Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2020

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2019–2020

Instrucciones:

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Elija cuatro de los ocho ejercicios propuestos de al menos tres bloques distintos. Se corregirán los cuatro primeros ejercicios que aparezcan en el examen y que cumplan el requisito anterior.

c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima asignada.

d) Todos los resultados deben estar suficientemente justificados.

e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin el uso de la misma.

Este examen consta de 4 Bloques (A, B, C y D)

Deberá responder a cuatro ejercicios de entre los ocho propuestos con la condición de que pertenezcan al menos a 3 bloques distintos. En caso de responder a más ejercicios de los requeridos, serán tenidos en cuenta los respondidos en primer lugar.

BLOQUE A

EJERCICIO 1

2 0 m Dada la matriz A =  1 1 1 , con m un parámetro real, se pide:

m 3 5

a) (0.8 puntos) ¾Para qué valores del parámetro m tiene inversa la matriz A?

b) (1.7 puntos) Para m = 0, resuelva la ecuación matricial X · A = A · At .

EJERCICIO 2

Se considera la región del plano de nida por las siguientes inecuaciones:

x+y ≤4

x − y ≥ −2

x + 3y ≥ 2

y≤2

a) (1.5 puntos) Represéntela grá camente y determine sus vértices.

b) (0.25 puntos) Indique razonadamente si el punto (4, −0.75) pertenece a dicha región.

c) (0.75 puntos) ¾En qué puntos de la región anterior la función F (x, y) = x + y alcanza los valores máximo y mínimo y cuáles son estos valores?

BLOQUE B

EJERCICIO 3

De una función f sabemos que su grá ca pasa por el punto (1, 3) y que su derivada es f 0 (x) = 2x − 6.

a) (0.75 puntos) Determine la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 1.

b) (1 punto) Estudie la monotonía y la existencia de extremos de la función f .

c) (0.75 puntos) Determine la función f y represéntela grá camente.

EJERCICIO 4

Se considera la función f (x) =

x+1

x2 + a

si x < −2

si x ≥ −2

a) (1 punto) Calcule el valor de a para que f sea continua en todo su dominio. Para ese valor de a, ¾es derivable la función f ?

b) (0.5 puntos) Para a = −6, halle la ecuación de la recta tangente a la grá ca de f en el punto de abscisa x = 3.

c) (1 punto) Para a = −6, esboce la grá ca de f y calcule el área de la región limitada por la grá ca de la función f , el eje de abscisas y las rectas x = 3 y x = 5.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2019–2020

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

BLOQUE C

EJERCICIO 5

Se sabe que el 65 % de los estudiantes de bachillerato de Andalucía ha participado en programas Erasmus+ y que de ellos, el 80 % ha mejorado su cali cación en lengua extranjera. De los estudiantes que no han participado en programas Erasmus+, mejoran su cali cación en lengua extranjera el 30 %. Se elige al azar un estudiante de bachillerato de Andalucía.

a) (1.5 puntos) ¾Cuál es la probabilidad de que haya mejorado su cali cación en lengua extranjera?

b) (1 punto) Si se sabe que ha mejorado su cali cación en lengua extranjera, ¾cuál es la probabilidad de que haya participado en un programa Erasmus+?

EJERCICIO 6

El 47 % de los jóvenes andaluces tienen una vida sedentaria. De ellos, el 72 % presentan obesidad, mientras que solamente la presentan el 22 % de los jóvenes no sedentarios. Se elige al azar un joven andaluz.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que sea sedentario y no presente obesidad.

b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que presente obesidad.

c) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que sea sedentario, sabiendo que presenta obesidad.

BLOQUE D

EJERCICIO 7

Tomada al azar una muestra de 600 alumnos de una universidad española, se encontró que 2/3 de los mismos podían expresarse en inglés con uidez.

a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de con anza al 98 % para estimar la proporción de alumnos de esa universidad que pueden expresarse en inglés con uidez. ¾Se podría admitir a ese nivel de con anza que la proporción de alumnos de esa universidad que pueden expresarse en inglés con uidez es 13/20?

b) (0.25 puntos) Teniendo en cuenta el intervalo anterior, ¾qué error máximo se cometería en dicha estimación?

c) (0.75 puntos) Si se mantienen la misma proporción muestral y la misma con anza, ¾cuántos alumnos como mínimo habría de tener una muestra para que el error de estimación sea inferior al 2 %?

EJERCICIO 8

La cantidad de café por taza que suministra una máquina de café sigue una distribución Normal con media desconocida y desviación típica 0.8 cm3 . En una muestra de 45 tazas suministradas por esa máquina, se ha medido un total de 5 400 cm3 de café.

a) (0.5 puntos) Calcule el estimador puntual para la cantidad media de café por taza que suministra la máquina.

b) (1 punto) Calcule un intervalo de con anza al 97 % para estimar la cantidad media de café por taza que suministra la máquina.

c) (1 punto) Calcule, con el mismo nivel de con anza, el tamaño muestral mínimo que se ha de tomar para que, al estimar la cantidad media de café por taza, el error cometido sea inferior a 0.2 cm3 .