Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

2025 Proves d’accés a la universitat

Matemàtiques aplicades a les ciències socials Sèrie 1

Qualificació

Comprovació

2a correcció

Exercici 1 Exercici 2 Exercici 3 Exercici 4. Opció ___ Suma de notes parcials Qualificació final

Etiqueta de l’estudiant

Ubicació del tribunal ..............................................................................

Número del tribunal ...............................................................................

Etiqueta de qualificació

Etiqueta de correcció

L’examen consta de QUATRE exercicis obligatoris. Cada exercici val 2,5 punts. Feu els exercicis 1, 2 i 3 responent a TOTES les qüestions que s’hi plantegen. A l’exercici 4, trieu UNA de les dues opcions (A o B) proposades.

En totes les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cal que la redacció de la resposta es faci de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

Podeu utilitzar la pàgina en blanc del final del quadern per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de l’exercici corresponent.

Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.

Exercici 1 Volem allotjar 10 persones en un hotel que té habitacions individuals, dobles i triples.

Sabem que si reservem sis habitacions individuals i dues de dobles, hem de pagar 702 €, i si en reservem una d’individual i tres de triples, hem de pagar el mateix que si en reservem dues de dobles i dues de triples.

a) Determineu els preus de l’habitació doble i de la triple en funció del preu de la individual.

[1,25 punts]

b) Si el preu de l’habitació triple és el doble del preu de la individual, quin és el preu de cada tipus d’habitació? De les tres opcions plantejades per a allotjar les 10 persones, amb quina obtenim el preu més baix i quin és aquest preu?

[1,25 punts]

Espai per a la correcció Exercici 1

Total

Exercici 2 Un inversor té uns diners invertits en un fons d’inversió molt volàtil. El valor de la seva inversió en euros durant un dia determinat és donat per la funció

en què x ∈ [0, 24] representa el temps en hores.

a) Calculeu el valor inicial de la inversió en començar el dia i determineu quin benefici o pèrdua haurà tingut al cap de 24 hores. Trobeu també a quina hora del dia el valor de la inversió ha estat màxim i quin era aquest valor màxim.

[1,5 punts]

b) Hi ha algun moment del dia en què el valor de la inversió és negatiu? Quin és el valor mínim que assoleix?

[1 punt]

Espai per a la correcció Exercici 2

Total

Exercici 3 Fa uns anys una granja de vaques frisones dedicada a la producció de llet va fer un estudi sobre el pes de les seves vaques i va arribar a la conclusió que aquesta variable seguia una distribució normal amb una mitjana de 580 kg i una desviació típica de 25 kg.

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• Z ∼ normal (0, 1) → P(–1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95 i P(–2,58 ≤ Z ≤ 2,58) = 0,99

• Intervals de confiança amb un nivell de confiança γ ∈ (0, 1) — per a la proporció (mostres grans):

— per a la mitjana (mostres normals amb la variància σ2 coneguda):

— per a la mitjana (mostres grans amb la variància σ2 desconeguda):

a) Calculeu, de manera raonada, la probabilitat que si agafem a l’atzar una vaca frisona d’aquesta granja, el seu pes estigui entre 531 i 629 kg.

[1 punt]

b) Creiem que un canvi en el tipus de farratge que es dona a les vaques n’ha modificat la mitjana del pes. Per a comprovar-ho, hem obtingut el pes d’una mostra de 10 vaques de la granja escollides a l’atzar:

569, 575, 611, 581, 583, 614, 589, 555, 566, 571.

Trobeu un interval de confiança del 95 % per a la mitjana del pes de les vaques, suposant que aquest pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 25 kg. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que la mitjana del pes de les vaques ha canviat? Justifiqueu la resposta.

[1,5 punts]

Espai per a la correcció Exercici 3

Total

Exercici 4 Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària.

A hores d’ara, un 10 % dels docents inscrits són d’universitat, un 50 % són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un 40 % dels docents inscrits d’universitat, un 52 % dels docents inscrits de secundària i un 65 % dels docents inscrits d’infantil i primària són dones.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A

a) Calculeu la probabilitat que una persona escollida a l’atzar d’entre tots els inscrits sigui una dona. Si d’entre totes les dones inscrites n’escollim una a l’atzar, quina probabilitat hi ha que sigui docent de secundària?

[1,25 punts]

b) Calculeu el nombre de docents que s’han inscrit al Congrés de cada nivell educatiu si sabem que en total hi ha 476 dones inscrites.

[1,25 punts]

OPCIÓ B

a) L’organització del Congrés vol donar un detall diferent a cada grup de docents: el detall de tipus D1 per al grup de docents universitaris, el detall de tipus D2 per al grup de docents de secundària i el detall de tipus D3 per al grup de docents d’infantil i primària. Han demanat pressupost a tres empreses diferents, que anomenarem E1, E2 i E3. La matriu següent ens dona els preus unitaris, en euros, de cada detall de tipus D1, D2 i D3 (files) segons les empreses E1, E2 i E3 (columnes):

La comanda de l’organització es pot representar com un vector fila (x, y, z), en què x representa la quantitat de detalls de tipus D1, y és la quantitat de detalls de tipus D2 i z correspon a la quantitat de detalls de tipus D3 que cal comprar.

L’organització treballa amb la previsió que al Congrés hi assistiran 1.000 persones en total i que els percentatges de cada grup de docents respecte al total seran els mateixos que els que hi ha en aquest moment de la inscripció.

Calculeu mitjançant un producte de matrius quina empresa ofereix el millor preu i quin és aquest preu.

[1,25 punts]

b) Un hotel situat prop de l’espai on se celebrarà el Congrés ha fet un estudi de mercat.

Inicialment es plantejaven oferir l’habitació doble a un preu de 80 € la nit i amb aquest preu estimaven que tindrien 100 reserves d’habitacions dobles. Però l’estudi mostra que la relació entre el preu de l’habitació doble i el nombre de reserves és lineal, de manera que per cada euro de descompte sobre el preu de l’habitació aconsegueixen dues reserves més.

Si anomenem x el nombre de vegades que s’aplica el descompte d’un euro, escriviu la funció que dona els ingressos de l’hotel en funció de x. Quin ha de ser el preu de l’habitació doble per a maximitzar els ingressos?

[1,25 punts]

Espai per a la correcció

Exercici 4. Opció ___ b

Total

[Pàgina per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici.]

Comprovació:

2a correcció:

3a correcció:

Etiqueta de l’estudiant

L’Institut d’Estudis Catalans ha tingut cura de la correcció lingüística i de l’edició d’aquesta prova d’accés

Soluciones y criterios de corrección en texto

Pàgina 1 de 10 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

SÈRIE 4

1.

a) Si anomenen 𝑥 el preu de l’article A, 𝑦 el preu de l’article B i 𝑧 el de l’article C,tenim la primera equació a partir del cost dels tres articles abans de les vacances de Nadal 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 135.

D’altra banda, podem resumir la informació de l’estalvi per cada tipus d’article i el nombre d’unitats que compra l’Ares en la taula següent Estalvi per article/ nombre d’unitats que compra l’Ares Primeres rebaixes Segones rebaixes

Article A

Article B

Article C

0,04 0,08

0,06 0,10

0,05 0,06

En les primeres rebaixes compra 1 unitat de tipus A, 2 de tipus B i 3 de tipus C i s’estalvia 16 euros, que correspon a l’equació 0,04𝑥 + 0,12𝑦 + 0,15𝑧 = 16.

En les segones rebaixes compra 3 unitats de tipus A, 1 de tipus B i 5 de tipus C i s’estalvia 29 euros, que correspon a l’equació 0,24𝑥 + 0,10𝑦 + 0,30𝑧 = 29.

b) Per resoldre el sistema plantegem el sistema sense decimals multiplicant la segona i tercera equació per 100, i dividim la tercera per 2. Obtenim el sistema 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 135 {4𝑥 + 12𝑦 + 15𝑧 = 1600 12𝑥 + 5𝑦 + 15𝑧 = 1450 i el podem resoldre aplicant el mètode de Gauss

(4

1 135 1 1 1 135

12 15| 1600) ~ (0 8 11| 1060 ) ~ (0 5 15 1450 0 −7 3 −170

1 135 8 11 | 1060) 0 101 6060

Obtenim com a solució 𝑧 = 60, 𝑦 = 50 i 𝑥 = 25. Per tant, el preu de l’article de tipus A abans de les rebaixes era de 25 euros, el de tipus B era de 50 euros i el de tipus C era de 60 euros.

Pàgina 2 de 10 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

Criteris de correcció:

Cal que la redacció de la resposta s’hagi fet de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

a) Escriure el sistema: 0,25 punts per cada equació correcta.

b) Procediment de resolució: 0,75 punts. Trobar el valor correcte de 𝑥, 𝑦 i 𝑧: 0,75 punts. Explicitar la solució final: 0,25 punts.

Pàgina 3 de 10 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

2.

a) Considerem els esdeveniments 𝐷 = la bicicleta té algun tipus de problema que requereix del servei post-venda.

𝑀 = la bicicleta és manual.

𝐸 = la bicicleta és elèctrica.

De l’enunciat del problema sabem que 𝑃(𝑀) = 0,25 i 𝑃(𝐸) = 0,75. Sabem també que 𝑃(𝐷|𝑀) = 0,05 i 𝑃(𝐷|𝐸) = 0,15.

Aleshores, per la fórmula de les probabilitats totals, 𝑃(𝐷) = P(D ∩ M) + P(D ∩ E) = P(M) · P(D|M) + P(E) · P(D|E) = 0,25 · 0,05 +

0,75 · 0,15 = 8 = 0,125.

També ho podem plantejar mitjançant un diagrama d’arbre

0,05

Algun problema

0,95

Cap problema

0,15

Algun problema

0,85

Cap problema

Manual 0,25

0,75

Elèctrica

Així doncs, la probabilitat que la bicicleta tingui algun tipus de problema que requereixi el servei post-venda és de 0.125.

Ara ens demanen que calculem la probabilitat que la bicicleta sigui elèctrica si sabem que ha tingut algun tipus de problema que ha requerit el servei postvenda. Per tant, 𝑃(𝐸|𝐷) =

𝑃(𝐸)·𝑃(𝐷 |𝐸 ) 𝑃(𝐸∩𝐷) 0,75·0,15

= 0,125 = 10 = 0,9.

𝑃(𝐷) 𝑃(𝐷)

Si sabem que la bicicleta ha tingut algun tipus de problema que ha requerit el servei post-venda la probabilitat que es tracti d’una bicicleta elèctrica és de 0.9.

b) La mida de la mostra és 𝑛 = 100. L’estimació puntual de la proporció de

bicicletes que han requerit la revisió del servei post-venda és de 𝑝 = = 0,08.

Quan la mida de la mostra és gran, l’interval de confiança per a una proporció amb un nivell de confiança 𝛾𝜖(0,1) s’obté a partir de la fórmula

Pàgina 4 de 10 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

en què, si 𝑍 segueix una distribució normal (0,1), Per tant tenim que els extrems de l’interval són

P(−𝑧𝛾 ≤ 𝑍 ≤ 𝑧𝛾 ) = 𝛾.

L’interval de confiança demanat és [0’0268,0’1332]. Per tant, amb una confiança del 95% sí que podem afirmar que el percentatge ha millorat respecte a l’històric del 15%. Sabem que, actualment, el percentatge de bicicletes elèctriques que requereixen del servei post-venda està entre el 2,6% i el 13,3% amb una confiança del 95%.

Criteris de correcció:

Cal que la redacció de la resposta s’hagi fet de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

a) Assignació correcta d’esdeveniments: 0.25 punts. Càlcul de la primera probabilitat demanada: 0,5 punts. Càlcul de la segona probabilitat demanada:

0.5 punts.

b) Càlcul de la proporció mostral: 0,25 punts. Interpretació correcta de la fórmula i substitució correcta de cada paràmetre pel seu valor: 0,5 punts. Resultat final:

0,25 punts. Justificació correcta del que podem afirmar a partir del resultat: 0.25 punts.

Pàgina 5 de 10 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

3.

a) A l’inici de l’estudi hi havia 50 microorganismes, és a dir, 5 desenes. Per tant, tenim que 𝑓(0) = 5. Resolem l’equació:

i obtenim que 𝑘 = 5.

15 · 0 +𝑘 =5 9 + 02

Busquem ara els extrems relatius de la funció. Comencem calculant la derivada 15 · (9 + 𝑥 2 ) − 15𝑥 · 2𝑥 135 − 15𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥) =

(9 + 𝑥 2 )2 (9 + 𝑥 2 )2 igualem la derivada a zero i obtenim 135 − 15𝑥 2 = 0.

L’equació de segon grau té dues solucions 𝑥 = 3 i 𝑥 = −3. La solució que pertany al domini de definició de la nostra funció és 𝑥 = 3. Estudiarem el signe de la derivada abans i després 𝑥 = 3 i veiem que

- 𝑓 ′ (𝑥) > 0 per valors 0 ≤ 𝑥 < 3

- 𝑓 ′ (𝑥) < 0 per valors 3 < 𝑥 < +∞.

Veiem que al punt 𝑥 = 3 la funció passa de créixer a decréixer i, per tant, hi trobem un màxim.

Calculem ara el valor de la funció en 𝑥 = 3:

15 · 3

𝑓(3) = +5= = 7,5.

9+3

Per tant, la població màxima s’assolirà a les 3 hores d’iniciar l’estudi i serà de 7,5 desenes, és a dir de 75 microorganismes.

b) Per saber a quin nombre s’estabilitzarà la població de microorganismes de l’estudi hem de calcular el límit quan el temps tendeix a infinit lim

15𝑥

𝑥→+∞ 9+𝑥 2

+ 5 = 0 + 5 = 5.

A llarg termini acabarem tenint 5 desenes de microorganismes, és a dir, 50 microorganismes.

Pàgina 6 de 10 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

Criteris de correcció:

Cal que la redacció de la resposta s’hagi fet de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

a) Obtenció del valor de k: 0,5 punts. Càlcul de la derivada: 0,5 punts. Càlcul del punt on s’assoleix el màxim: 0,25 punts. Comprovació de que es tracta d’un màxim: 0,25 punts. Obtenció del nombre màxim de microorganismes: 0,25 punts.

b) Plantejament del límit: 0,25 punts. Càlcul del límit: 0,5 punts.

Pàgina 7 de 10 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

4.

OPCIÓ A

a) Definim la matriu 3 0,6 1 𝐴 = (3,5 1 0,7) 2,5 0,8 0,9 en què cada fila representa el primer, segon i tercer proveïdor, respectivament, i les columnes representen el preu de l’oli, de la farina i la sal, respectivament.

I la matriu

𝐵 = (700)

que representa la quantitat que l’empresa vol comprar de cada matèria. La primera fila és la quantitat d’oli en litres, i la segona i tercera la quantitat de kg de farina i sal, respectivament.

Si multipliquem les dues matrius obtenim el preu de cada proveïdor per aquesta comanda:

3 0,6 1 1345

𝐴 ⋅ 𝐵 = (3,5 1 0,7) ⋅ (700) = (1767,5) 2,5 0,8 0,9 1332,5

Per tant, el cost total de la comanda és de 1345€ pel primer proveïdor, 1767,5€ pel segon i 1332,5€ pel tercer. El proveïdor més econòmic per aquesta comanda concreta és el tercer.

b) Considerem 𝑥 el nombre de cops que s’apuja el preu del paquet de pasta en 0,01 euros.

Sabem que el cost de producció d’un paquet de pasta és de 0,5 euros. Per tant, si el preu de venda és de 1,1 euros, el benefici és de 1,1-0,5=0,6 euros. I, a aquest preu, en venem 1000 paquets.

Si apugem el preu de venda 0,01𝑥 euros, el benefici serà de 0,6 + 0,01𝑥 euros i el nombre de paquets venuts serà de 1000 − 10𝑥.

La funció del benefici diari total és per tant 𝐵(𝑥) = (0,6 + 0,01𝑥)(1000 − 10𝑥) = −0,1𝑥 2 + 4𝑥 + 600.

Per trobar el benefici màxim calculem la derivada 𝐵′(𝑥) i la igualem a zero.

𝐵′ (𝑥) = −0,2𝑥 + 4 → −0,2𝑥 + 4 = 0 → 𝑥 = = 20.

0,2 Aquest valor és un màxim ja que 𝐵′(𝑥) > 0 per valors de 𝑥 < 20 i 𝐵′(𝑥) < 0 per valors de 𝑥 > 20.

Pàgina 8 de 10 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

El benefici màxim s’obtindria amb una pujada de preu de 0,2 € i seria de 𝐵(20) = 640 €. El preu unitari del paquet per obtenir aquest benefici màxim seria de 1,3 €.

Criteris de correcció:

Cal que la redacció de la resposta s’hagi fet de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

a) Escriure les matrius: 0,25 punts cadascuna. Càlcul del producte de matrius: 0,5 punts. Obtenció del proveïdor que resulta més econòmic: 0,25 punts.

b) Obtenció de la funció que dona el benefici en funció de 𝑥: 0,5 punts. Càlcul del punt on s’assoleix el màxim i justificació de que és un màxim: 0,25 punts. Càlcul del benefici màxim: 0,25 punts. Càlcul del preu de venda del paquet per obtenir el benefici màxim: 0,25 punts.

Pàgina 9 de 10 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

OPCIÓ B

a) Considerem les següents incògnites 𝑥: nombre de litres d’oli que ha comprat la fàbrica.

𝑦: nombre de kg de farina que ha comprat la fàbrica.

𝑧: nombre de kg de sal que ha comprat la fàbrica.

A partir de l’enunciat trobem les següents equacions 3𝑥 + 0,6𝑦 + 𝑧 = 1320 𝑦 = 3𝑧

0,6𝑦 = 0,3 · 3𝑥 Multiplicant la primera i la tercera equació per 10 arribem al sistema 30𝑥 + 6𝑦 + 10𝑧 = 13200 𝑦 − 3𝑧 = 0

6𝑦 = 9𝑥 Si ara dividim per 2 la primera equació i per tres la tercera arribem al sistema 15𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 6600 𝑦 − 3𝑧 = 0

3𝑥 − 2𝑦 = 0 Resolem el sistema pel mètode de Gauss:

6600 15 3 5 6600

5 6600 15 3

(0 1 −3| 0 ) ~ ( 0

−3| 0 ) ~ ( 0 1 −3 | 0 )

3 −2 0 0 −13 −5 −6600 0 0 −44 −6600 Per tant;

−44𝑧 = −6600 ⟺ z = 150 𝑦 − 3𝑧 = 0 ⟺ y = 3 · 150 = 450

(6600 − 3 ⋅ 450 − 5 ⋅ 150) = 300 15𝑥 = 6600 − 3𝑦 − 5𝑧 ⟺ x =

La fàbrica ha comprat 300 litres d’oli, 450 kg de farina i 150 kg de sal.

b) Per trobar l’interval de confiança calcularem primer la mitjana de la mostra

A més a més, per l’enunciat sabem que 𝑛 = 9, 𝑧γ = 1,96 𝑖 σ = 4.

Per tant, l’interval és:

Amb una confiança del 95%, no podem afirmar que els paquets de pasta estiguin mal etiquetats ja que 500 g pertany a aquest interval.

Pàgina 10 de 10 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

Criteris de correcció:

Cal que la redacció de la resposta s’hagi fet de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

a) Plantejar el sistema d’equacions: 0,25 punts per cada equació. Resolució i obtenció del resultat final: 0,5 punts.

b) Càlcul de la mitjana: 0,25 punts. Interpretació correcta de la fórmula i substitució correcta de cada paràmetre pel seu valor: 0,5 punts. Resultat final: 0,25 punts.

Justificació correcta del que podem afirmar a partir del resultat: 0.25 punts.