Matemáticas II PAU 2026

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Y PRUEBA DE ADMISIÓN ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2025–2026

MATEMÁTICAS II

Instrucciones:

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados.

c) Este examen consta de seis ejercicios distribuidos en una parte con dos ejercicios obligatorios y una parte con dos bloques con dos ejercicios optativos cada uno.

d) Se deben resolver los dos ejercicios obligatorios y solamente un ejercicio de cada uno de los dos bloques con optatividad. En caso de responder a dos ejercicios de un mismo bloque optativo, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

e) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

f) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas, ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

g) Se proporciona la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

PARTE OBLIGATORIA. Resuelve los dos ejercicios siguientes:

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Una ventana tiene forma de rectángulo y está coronada por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro de la ventana mide 8 metros, halla las dimensiones de la ventana que permitan la mayor entrada de luz.

EJERCICIO 2. (2,5 puntos) Considera los puntos A(1, 2, 0), B(2, m, 1), C(3, 4, 2) y D(1, −1, m).

a) [1 punto] Halla los valores de m para los cuales los puntos anteriores son coplanarios.

b) [1,5 puntos] Para m = 1, calcula el área del triángulo de vértices A, B, C y el volumen del tetraedro de vértices A, B, C, D.

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MATEMÁTICAS II

PARTE OPTATIVA.

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 3.1 (2,5 puntos) Considera el sistema

 3x

−y

a2 (1 − a)y +2z =

4y +(3 − a)z = a − 5

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de a.

b) [0,75 puntos] Para a = 0 resuelve el sistema, si es posible.

EJERCICIO 3.2 (2,5 puntos)

α β 1 Considera la matriz A =  2 α β  que cumple |A| = −2.

3 4 α

a) [1,5 puntos] Calcula

−3 −4 −α α−2 β−α 1−β

4α 4β

b) [1 punto] Calcula |A−1 (At )2 A|

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 2. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 4.1 (2,5 puntos)

8ex − 4e2x , halla la primitiva de f cuya gráfica tiene por tangente 1 + ex a la recta y = 2x + 12 ln(2) en el punto de abscisa x = 0.

Dada la función f : R → R definida por f (x) = (Sugerencia: puedes hacer el cambio ex = t).

EJERCICIO 4.2 (2,5 puntos) Disponemos de dos bolsas con monedas de oro y monedas de plata. En la primera hay 2 monedas de oro y 3 monedas de plata. En la segunda hay 6 monedas de oro y 3 de plata. Sin mirar, extraemos una moneda al azar de la primera bolsa y la depositamos en la segunda bolsa. Luego extraemos una moneda de la segunda bolsa.

a) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda moneda sea de oro, sabiendo que la moneda que se extrajo de la primera bolsa era de plata.

b) [1,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la moneda que se extrajo de la primera bolsa fuera de plata, sabiendo que la segunda moneda es de oro.

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MATEMÁTICAS II

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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1) N(0,1) P(Z ≤ z)

-

+

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,99653 0,99744 0,99813 0,99865 0,99903 0,99931 0,99952 0,99966 0,99977 0,99984 0,99989 0,99993 0,99995 0,99997

0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,99664 0,99752 0,99819 0,99869 0,99906 0,99934 0,99953 0,99968 0,99978 0,99985 0,99990 0,99993 0,99995 0,99997

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,99674 0,99760 0,99825 0,99874 0,99910 0,99936 0,99955 0,99969 0,99978 0,99985 0,99990 0,99993 0,99996 0,99997

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,99683 0,99767 0,99831 0,99878 0,99913 0,99938 0,99957 0,99970 0,99979 0,99986 0,99990 0,99994 0,99996 0,99997

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,99693 0,99774 0,99836 0,99882 0,99916 0,99940 0,99958 0,99971 0,99980 0,99986 0,99991 0,99994 0,99996 0,99997

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,99702 0,99781 0,99841 0,99886 0,99918 0,99942 0,99960 0,99972 0,99981 0,99987 0,99991 0,99994 0,99996 0,99997

0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,99711 0,99788 0,99846 0,99889 0,99921 0,99944 0,99961 0,99973 0,99981 0,99987 0,99992 0,99994 0,99996 0,99998

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,99720 0,99795 0,99851 0,99893 0,99924 0,99946 0,99962 0,99974 0,99982 0,99988 0,99992 0,99995 0,99996 0,99998

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,99728 0,99801 0,99856 0,99896 0,99926 0,99948 0,99964 0,99975 0,99983 0,99988 0,99992 0,99995 0,99997 0,99998

0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,99736 0,99807 0,99861 0,99900 0,99929 0,99950 0,99965 0,99976 0,99983 0,99989 0,99992 0,99995 0,99997 0,99998

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria Z , con distribución N(0,1), esté por debajo del valor z .

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS GENERALES DE CORRECCIÓN

Los ejercicios deben realizarse expresando de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión necesarios. Usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto. Utilizando argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes. Valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo la resolución de manera efectiva, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo, en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

Se deben resolver los dos ejercicios obligatorios y solamente un ejercicio de cada uno de los dos bloques con optatividad. En caso de responder a dos ejercicios de un mismo bloque optativo, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

En los ejercicios en los que sea necesaria la lectura en sentido inverso en la tabla de la ley Normal, de valores de áreas que no aparezcan en dicha tabla, se darán por buenos cualquiera de los dos procedimientos siguientes: interpolación y aproximación por el valor más cercano de los que aparezcan en la tabla.

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente.

Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento"se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

EJERCICIO 1. [2,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por plantear la función a maximizar f (x, y). Hasta 0,25 puntos por obtener la ecuación que describe el perímetro. Hasta 0,5 puntos por presentar la función a maximizar f (x).

EJERCICIO 2. a) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento. b) [1,5 puntos] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento.

EJERCICIO 3.1 a) [1,75 puntos] Hasta 0,5 puntos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes del sistema. Hasta 0,5 puntos por calcular los valores críticos. b) [0,75 puntos] Lo indicado.

EJERCICIO 3.2 a) [1,5 puntos] Hasta 1,25 puntos por aplicar correctamente las propiedades de los determinantes que se utilicen. b) [1 punto] Hasta 0,75 puntos por aplicar correctamente las propiedades de los determinantes que se utilicen.

EJERCICIO 4.1 [2,5 puntos] Hasta 1,75 puntos por el cálculo de

f (x)dx.

EJERCICIO 4.2 a) [0,75 puntos] Hasta 0,25 puntos por expresar la probabilidad de cada suceso. Hasta 0,25 puntos por identificar la probabilidad pedida como probabilidad condicionada. b) [1,75 puntos] Hasta 0,25 puntos por

identificar la probabilidad pedida como probabilidad condicionada. Hasta 0,5 puntos por aplicar de forma correcta el teorema de Bayes.