Matemáticas II PAU 2026

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Y PRUEBA DE ADMISIÓN ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2025–2026

MATEMÁTICAS II

Instrucciones:

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados.

c) Este examen consta de seis ejercicios distribuidos en una parte con dos ejercicios obligatorios y una parte con dos bloques con dos ejercicios optativos cada uno.

d) Se deben resolver los dos ejercicios obligatorios y solamente un ejercicio de cada uno de los dos bloques con optatividad. En caso de responder a dos ejercicios de un mismo bloque optativo, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

e) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

f) Se permite el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas, ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

g) Se proporciona la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

PARTE OBLIGATORIA. Resuelve los dos ejercicios siguientes:

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) En un jardín botánico se desea crear un recinto floral con forma de triángulo rectángulo. Por la disposición del recinto y las características del terreno, la hipotenusa ha de medir 20 metros. ¿Qué longitudes han de tener los catetos del triángulo rectángulo para que su área sea lo mayor posible y cuál es el valor de esta área?

EJERCICIO 2. (2,5 puntos)

Considera las matrices A =  0 −2

   

2 1

3 1 , X =  y  y B =  3  .

0 0

Discute el sistema AX − mX = B, según los valores del parámetro m.

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MATEMÁTICAS II

PARTE OPTATIVA.

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 3.1 (2,5 puntos) Calcula el siguiente límite

x2 − sen(x2 ) x→0 1 − cos(x) lı́m

EJERCICIO 3.2 (2,5 puntos) Considera la función f : [−π, π] → R definida por f (x) = x2 cos(x).

Z π f (x) dx

a) [2 puntos] Calcula

Z π

b) [0,5 puntos] Estudia la simetría de la función f y deduce de ella la relación que existe entre

f (x) dx y

Z π f (x) dx −π

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 2. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 4.1 (2,5 puntos) Considera los puntos A(1, 0, 2), B(−1, 1, 0), C(0, −1, 1) y D(1, 1, 1).

a) [1,5 puntos] Calcula la longitud de la altura del tetraedro de vértices A, B, C, D trazada desde el vértice D.

b) [1 punto] Determina el ángulo que forma la recta que pasa por A y D con el plano que contiene a los puntos A, B y C .

EJERCICIO 4.2 (2,5 puntos) Dos laboratorios, Virex y Borez, elaboran las dosis de la vacuna contra la gripe A. Para mejorar la efectividad de dicha vacuna necesitamos dos inoculaciones. En la farmacia disponen de seis dosis de Virex y dos de Borez. Se sabe que las dosis se sirven de manera aleatoria y consecutiva.

a) [1,25 puntos] Halla la probabilidad de que la segunda dosis sea del laboratorio Virex.

b) [1,25 puntos] Si la segunda dosis es del laboratorio Virex, halla la probabilidad de que la primera hubiese sido de Borez.

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MATEMÁTICAS II

ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2025–2026

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1) N(0,1) P(Z ≤ z)

-

+

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,99653 0,99744 0,99813 0,99865 0,99903 0,99931 0,99952 0,99966 0,99977 0,99984 0,99989 0,99993 0,99995 0,99997

0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,99664 0,99752 0,99819 0,99869 0,99906 0,99934 0,99953 0,99968 0,99978 0,99985 0,99990 0,99993 0,99995 0,99997

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,99674 0,99760 0,99825 0,99874 0,99910 0,99936 0,99955 0,99969 0,99978 0,99985 0,99990 0,99993 0,99996 0,99997

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,99683 0,99767 0,99831 0,99878 0,99913 0,99938 0,99957 0,99970 0,99979 0,99986 0,99990 0,99994 0,99996 0,99997

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,99693 0,99774 0,99836 0,99882 0,99916 0,99940 0,99958 0,99971 0,99980 0,99986 0,99991 0,99994 0,99996 0,99997

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,99702 0,99781 0,99841 0,99886 0,99918 0,99942 0,99960 0,99972 0,99981 0,99987 0,99991 0,99994 0,99996 0,99997

0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,99711 0,99788 0,99846 0,99889 0,99921 0,99944 0,99961 0,99973 0,99981 0,99987 0,99992 0,99994 0,99996 0,99998

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,99720 0,99795 0,99851 0,99893 0,99924 0,99946 0,99962 0,99974 0,99982 0,99988 0,99992 0,99995 0,99996 0,99998

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,99728 0,99801 0,99856 0,99896 0,99926 0,99948 0,99964 0,99975 0,99983 0,99988 0,99992 0,99995 0,99997 0,99998

0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,99736 0,99807 0,99861 0,99900 0,99929 0,99950 0,99965 0,99976 0,99983 0,99989 0,99992 0,99995 0,99997 0,99998

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria Z , con distribución N(0,1), esté por debajo del valor z .

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS GENERALES DE CORRECCIÓN

Los ejercicios deben realizarse expresando de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión necesarios. Usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto. Utilizando argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes. Valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo la resolución de manera efectiva, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo, en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

Se deben resolver los dos ejercicios obligatorios y solamente un ejercicio de cada uno de los dos bloques con optatividad. En caso de responder a dos ejercicios de un mismo bloque optativo, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

En los ejercicios en los que sea necesaria la lectura en sentido inverso en la tabla de la ley Normal, de valores de áreas que no aparezcan en dicha tabla, se darán por buenos cualquiera de los dos procedimientos siguientes: interpolación y aproximación por el valor más cercano de los que aparezcan en la tabla.

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente.

Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento"se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

EJERCICIO 1. [2,5 puntos] Hasta 0,25 puntos por escribir correctamente la ligadura. Hasta 0,25 puntos por obtener la función a maximizar f (x, y). Hasta 0,5 puntos por presentar la función a maximizar f (x).

EJERCICIO 2. [2,5 puntos] Hasta 1 punto por hallar los valores del parámetro que hay que estudiar.

EJERCICIO 3.1 [2,5 puntos] Hasta 0,25 puntos por identificar el tipo de indeterminación. Hasta 1 punto por la primera aplicación de la regla de L’Hôpital.

EJERCICIO 3.2 a) [2 puntos] Hasta 1,5 puntos por calcular una primitiva de f . b) [0,5 puntos] Hasta 0,25 puntos por estudiar la simetría de f .

EJERCICIO 4.1 a) [1,5 puntos] Hasta 0,75 puntos por la ecuación del plano que contiene los puntos A, B y C . b) [1 punto] Hasta 0,5 puntos por el planteamiento.

EJERCICIO 4.2 a) [1,25 puntos] Hasta 0,5 puntos por reconocer el teorema de Probabilidad Total. b) [1,25 puntos] Hasta 0,5 puntos por reconocer la fórmula de Bayes.