Matemáticas II PAU 2026

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Y PRUEBA DE ADMISIÓN ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2025–2026

MATEMÁTICAS II

Instrucciones:

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados.

c) Este examen consta de seis ejercicios distribuidos en una parte con dos ejercicios obligatorios y una parte con dos bloques con dos ejercicios optativos cada uno.

d) Se deben resolver los dos ejercicios obligatorios y solamente un ejercicio de cada uno de los dos bloques con optatividad. En caso de responder a dos ejercicios de un mismo bloque optativo, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

e) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

f) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas, ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

g) Se proporciona la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

PARTE OBLIGATORIA. Resuelve los dos ejercicios siguientes:

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) La potencia de pérdida P (t) (en vatios) en una máquina, debido a la fricción, depende del tiempo de uso t (en años) según la función P (t) =

4t 1 + t2

siendo

t ≥ 0.

a) [1,25 puntos] Calcula en qué momento la potencia de pérdida es máxima.

Z t

b) [1,25 puntos] La energía total perdida en los t primeros años viene dada por la expresión E(t) = (vatios por año). Calcula la energía total perdida en los tres primeros años.

P (x) dx

EJERCICIO 2. (2,5 puntos) Una empresa produce tres tipos de productos, A, B y C . Si el precio del producto A tuviera un 10 % de descuento y el de los productos B y C tuviera un 20 % de descuento cada uno, la suma de los precios de tres productos, uno de cada tipo, sería 66e. El precio total sin descuento de 3 productos del tipo A y 4 productos del tipo B es 140e.

a) [1,25 puntos] ¿Cuánto valdrán 3 productos de tipo A más 8 productos de tipo C ?

b) [1,25 puntos] Determina el precio, sin descuento, de cada tipo de producto, sabiendo además que el precio del producto de tipo C es el doble que el de tipo A.

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MATEMÁTICAS II

PARTE OPTATIVA.

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 3.1 (2,5 puntos) Considera el plano π ≡ 4x + 5y − 20z + 20 = 0.

a) [1,25 puntos] Halla el área del triángulo cuyos vértices están determinados por la intersección de π con los ejes coordenados.

b) [1,25 puntos] Halla los planos paralelos a π que distan 2 unidades del punto P (2, 2, 1).

EJERCICIO 3.2 (2,5 puntos) Considera los planos π1 ≡ 2x − y − z = 7,

π2 ≡ x − 2y + z = 3 y el punto P (1, 1, 0).

a) [1,25 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P y es paralela a ambos planos.

b) [1,25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P y es perpendicular a π1 y a π2 ..

BLOQUE CON OPTATIVIDAD 2. Resuelve sólo uno de los siguientes ejercicios:

EJERCICIO 4.1 (2,5 puntos) Determina para qué valores de a el límite

e−ax − (1 − ax) cos(2x) x→0 x2 lı́m

vale 6.

EJERCICIO 4.2 (2,5 puntos) Las tallas de las niñas al nacer se distribuyen según una distribución normal de media 50 cm y desviación típica 1,8 cm.

a) [1 punto] Halla la probabilidad de que una niña al nacer mida más de 54 cm.

b) [1,5 puntos] Si en un hospital durante un mes han nacido 100 niñas, ¿cuántas tendrán en el momento del nacimiento una talla entre 48,2 y 51,8 cm?

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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,1) N(0,1) P(Z ≤ z)

-

+

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,99653 0,99744 0,99813 0,99865 0,99903 0,99931 0,99952 0,99966 0,99977 0,99984 0,99989 0,99993 0,99995 0,99997

0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,99664 0,99752 0,99819 0,99869 0,99906 0,99934 0,99953 0,99968 0,99978 0,99985 0,99990 0,99993 0,99995 0,99997

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,99674 0,99760 0,99825 0,99874 0,99910 0,99936 0,99955 0,99969 0,99978 0,99985 0,99990 0,99993 0,99996 0,99997

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,99683 0,99767 0,99831 0,99878 0,99913 0,99938 0,99957 0,99970 0,99979 0,99986 0,99990 0,99994 0,99996 0,99997

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,99693 0,99774 0,99836 0,99882 0,99916 0,99940 0,99958 0,99971 0,99980 0,99986 0,99991 0,99994 0,99996 0,99997

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,99702 0,99781 0,99841 0,99886 0,99918 0,99942 0,99960 0,99972 0,99981 0,99987 0,99991 0,99994 0,99996 0,99997

0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,99711 0,99788 0,99846 0,99889 0,99921 0,99944 0,99961 0,99973 0,99981 0,99987 0,99992 0,99994 0,99996 0,99998

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,99720 0,99795 0,99851 0,99893 0,99924 0,99946 0,99962 0,99974 0,99982 0,99988 0,99992 0,99995 0,99996 0,99998

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,99728 0,99801 0,99856 0,99896 0,99926 0,99948 0,99964 0,99975 0,99983 0,99988 0,99992 0,99995 0,99997 0,99998

0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,99736 0,99807 0,99861 0,99900 0,99929 0,99950 0,99965 0,99976 0,99983 0,99989 0,99992 0,99995 0,99997 0,99998

Nota: En el interior de la tabla se da la probabilidad de que la variable aleatoria Z , con distribución N(0,1), esté por debajo del valor z .

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS II

CRITERIOS GENERALES DE CORRECCIÓN

Los ejercicios deben realizarse expresando de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión necesarios. Usando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto. Utilizando argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes. Valorándose el grado de cumplimiento con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

La mera descripción del planteamiento, sin que se lleve a cabo la resolución de manera efectiva, no es suficiente para obtener una valoración completa del ejercicio.

En los ejercicios en los que se pida expresamente una deducción razonada, la mera aplicación de una fórmula no será suficiente para obtener una valoración completa de los mismos.

Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo, en el cálculo del valor de un cierto parámetro, no se tendrán en cuenta en la calificación de los desarrollos posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten de una complejidad equivalente.

Los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalizarán con un máximo de 0,25 puntos en cada ejercicio.

Se deben resolver los dos ejercicios obligatorios y solamente un ejercicio de cada uno de los dos bloques con optatividad. En caso de responder a dos ejercicios de un mismo bloque optativo, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar.

En los ejercicios en los que sea necesaria la lectura en sentido inverso en la tabla de la ley Normal, de valores de áreas que no aparezcan en dicha tabla, se darán por buenos cualquiera de los dos procedimientos siguientes: interpolación y aproximación por el valor más cercano de los que aparezcan en la tabla.

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN La evaluación se realizará según el desglose de las puntuaciones que se hace a continuación. Si algún apartado no se menciona específicamente, su puntuación es la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente.

Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A está hecho o estudiado correctamente, incluyendo la justificación oportuna. Cuando se dice "planteamiento"se refiere al proceso seguido por el/la estudiante que, de no cometer errores, le llevará a la solución.

EJERCICIO 1. a) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por obtener los puntos críticos. b) [1,25 puntos] Hasta 0,25 puntos por expresar E(3) como una integral definida. Hasta 0,5 puntos por calcular una primitiva de P (t).

EJERCICIO 2. a) [1,25 puntos] Hasta 0,5 puntos por la primera ecuación. Hasta 0,25 puntos por la segunda ecuación. b) [1,25 puntos] Hasta 0,5 puntos por escribir el sistema al adjuntar la ecuación adicional.

EJERCICIO 3.1 a) [1,25 puntos] Hasta 0,5 puntos por obtener los puntos intersección del plano con los ejes coordenados. b) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por el planteamiento.

EJERCICIO 3.2 a) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por obtener un vector director de la recta buscada. b) [1,25 puntos] Hasta 0,75 puntos por obtener un vector normal al plano pedido.

EJERCICIO 4.1 [2,5 puntos] Hasta 0,25 puntos por identificar el tipo de indeterminación. Hasta 0,75 puntos por cada una de las dos aplicaciones de la regla de L’Hôpital.

EJERCICIO 4.2 a) [1 punto] Hasta 0,25 puntos por indicar qué probabilidad se pide. Hasta 0,25 puntos por tipificar.

b) [1,5 puntos] Hasta 0,25 puntos por indicar qué probabilidad se pide. Hasta 0,25 puntos por tipificar.