Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

2025 Proves d’accés a la universitat

Matemàtiques aplicades a les ciències socials Sèrie 3

Qualificació

Comprovació

2a correcció

Exercici 1 Exercici 2 Exercici 3 Exercici 4. Opció ___ Suma de notes parcials Qualificació final

Etiqueta de l’estudiant

Ubicació del tribunal ..............................................................................

Número del tribunal ...............................................................................

Etiqueta de qualificació

Etiqueta de correcció

L’examen consta de QUATRE exercicis obligatoris. Cada exercici val 2,5 punts. Feu els exercicis 1, 2 i 3 responent a TOTES les qüestions que s’hi plantegen. A l’exercici 4, trieu UNA de les dues opcions (A o B) proposades.

En totes les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cal que la redacció de la resposta es faci de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

Podeu utilitzar la pàgina en blanc del final del quadern per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de l’exercici corresponent.

Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.

Exercici 1 Un agricultor ha observat que si es planten 25 pereres per hectàrea, el rendiment és de 370 peres per arbre. A més a més, també ha comprovat que la relació entre el nombre de peres per arbre i el nombre de pereres per hectàrea és lineal, de manera que per cada arbre plantat de més per hectàrea, el rendiment disminueix en 10 peres per perera.

a) Anomenem x el nombre de pereres de més que plantem, addicionals a les 25 inicials.

Calculeu la funció de la producció total de peres per hectàrea P(x) en funció de x.

[1 punt]

b) Quin és el nombre total de pereres per hectàrea que cal plantar per a obtenir el màxim de producció per hectàrea? Quina és aquesta producció màxima? A partir de quantes pereres per hectàrea no s’obté cap producció?

[1,5 punts]

Espai per a la correcció Exercici 1

Total

Exercici 2 Una marca de sabates coneguda va posar a la venda un dels seus models més populars i en va vendre tota la producció a la temporada d’estiu. El preu de cada parell de sabates era de 90 €, però algunes es van vendre al preu original, d’altres amb un 20 % de descompte i la resta amb un 50 % a la liquidació de final de temporada. En total es van produir 820.000 parells de sabates d’aquest model, que van proporcionar uns ingressos de 63.837.000 €. Sabem també que es van vendre el doble de sabates rebaixades al 20 % que al 50 %.

Trobeu quants parells de sabates es van vendre al preu original, quants amb un 20 % de descompte i quants al 50 %.

[2,5 punts]

Espai per a la correcció Exercici 2

Exercici 3 En un parc natural, els visitants hi poden accedir en cotxe, en bicicleta o a peu. Un cop dins del parc, els visitants poden fer una ruta guiada o bé visitar-lo pel seu compte.

a) Sabem que el 60 % dels visitants hi accedeixen en cotxe, el 15 % en bicicleta i el 25 % restant a peu. També sabem que dels que hi arriben en cotxe el 80 % fan la ruta guiada, mentre que dels que hi arriben en bicicleta la fan el 60 % i dels que hi arriben a peu només la fan el 30 %.

Si escollim un visitant a l’atzar, quina és la probabilitat que faci la ruta guiada? Si sabem que ha fet la ruta guiada, quina és la probabilitat que hagi accedit al parc en cotxe?

[1,25 punts]

b) Volem fer un estudi del temps que passen de mitjana els visitants dins del parc. Hem preguntat a 100 visitants quanta estona han estat dins del parc i hem obtingut una mitjana de 231 minuts amb una desviació típica de 32 minuts.

Construïu un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà que passen els visitants dins del parc.

[1,25 punts]

Fórmules per a resoldre l’exercici:

• Z ∼ normal (0, 1) → P(–1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95 i P(–2,58 ≤ Z ≤ 2,58) = 0,99

• Intervals de confiança amb un nivell de confiança γ ∈ (0, 1) — per a la proporció (mostres grans):

— per a la mitjana (mostres normals amb la variància σ2 coneguda):

— per a la mitjana (mostres grans amb la variància σ2 desconeguda):

Espai per a la correcció Exercici 3

Total

Exercici 4 Una empresa fabrica cotxes elèctrics i cotxes de motor de combustió. L’empresa té tres línies de fabricació: L1, L2 i L3. La taula següent mostra el nombre de vehicles de cada tipus que hi ha en aquest moment en cada línia. D’altra banda, sabem que el preu de venda dels vehicles elèctrics és de 40.000 € i el preu de venda dels vehicles de motor de combustió és de

30.000 €.

L1 L2 L3

Cotxes elèctrics

Cotxes de motor de combustió

El cost mitjà de manteniment i consum per cada 100 km és d’1 € per als vehicles elèctrics i de 6 € per als de motor de combustió.

El 2 % de la producció de vehicles de motor de combustió surt de l’empresa amb algun defecte, mentre que només l’1 % dels vehicles elèctrics surt amb alguna tara.

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A

a) Obteniu, mitjançant un producte de matrius, la matriu que expressa els ingressos per cada línia un cop s’hagin venut tots els cotxes.

Si escollim a l’atzar un dels vehicles que hi ha ara a la fàbrica, quina és la probabilitat que sigui de motor de combustió si sabem que ha sortit defectuós?

[1,5 punts]

b) És més car comprar un cotxe elèctric, però té menys despeses per kilòmetres recorreguts que un de combustió. Determineu la funció que representa la despesa acumulada, entre la compra i els kilòmetres recorreguts, per a cada tipus de vehicle en funció del nombre de kilòmetres recorreguts, x. Si un conductor fa 20.000 km l’any, a partir de quants anys li sortirà més a compte el cotxe elèctric que el de combustió?

[1 punt]

OPCIÓ B

a) Hi ha hagut una errada en el recompte de vehicles elèctrics de la L2. El valor 30 de la taula de l’enunciat és erroni, però sabem que si es venguessin tots els vehicles de la L2, els ingressos d’aquesta línia serien de 3.720.000 €. Quants cotxes elèctrics hi ha realment a la L2?

Si escollim a l’atzar un dels vehicles que hi ha ara a la L2, quina és la probabilitat que sigui de motor elèctric, si sabem que ha sortit defectuós?

[1,5 punts]

b) Si sabem que la despesa acumulada entre la compra i els kilòmetres recorreguts d’un vehicle de combustió és de 36.000 €, quants kilòmetres ha recorregut? Quina despesa acumulada tindria un vehicle elèctric que hagués recorregut aquest mateix nombre de kilòmetres?

[1 punt]

Espai per a la correcció

Exercici 4. Opció ___ b

Total

[Pàgina per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici.]

Comprovació:

2a correcció:

3a correcció:

Etiqueta de l’estudiant

L’Institut d’Estudis Catalans ha tingut cura de la correcció lingüística i de l’edició d’aquesta prova d’accés

Soluciones y criterios de corrección en texto

Pàgina 1 de 9 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació

SÈRIE 3

1.

a) Si 𝑥 és el nombre de pereres addicionals a les 25 plantades inicialment, la producció de cada una de les 25 + 𝑥 pereres serà de 370 − 10𝑥 peres.

La producció total serà el producte del nombre de peres per arbre pel nombre de pereres:

𝑃(𝑥) = (25 + 𝑥) · (370 − 10𝑥) → 𝑃(𝑥) = −10𝑥 2 + 120𝑥 + 9250.

b) Per buscar el punt on s’assoleix el màxim de la funció de producció, calculem la derivada i la igualem a zero:

𝑃′ (𝑥) = −20𝑥 + 120 → 𝑃′ (𝑥) = 0 → 𝑥 = 6 Observem que és un màxim perquè la derivada és positiva per a valors inferiors a 6 i, per tant, la funció és creixent per a 𝑥 < 6, mentre que és negativa per a valors superiors a 6 i, per tant, la funció és decreixent per a 𝑥 > 6.

Així doncs, el nombre total de pereres que caldrà plantar per hectàrea per obtenir una producció màxima serà de 25 + 6 = 31 pereres per hectàrea.

La producció màxima serà de 𝑃(6) = 31 · 310 = 9610 peres.

Per saber a partir de quin valor no hi haurà cap producció cal resoldre 𝑃(𝑥) = 0 −12 ± √122 − 4 · (−1) · (925) −12 ± 62

2 · (−1) −2 Tenim dues solucions: 𝑥 = −25 i 𝑥 = 37. La primera correspon a no plantar cap perera per hectàrea i la segona correspon a plantar 37 pereres addicionals per hectàrea. En aquest cas la producció serà nul·la. És a dir, la producció serà nul·la si no es planta cap perera per hectàrea o si es planta un total de 25 + 37 = 62 pereres per hectàrea.

−𝑥 2 + 12𝑥 + 925 = 0 → 𝑥 =

Criteris de correcció:

Cal que la redacció de la resposta s’hagi fet de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

a) Determinar la funció que dona el nombre de pereres en funció de 𝑥: 0,25 punts.

Determinar la funció que dona el nombre de peres per perera en funció de 𝑥:

Pàgina 2 de 9 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació

0,25 punts. Determinar la funció que dona la producció de peres per hectàrea en funció de 𝑥: 0,5 punts.

b) Càlcul de la derivada: 0,25 punts. Trobar el valor on s’assoleix l’extrem relatiu i justificació que es tracta d’un màxim: 0,25 punts. Nombre òptim de pereres per hectàrea: 0,25 punts. Producció màxima: 0,25 punts. Càlcul del nombre de pereres per hectàrea per tal que no hi hagi producció de peres: 0,5 punts.

Pàgina 3 de 9 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació

2.

Anomenarem 𝑥, 𝑦 i 𝑧 el nombre de sabates que es van vendre al preu original, amb un descompte del 20% i amb un descompte del 50%, respectivament.

El preu original era de 90 euros; el preu amb un 20% de descompte és de 0,8·90=72 euros, i el preu amb un 50% de descompte és de 0,5·90=45 euros.

A partir de l’enunciat obtenim el sistema d’equacions següent:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 820.000 𝑦 − 2𝑧 = 0

90𝑥 + 72𝑦 + 45𝑧 = 63.837.000 La tercera equació la podem simplificar dividint-la per 9 i obtenim:

10𝑥 + 8𝑦 + 5𝑧 = 7.093.000 Resolem el sistema utilitzant el mètode de Gauss:

1 1 1 820.000 1 1 1 820.000 1 1 1 820.000 ( 0 1 −2|

0 1 −2|

0 1 −2|

10 8 5 7.093.000 0 2 5 1.107.000 0 0 9 1.107.000 Resolent-lo s’obté la solució 𝑧 = 123.000, 𝑦 = 246.000 i 𝑥 = 451.000.

Així doncs, es van vendre 451.000 parells de sabates al preu original, 246.000 amb un descompte del 20% i 123.000 al 50%.

Criteris de correcció:

Cal que la redacció de la resposta s’hagi fet de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

a) Plantejament del sistema: 0,25 punts per cada equació. Resolució del sistema:

1 punt. Determinar el nombre de sabates venudes a cada preu: 0,75 punts.

Pàgina 4 de 9 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació

3.

a) Considerem els esdeveniments 𝑅 = el visitant ha fet la ruta guiada.

𝐶 = el visitant ha accedit al parc en cotxe.

𝐵 = el visitant ha accedit al parc en bicicleta.

𝑃 = el visitant ha accedit al parc a peu.

A partir de les dades de l’enunciat sabem que 𝑃(𝐶) = 0,6, 𝑃(𝐵) = 0,15 i 𝑃(𝑃) = 0,25. Sabem també que 𝑃(𝑅|𝐶) = 0,8, 𝑃(𝑅|𝐵) = 0,6 i 𝑃(𝑅|𝑃) = 0,3.

Aleshores, per la fórmula de les probabilitats totals, 𝑃(𝑅) = 𝑃(𝑅 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝑅 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝑅 ∩ 𝑃) = 𝑃(𝐶) · 𝑃(𝑅|𝐶) + 𝑃(𝐵) · 𝑃(𝑅|𝐵) + 𝑃(𝑃) · 𝑃(𝐶|𝑃) = 0,6 · 0,8 + 0,15 · 0,6 + 0,25 · 0,3 = 0,645.

També ho podem resoldre mitjançant un diagrama d’arbre 0,8

Fa la ruta guiada

0,2

No fa la ruta guiada

0,6

Fa la ruta guiada

0,4

No fa la ruta guiada

0,3

Fa la ruta guiada

0,7

No fa la ruta guiada

Cotxe 0,6

0,15 Bicicleta

0,25 A peu

Així doncs, la probabilitat que un individu escollit a l’atzar faci la ruta guiada és de 0,645.

Ara ens demanen que calculem la probabilitat que hi hagi accedit en cotxe si sabem que ha fet la ruta guiada. Per tant, 𝑃(𝐶|𝑅) =

𝑃(𝐶)·𝑃(𝑅 |𝐶 ) 𝑃(𝐶∩𝑅) 0,6·0,8

= 0,645 = 0,7442.

𝑃(𝑅) 𝑃(𝑅)

Si sabem que fa la ruta guiada, la probabilitat que hagi accedit al parc en cotxe és de 0,7442.

Pàgina 5 de 9 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació

b) La mida de la mostra és 𝑛 = 100. L’estimació puntual de la mitjana i la desviació típica en la mostra han estat 𝑥̅ = 231 i 𝑠 = 32.

Quan la mida de la mostra és gran, l’interval de confiança per a la mitjana amb un nivell de confiança 𝛾𝜖(0,1) s’obté a partir de la fórmula [ 𝑥̅ − 𝑧𝛾

√𝑛

, 𝑥̅ + 𝑧𝛾

√𝑛

],

en què, si 𝑍 segueix una distribució normal (0,1), Per tant, tenim que els extrems de l’interval són:

𝑥̅ − 𝑧𝛾

√𝑛

= 231 − 1,96

√100

P(−𝑧𝛾 ≤ 𝑍 ≤ 𝑧𝛾 ) = 𝛾.

= 224,728

𝑥̅ + 𝑧𝛾

√𝑛

= 231 + 1,96

√100

= 237,272

L’interval de confiança demanat és [224’728,237’272] minuts. És a dir, amb una confiança del 95% sabem que la mitjana de temps que els visitants passen al parc natural està entre 224,728 i 237,272 minuts.

Criteris de correcció:

Cal que la redacció de la resposta s’hagi fet de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

a) Assignació correcta d’esdeveniments: 0,25 punts. Càlcul de la primera probabilitat demanada: 0,5 punts. Càlcul de la segona probabilitat demanada:

0,5 punts.

b) Interpretació correcta de la fórmula i substitució correcta de cada paràmetre pel seu valor: 0,5 punts. Resultat final: 0,75 punts.

Pàgina 6 de 9 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació

4.

OPCIÓ A

a) Considerem les matrius:

𝐴 = 𝐿1 𝐿2 𝐿3

𝐸 𝑀 20 80

(30 100) i 𝐼 = 𝑀 40 110

40.000

).

30.000

Si fem el producte de 𝐴 · 𝐼 obtindrem els ingressos per la venda de tots els cotxes de cada línia.

20 80

3.200.000

40.000 𝐴 · 𝐼 = (30 100) · ( ) = (4.200.000).

30.000 40 110

4.900.000 Obtenim que la línia 1 generarà uns ingressos de 3.200.000 €, la línia 2 generarà uns ingressos de 4.200.000 € i la línia 3 uns ingressos de 4.900.000 €.

Considerem els esdeveniments:

𝐸 = el vehicle és de motor elèctric.

𝐶 = el vehicle és de motor de combustió.

𝐷 = el vehicle és defectuós.

A la fàbrica hi ha 90 cotxes elèctrics i 290 cotxes de motor de combustió. Per

tant, si escollim un cotxe a l’atzar 𝑃(𝐸) = 90+290 = 0,2368 i 𝑃(𝐶) = 90+290 = 0,7632.

També sabem que 𝑃(𝐷|𝐸) = 0,01 i 𝑃(𝐷|𝐶) = 0,02.

Ens demanen la probabilitat 𝑃(𝐶|𝐷) Podem fer un diagrama d’arbre o bé calcular la probabilitat condicionada utilitzant la fórmula de Bayes 𝑃(𝐶∩𝐷)

𝑃(𝐶|𝐷)= 𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐷 𝐸

𝑃(𝐷 |𝐶 )·𝑃(𝐶)

| )·𝑃(𝐸)+𝑃(𝐷 |𝐶 )·𝑃(𝐶)

0,02·0,7632

= 0,01·0,2368+0,02·0,7632 = 0,8657.

b) La funció que representa la despesa acumulada després de cada 𝑥 km recorreguts per cada tipus de vehicle ve donada per la despesa de compra més la despesa pels quilòmetres recorreguts.

Per als vehicles elèctrics, el preu de venda és de 40.000 euros i 1 euro cada 100 km recorreguts. Per tant, la funció que dona la despesa en euros en funció dels quilòmetres recorreguts serà:

Pàgina 7 de 9 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació

𝐷𝐸 (𝑥) = 40.000 +

𝑥.

Mentre que per als vehicles de combustió aquesta funció serà:

𝐷𝑇 (𝑥) = 30.000 +

𝑥.

Inicialment surt més car el vehicle elèctric. Igualem les despeses per trobar a partir de quants quilòmetres sortirà més econòmic el vehicle elèctric.

40.000 + 100 𝑥 = 30.000 + 100 𝑥 ⇒ 10.000 = 0,05𝑥 ⇒ 𝑥 = 200.000 km Als 200.000 km les despeses seran iguals. A partir dels 10 anys serà més econòmic el vehicle elèctric.

Criteris de correcció:

Cal que la redacció de la resposta s’hagi fet de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

a) Obtenció de les matrius i càlcul del producte de matrius: 0,75 punts. Càlcul de la probabilitat demanada: 0,75 punts.

b) Obtenció de les funcions que donen les despeses: 0,25 punts cadascuna. Obtenció del nombre d’anys a partir del qual surt més a compte el cotxe elèctric: 0,5 punts.

Pàgina 8 de 9 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació

OPCIÓ B

a) Si anomenem 𝑥 la quantitat de vehicles elèctrics que hi ha a la línia 2 sabem que 40.000𝑥 + 3.000.000 = 3.720.000 ⇒ 40.000𝑥 = 720.000 ⇒ 𝑥 = 18, per tant a la línia 2 hi ha 18 vehicles elèctrics i 100 de combustió.

Considerem els esdeveniments:

𝐸 = el vehicle és de motor elèctric.

𝐶 = el vehicle és de motor de combustió.

𝐷 = el vehicle és defectuós.

A la línia 2 hi ha 18 cotxes elèctrics i 100 cotxes de motor de combustió. Per tant,

si escollim un cotxe a l’atzar 𝑃(𝐸) = = 0,1525 i 𝑃(𝐶) = = 0,8475.

18+100

18+100

També sabem que 𝑃(𝐷|𝐸) = 0,01 i 𝑃(𝐷|𝐶) = 0,02.

Ens demanen la probabilitat 𝑃(𝐸|𝐷) Podem fer un diagrama d’arbre o bé calcular la probabilitat condicionada utilitzant la fórmula de Bayes 𝑃(𝐸∩𝐷)

𝑃(𝐸|𝐷)= 𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐷 𝐸

𝑃(𝐷 |𝐸 )·𝑃(𝐸)

0,01·0,1525

= 0,01·0,1525+0,02·0,8475 = 0,0825.

| )·𝑃(𝐸)+𝑃(𝐷 |𝐶 )·𝑃(𝐶)

La probabilitat que sigui elèctric és de 0,0825.

a) La funció que representa la despesa acumulada entre el preu de compra i els quilòmetres recorreguts 𝑥 és:

𝐷(𝑥) = 30.000 + Per tant,

30.000 + 100 𝑥 = 36.000 ⇒ 𝑥 = 100.000 km

𝑥.

Així doncs, el vehicle ha recorregut 100.000 km.

Si el vehicle fos elèctric, la despesa acumulada seria de 40.000 + 100 𝑥, que substituint per x = 100.000 km, ens dona 41.000 euros.

Criteris de correcció:

Cal que la redacció de la resposta s’hagi fet de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

Pàgina 9 de 9 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació

a) Càlcul dels nombre de vehicles elèctrics a la línia 2: 0,5 punts. Càlcul de la probabilitat demanada: 1 punt.

b) Càlcul del nombre de quilòmetres: 0,5 punts. Càlcul de la despesa d’un vehicle elèctric amb el mateix nombre de quilòmetres: 0,5 punts.