Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2020

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2019–2020

Instrucciones:

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Elija cuatro de los ocho ejercicios propuestos de al menos tres bloques distintos. Se corregirán los cuatro primeros ejercicios que aparezcan en el examen y que cumplan el requisito anterior.

c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima asignada.

d) Todos los resultados deben estar suficientemente justificados.

e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin el uso de la misma.

Este examen consta de 4 Bloques (A, B, C y D)

Deberá responder a cuatro ejercicios de entre los ocho propuestos con la condición de que pertenezcan al menos a 3 bloques distintos. En caso de responder a más ejercicios de los requeridos, serán tenidos en cuenta los respondidos en primer lugar.

BLOQUE A

EJERCICIO 1 Sean A, B, X, Y a)

matrices invertibles que veri can A · X = B y

(1 punto) Compruebe que Y −1 = X .

b)

B · Y = A.

(1.5 puntos) Para A =

1 2 1 3

B=

0 −1

, halle X e

Y.

EJERCICIO 2 a)

(1 punto) Una fábrica de electrodomésticos dispone de dos cadenas de montaje. En una hora de trabajo, la cadena A produce 10 lavadoras y 5 frigorí cos, mientras que la cadena B produce 7 lavadoras y 6 frigorí cos. El coste de cada hora de trabajo en las cadenas A y B es de 1 200 y

1 500 euros, respectivamente. La cadena A puede funcionar, como máximo, el doble de horas que la cadena B. Si deben producir como mínimo 400 lavadoras y 280 frigorí cos, formule, sin resolver, el problema que permite obtener las horas de funcionamiento de las cadenas A y B para minimizar el coste de producción de esos electrodomésticos.

b)

(1.5 puntos) Represente el recinto de nido por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices:

x + 2y ≥ 7

4x − y ≥ 1

2x − y ≤ 4

3x + 2y ≤ 20

x≥0

y≥0

Obtenga el valor mínimo de la función F (x, y) = 2x + y en el recinto anterior, así como el punto en el que se alcanza.

BLOQUE B

EJERCICIO 3 3 + bx + 4, con a y b números reales.

Se considera la función f (x) = ax a)

(1 puntos) Determine los valores a y b para que f tenga un extremo relativo en el punto (2, 36).

b)

(0.75 puntos) Para a = 4 y b = −3, estudie la monotonía de f y determine sus extremos relativos.

c)

(0.75 puntos) Para a = 4 y b = −3, calcule la función F (x) que veri ca F 0 (x) = f (x) y F (2) = 10.

EJERCICIO 4 a)

(1.2 puntos) Calcule la derivada de las siguientes funciones:

f (x) = (−5 + x2 )2 · e3x b)

g(x) =

ln(x3 − 5x) 1 − x2

(1.3 puntos) Calcule el área del recinto acotado por la grá ca de h(x) = −x2 + 2x + 3 y el eje de abscisas.

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

BLOQUE C

EJERCICIO 5 A 120 estudiantes se les ha recomendado la lectura de dos libros. Se sabe que 46 de ellos han leído el primer libro recomendado, 34 el segundo y 16 estudiantes han leído ambos libros. Se elige un estudiante al azar.

a)

(0.6 puntos) Calcule la probabilidad de que haya leído alguno de los dos libros.

b)

(0.6 puntos) Calcule la probabilidad de que no haya leído ninguno de los dos libros.

c)

(0.6 puntos) Calcule la probabilidad de que solamente haya leído el primer libro.

d)

(0.7 puntos) Calcule la probabilidad de que haya leído el primer libro, si se sabe que no ha leído el segundo.

EJERCICIO 6 Las bicicletas de alquiler de una ciudad se clasi can por su calidad: buena, media y mala. El 30 % de dichas bicicletas son gestionadas por una empresa E1 y el resto por una empresa E2 . De las bicicletas de la empresa E1 , el 80 % son de buena calidad, el 5 % de calidad media y el resto de mala calidad. De las bicicletas de la empresa E2 se sabe que el 60 % son de buena calidad, pero se desconocen los porcentajes de bicicletas de calidad media y calidad mala. Se elige al azar una bicicleta de alquiler de esa ciudad.

a)

(1 punto) Calcule la probabilidad de que sea de buena calidad.

b)

(0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que sea de la empresa E1 y de mala calidad.

c)

(0.75 puntos) Si se sabe que el porcentaje de bicicletas de alquiler de calidad media en toda la ciudad es del 19 %, ¾cuál es la probabilidad de que sea de calidad media, sabiendo que la bicicleta elegida es de la empresa E2 ?

BLOQUE D

EJERCICIO 7 La vida útil, en años, de las lavadoras de un determinado modelo, se distribuye según una ley Normal de varianza 7.84. En una muestra de 12 lavadoras, la vida útil en años ha sido:

9.5 a)

10.2

8.6

11.4

10.8

12.6

11.8

14.5

10.4

9.8

(1.5 puntos) Con estos datos, determine un intervalo de con anza al 93.5 % para estimar la vida útil media de estas lavadoras.

b)

(1 punto) Calcule el error máximo que se puede cometer al estimar la vida útil media de este modelo de lavadoras, si se toma una muestra de 50 lavadoras y asumimos un nivel de con anza del 99 %.

EJERCICIO 8 La renta anual de los hogares andaluces, en miles de euros, se distribuye según una ley Normal con desviación típica 5 y media desconocida µ.

a)

(1 punto) Si se desea que en el 99 % de las posibles muestras del mismo tamaño, elegidas de entre los hogares andaluces, la media muestral no di era de la renta media anual poblacional de dichos hogares en más de una unidad, ¾cuál debe ser el tamaño mínimo de las muestras?

b)

(0.5 puntos) Si se consideran muestras de hogares andaluces de tamaño 100, ¾qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria Renta media anual muestral?

c)

(1 punto) Suponiendo que la renta media anual poblacional de los hogares andaluces es µ = 24, ¾cuál es la probabilidad de que en una muestra de tamaño 100 la renta media anual muestral sea superior a 25?