correcto de la matriz 𝑀:

1 2

1 −1

𝑀=(

b) De 0 a 0,25 puntos por la justificación de que la matriz 𝑀 es invertible. De 0 a 0,5 puntos por el cálculo correcto de la inversa de la matriz 𝑀:

1/3 2/3 𝑀−1 = (

1/3 −1/3

c) De 0 a 0,2 puntos por el cálculo correcto de la matriz 𝑀2 :

𝑀2 = (

De 0 a 0,3 puntos por la obtención de la matriz 𝑀8 :

0 ) = (81

𝑀 8 = (3

d) De 0 a 0,25 puntos por justificar que la matriz 𝐶𝐶 𝑡 tiene inversa. De 0 a 0,25 puntos por justificar que la matriz 𝐶 𝑡 𝐶 no tiene inversa.

e) De 0 a 0,5 puntos por despejar correctamente la matriz 𝑋:

𝑋 = ((𝐶 𝑡 − 𝐵)𝑡 − 𝐴𝑡 ) 𝑀−1 De 0 a 0,5 puntos por el cálculo de la matriz 𝑋:

1 −1 𝑋=( 0

1) −1 −1 De 0 a 1 punto si se obtiene la matriz 𝑋 por otro procedimiento debidamente justificado.

PROBLEMA 1. B.

Denotamos por 𝑥 el número de entradas preferentes y por 𝑦 el número de entradas estándar.

a) De 0 a 0,20 puntos por la obtención de la función objetivo: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 110𝑥 + 90𝑦. De 0 a 0,80 puntos por el planteamiento de las restricciones, con los siguientes criterios: 0,40 puntos si solo hay una restricción correcta, 0,80 puntos si las dos restricciones son correctas (las restricciones de no negatividad no dan puntos). En caso de que las restricciones no estén debidamente justificadas, se descontarán 0,25 puntos. Las restricciones son:

20𝑥 + 10𝑦 ≤ 1000 𝑥 + 𝑦 ≤ 75

𝑥≥0 𝑦≥0 De 0 a 1,5 puntos por obtener la región factible: región de vértices 𝐴(25,50), 𝐵(50,0), 𝐶(0,75) y 𝐷(0,0). De 0 a 0,5 puntos por la obtención de la solución correcta: 25 entradas preferentes y 50 entradas estándar.

b) De 0 a 0,5 puntos por la obtención del beneficio máximo: 7.250 euros.

Si la solución se obtiene por cualquier otro método razonado y correcto, se puntuará de 0 a 3,5 puntos. La región factible es la región coloreada del gráfico siguiente:

PROBLEMA 2. A.

a) De 0 a 0,25 puntos por justificar que es discontinua en x=8: el límite por la izquierda es 266 y el límite por la derecha es 33. De 0 a 0,25 puntos por justificar que es discontinua en x=20: el límite por la izquierda es 69 y por la derecha es

70. De 0 a 0,25 puntos por indicar que la función es continua en [0, 8[ ∪ ]8, 20[ ∪ ]20, 30].

b) De 0 a 0,5 puntos por argumentar que en el interior del primer trozo hay un único punto singular, x=8/3, y que es un mínimo, siendo 𝑓(8/3) = 0.5183. De 0 a 0,5 puntos por argumentar que, en el primer trozo, al ser un intervalo cerrado, podemos encontrar en los extremos máximos y mínimos y hallarlos 𝑓(0) = 10 y 𝑓(8) = 266. De 0 a 0,5 puntos por argumentar que en el segundo trozo tenemos una función creciente y por tanto el punto donde se alcanza el máximo es 𝑓(20) = 69. De 0 a 0,5 puntos por argumentar que en el último trozo al ser 70 no se alcanza el máximo porque ya tenemos un punto donde se supera 70.

c) De 0 a 0,5 puntos por calcular una primitiva, que es del tipo

𝑡4

− 3 𝑡 3 + 10𝑡 + 𝐷,

siendo 𝐷 un número real cualquiera. De 0 a 0,25 puntos por calcular el valor de la integral, que es 596/3=198,6667.

PROBLEMA 2. B.

a) De 0 a 0,75 puntos por obtener que la derivada es 60𝑥 + 𝐴 − 3𝑥 2 , plantear la ecuación para 𝐴, que sería 60 · 21 + 𝐴 − 3(21)2 = 0 y obtener que 𝐴 = 63. De 0 a 0,75 puntos por deducir que 𝑄(21) = 5300 y que la solución es 𝐵 = 8.

b) De 0 a 0,5 puntos por argumentar que la función es creciente en ]10,21[. De 0 a 0,5 puntos por argumentar que la función es decreciente en ]21,30[.

c) De 0 a 0,4 puntos por argumentar que, al ser creciente en ]10,21[, el mínimo relativo por ser función continua se encuentra en 𝑥 = 10, cuyo valor es 𝑄(10) =

2.638. De 0 a 0,4 puntos por argumentar que, al ser decreciente en ]21,30[, el mínimo relativo se encuentra en 𝑥 = 30, cuyo valor es 𝑄(30) = 1.898. De 0 a 0,2 puntos por argumentar que no puede tener una producción inferior a 1.000.

PROBLEMA 3.

a) De 0 a 0,5 puntos por identificar las situaciones en que se cumple el suceso cuya probabilidad se quiere calcular (o su complementario) y de 0 a 0,5 puntos por el cálculo de las probabilidades de cada una de estas situaciones. La respuesta correcta, utilizando el complementario, es

𝑃(Dos regalos de distinto tipo) = 1 − 𝑃(Dos regalos iguales) = = 1 – (0,4 · 0,2 + 0,15 · 0,1 + 0,45 · 0,7) = 0,59.

(También se puede obtener la respuesta correcta sin utilizar el suceso complementario).

b) De 0 a 0,5 puntos por identificar las situaciones en que se cumple el suceso cuya probabilidad se quiere calcular (o su complementario) y de 0 a 0,5 puntos por el cálculo de las probabilidades de cada una de estas situaciones. La respuesta correcta, utilizando el complementario, es 1 − 𝑃(Ropa de amigos del instituto y Ropa de amigos del barrio) = 1 – 0,15 · 0,10 = 0,985.

(También se puede obtener la respuesta correcta sin utilizar el suceso complementario).

c) De 0 a 0,25 puntos por identificar que se trata de una probabilidad condicional y conocer la fórmula de esta, de 0 a 0,25 puntos por el cálculo del numerador, y de 0 a 0,5 puntos por el cálculo del denominador. La respuesta correcta es

𝑃(Ropa de amigos del instituto | Un regalo es ropa y el otro no) = 𝑃(Ropa amigos del instituto y No ropa amigos del barrio)

𝑃(Ropa amigos del ins. y No ropa amigos del barrio) + 𝑃(No ropa amigos de ins. y Ropa de am. del ba 0,15 · 0,90

= 0,6136.

0,15 · 0,90 + 0,85 · 0,10 Si en algún apartado se obtiene alguna probabilidad imposible, este apartado se puntuará con un 0.

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EXTRA JULIOL 2025

CONVOCATORIA: EXTRA JULIO 2025

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES APLICADES ALS CIÈNCIES SOCIALS II

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CONVOCATÒRIA:

CRITERIS DE CORRECCIÓ / CRITERIOS DE CORRECCIÓN S’ha de contestar un dels dos problemes de l’apartat 1, un dels dos problemes de l’apartat 2 i el problema de l’apartat 3.

Totes les respostes han d’estar degudament raonades. En cada apartat, cada error en operacions aritmètiques elementals es penalitzarà amb 0,1 punts fins a un màxim de penalització de 0,25 punts.

La penalització per errors ortogràfics i gramaticals s’aplicarà tenint en compte els criteris següents: i) els dos primers errors ortogràfics no es penalitzen; ii) quan es repetisca la mateixa falta d’ortografia es comptarà com una sola falta;

a partir de la tercera falta d’ortografia hi haurà una penalització de 0,1 punts per cada falta, fins a una penalització màxima d’un punt; iii) la penalització per errors en la redacció, errors en la presentació, falta de coherència, falta de cohesió, incorrecció lèxica i incorrecció gramatical podrà ser de fins a 0,5 punts, si bé la suma d’aquesta penalització i la penalització per errors ortogràfics mai podrà ser superior a 1 punt.

PROBLEMA 1. A.

a) De 0 a 0,75 punts pel càlcul correcte de la matriu 𝑀:

1 2

1 −1

𝑀=(

b) De 0 a 0,25 punts per la justificació que la matriu 𝑀 és invertible. De 0 a 0,5 punts pel càlcul correcte de la inversa de la matriu 𝑀:

1/3 2/3 𝑀−1 = (

1/3 −1/3

c) De 0 a 0,2 punts pel càlcul correcte de la matriu 𝑀2 :

𝑀2 = (

De 0 a 0,3 punts per l’obtenció de la matriu 𝑀8 :

0 ) = (81

𝑀 8 = (3

d) De 0 a 0,25 punts per justificar que la matriu 𝐶𝐶 𝑡 té inversa. De 0 a 0,25 punts per justificar que la matriu 𝐶 𝑡 𝐶 no té inversa.

e) De 0 a 0,5 punts per aïllar correctament la matriu 𝑋:

𝑋 = ((𝐶 𝑡 − 𝐵)𝑡 − 𝐴𝑡 ) 𝑀−1 De 0 a 0,5 punts pel càlcul de la matriu 𝑋:

1 −1 𝑋=( 0

1) −1 −1 De 0 a 1 punt si s’obté la matriu per un altre procediment degudament justificat.

PROBLEMA 1. B.

Denotem per 𝑥 el nombre d’entrades preferents i per 𝑦 el nombre d’entrades estàndard.

a) De 0 a 0,20 punts per l’obtenció de la funció objectiu: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 110𝑥 + 90𝑦. De 0 a 0,80 punts pel plantejament de les restriccions, amb els criteris següents: 0,40 punts si només hi ha una restricció correcta, 0,80 punts si les dues restriccions són correctes (les restriccions de no negativitat no donen punts). En cas que les restriccions no estiguen degudament justificades, es descomptaran 0,25 punts.

Les restriccions són:

20𝑥 + 10𝑦 ≤ 1000 𝑥 + 𝑦 ≤ 75

𝑥≥0 𝑦≥0 De 0 a 1,5 punts per obtindre la regió factible: regió de vèrtexs 𝐴(25,50), 𝐵(50,0), 𝐶(0,75) i 𝐷(0,0). De 0 a 0,5 punts per l’obtenció de la solució correcta: 25 entrades preferents i 50 entrades estàndard.

b) De 0 a 0,5 punts per l’obtenció del benefici màxim: 7.250 euros.

Si la solució s’obté per qualsevol altre mètode raonat i correcte, es puntuarà de 0 a 3,5 punts. La regió factible és la regió acolorida del gràfic següent:

PROBLEMA 2. A.

a) De 0 a 0,25 punts per justificar que és discontínua en x=8: el límit per l’esquerra és 266 i el límit per la dreta és 33. De 0 a 0,25 punts per justificar que és discontínua en x=20: el límit per l’esquerra és 69 i per la dreta és 70. De 0 a 0,25 punts per indicar que la funció és contínua en [0, 8[ ∪ ]8, 20[ ∪ ]20, 30].

b) De 0 a 0,5 punts per argumentar que a l’interior del primer tros hi ha un únic punt singular, x=8/3, i que és un mínim, i 𝑓(8/3) = 0,5183. De 0 a 0,5 punts per argumentar que, en el primer tros, en ser un interval tancat, podem trobar en els extrems màxims i mínims i calcular-los 𝑓(0) = 10 i 𝑓(8) = 266. De 0 a 0,5 punts per argumentar que en el segon tros tenim una funció creixent i per tant el punt on s’assoleix el màxim és 𝑓(20) = 69. De 0 a 0,5 punts per argumentar que en l’últim tros, com que és 70, no s’arriba al màxim perquè ja tenim un punt on se supera

70.

𝑡4

c) De 0 a 0,5 punts per calcular una primitiva, que és del tipus 4 − 3 𝑡 3 + 10𝑡 + 𝐷, on 𝐷 és un nombre real qualsevol. De 0 a 0,25 punts per calcular el valor de la integral, que és 596/3=198,6667.

PROBLEMA 2. B.

a) De 0 a 0,75 punts per obtenir que la derivada és 60𝑥 + 𝐴 − 3𝑥 2 , plantejar l’equació per a 𝐴, que seria 60 · 21 + 𝐴 − 3(21)2 = 0 i obtindre que 𝐴 = 63. De 0 a 0,75 punts per deduir que 𝑄(21) = 5300 i que la solució és 𝐵 = 8.

b) De 0 a 0,5 punts per argumentar que la funció és creixent en ]10,21[. De 0 a 0,5 punts per argumentar que la funció és decreixent en ]21,30[.

c) De 0 a 0,4 punts per argumentar que, com que és creixent en ]10,21[, el mínim relatiu, per ser funció contínua, es troba en 𝑥 = 10, i el seu valor és 𝑄(10) = 2.638.

De 0 a 0,4 punts per argumentar que, per ser decreixent en ]21,30[, el mínim relatiu es troba en 𝑥 = 30, i el seu valor és 𝑄(30) = 1.898. De 0 a 0,2 punts per argumentar que no pot tindre una producció inferior a 1.000.

PROBLEMA 3.

a) De 0 a 0,5 punts per identificar les situacions en què es compleix el succés la probabilitat del qual es vol calcular (o el seu complementari) i de 0 a 0,5 punts pel càlcul de les probabilitats de cada una d’aquestes situacions. La resposta correcta, utilitzant el complementari, és:

𝑃(Dos regals de diferent tipus) = 1 − 𝑃(Dos regals iguals) = = 1 – (0,4 · 0,2 + 0,15 · 0,1 + 0,45 · 0,7) = 0,59.

(També es pot complementari).

obtindre

la

resposta

correcta

sense

utilitzar

el

succés

b) De 0 a 0,5 punts per identificar les situacions en què es compleix el succés la probabilitat del qual es vol calcular (o el seu complementari) i de 0 a 0,5 punts pel càlcul de les probabilitats de cada una d’aquestes situacions. La resposta correcta, utilitzant el complementari, és:

1 − 𝑃(Roba d'amics de l'institut i Roba d'amics del barri) = 1 – 0,15 · 0,10 = 0,985.

(També es pot complementari).

obtindre

la

resposta

correcta

sense

utilitzar

el

succés

c) De 0 a 0,25 punts per identificar que es tracta d’una probabilitat condicional i conèixer la seua fórmula, de 0 a 0,25 punts pel càlcul del numerador, i de 0 a 0,5 punts pel càlcul del denominador. La resposta correcta és:

𝑃(Roba d'amics de l'institut | Un regal és roba i l'altre no) = 𝑃(Roba amics de l'institut i No roba amics del barri)

𝑃(Roba amics de l'ins. i No roba amics del barri) + 𝑃(No roba amics d'ins. i Roba d'am. del barri) 0,15 · 0,90

= 0,6136.

0,15 · 0,90 + 0,85 · 0,10

Si en algun apartat s’obté alguna probabilitat impossible, aquest apartat es puntuarà amb un 0.