Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2020

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2019–2020

Instrucciones:

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Elija cuatro de los ocho ejercicios propuestos de al menos tres bloques distintos. Se corregirán los cuatro primeros ejercicios que aparezcan en el examen y que cumplan el requisito anterior.

c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima asignada.

d) Todos los resultados deben estar suficientemente justificados.

e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin el uso de la misma.

Este examen consta de 4 Bloques (A, B, C y D)

Deberá responder a cuatro ejercicios de entre los ocho propuestos con la condición de que pertenezcan al menos a 3 bloques distintos. En caso de responder a más ejercicios de los requeridos, serán tenidos en cuenta los respondidos en primer lugar.

BLOQUE A

EJERCICIO 1

Tres institutos piden presupuesto de alojamiento en Roma en dos agencias de viajes, que les dan el precio por noche según tipo de habitación: individual, doble y triple.

La primera agencia ofrece los siguientes precios: individual a 65 euros, doble a 85 euros y triple a 104 euros. La segunda agencia oferta la individual a 78 euros, la doble a 83 euros y la triple a 106 euros.

El primer instituto necesita tres habitaciones individuales, quince dobles y dos triples, el segundo dos individuales, doce dobles y cinco triples y el tercer instituto una individual, dieciséis dobles y siete triples.

a) (1 punto) Exprese, mediante una matriz A, los precios de las dos agencias según tipo de habitación y con otra matriz D la demanda de los tres institutos.

b) (1 punto) Mediante operaciones con las matrices anteriores, calcule el precio por noche que cada agencia facilita a los distintos institutos por el total de habitaciones solicitadas. ¾Qué agencia le interesaría a cada instituto?

c) (0.5 puntos) ¾Existe la inversa de la matriz D? ¾Y de la matriz A? Justi que las respuestas.

EJERCICIO 2

a) (1.75 puntos) Represente la región factible de nida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices:

x + 2y ≤ 13

x−y ≤4

x − 2y ≥ −7

x+y ≥5

b) (0.75 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo F (x, y) = x + y en la

región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan.

BLOQUE B

EJERCICIO 3

Se considera la función f (x) =

 2+

x−1

a + b ex

si x < 0 si x ≥ 0

a) (1.25 puntos) Calcule los valores a y b para que la función sea continua y derivable en su dominio.

b) (0.75 puntos) Para a = 2 y b = −2, estudie la monotonía de la función f y calcule sus extremos relativos.

c) (0.5 puntos) Para a = 2 y b = −2, determine las ecuaciones de las asíntotas de f , si existen.

EJERCICIO 4

−x + 2

Se considera la función f (x) = −x2 + 6x − 8

 x−3

si x ≤ 2 si 2 < x < 4

si x ≥ 4

a) (1.25 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de f en su dominio.

b) (0.75 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f .

c) (0.5 puntos) Calcule

f (x)dx.

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

BLOQUE C

EJERCICIO 5

Una urna contiene 6 bolas rojas y 4 azules. Se extrae una bola al azar y se reemplaza por seis bolas del otro color. A continuación, se vuelve a extraer una segunda bola de la urna.

a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja.

b) (1 punto) Si sabemos que la segunda bola extraída es azul, ¾cuál es la probabilidad de que también lo haya sido la primera?

EJERCICIO 6

Una empresa fabrica dos tipos de bombillas: una LED y otra halógena. Se sabe que un 5 % de las LED y un 2 % de las halógenas salen defectuosas. Se elige al azar una bombilla de una caja que contiene 40 bombillas LED y 10 halógenas.

a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida no sea defectuosa.

b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida sea LED, sabiendo que es defectuosa.

BLOQUE D

EJERCICIO 7

a) (1 punto) Una población de 25 000 personas se ha dividido en cuatro estratos con tamaños 15 000, 5 000, 3 000 y 2 000 personas respectivamente. En esa población se ha realizado un muestreo estrati cado con a jación proporcional, en el que se han elegido al azar 36 personas del tercer estrato.

Determine el tamaño de la muestra total obtenida con este muestreo y su composición.

b) (1.5 puntos) Dada la población P = {2, 4, 6}, construya todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y halle la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas esas muestras.

EJERCICIO 8

Se ha tomado una muestra de 16 pacientes tratados por un especialista y se ha observado que el tiempo de espera en su consulta, en minutos, ha sido de:

9.2

8.5

11.3

8.5

8.3

7.6

9.4

10.5

8.9

6.8

Supongamos que el tiempo de espera en esta consulta se distribuye según una ley Normal de varianza 4 y media desconocida.

a) (1.5 puntos) Halle un intervalo de con anza al 97.5 % para estimar el tiempo medio de espera de los pacientes tratados por este especialista.

b) (1 punto) ¾Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para asegurar, con un nivel de con anza del 90 %, que el error cometido sea, a lo sumo, de 0.3 minutos?

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN OBSERVACIÓN En las puntuaciones parciales que se indican a continuación, se entenderá que es la puntuación máxima que se puede obtener por cada apartado o por cada una de las cuestiones planteadas en el mismo, según corresponda, pudiendo ser divididas a su vez en otras puntuaciones menores si así lo permite la pregunta realizada.

BLOQUE A

EJERCICIO 1: 2.5 puntos

a) 0.5 puntos por cada matriz pedida.

b) 0.7 puntos por la matriz producto y 0.3 por la respuesta correcta a la pregunta.

c) 0.3 y 0.2 por cada pregunta, respectivamente.

EJERCICIO 2: 2.5 puntos

a) 0.75 puntos por la grá ca y región factible; 1 punto por los vértices.

b) 0.5 puntos por indicar que el mínimo son todos los puntos de un segmento; 0.25 por el máximo.

BLOQUE B

EJERCICIO 3: 2.5 puntos

a) 0.5 puntos por la continuidad; 0.5 por la derivabilidad; 0.25 por el cálculo de los parámetros.

b) 0.5 por la monotonía; 0.25 por el estudio de los extremos.

c) 0.5 puntos.

EJERCICIO 4: 2.5 puntos

a) 0.75 puntos por la continuidad; 0.5 puntos por la derivabilidad.

b) 0.75 puntos.

c) 0.5 puntos.

BLOQUE C

EJERCICIO 5: 2.5 puntos

a) 1.5 puntos.

b) 1 punto.

EJERCICIO 6: 2.5 puntos

a) 1.5 puntos.

b) 1 punto.

BLOQUE D

EJERCICIO 7: 2.5 puntos

a) 0.4 puntos por el cálculo del tamaño de la muestra; 0.2 puntos por el cálculo de la composición de cada uno de los otros tres estratos.

b) 0.5 puntos por las muestras; 0.3 por el cálculo de la media; 0.5 puntos por la varianza; 0.2 puntos por la desviación típica.

EJERCICIO 8: 2.5 puntos

a) 0.25 puntos por la media; 0.25 puntos por la desviación típica; 0.25 puntos por el percentil; 0.75 puntos por el intervalo.

b) 0.25 puntos por el percentil; 0.75 por el tamaño de la muestra.