Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2019

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CURSO 2018–2019

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida.

c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde.

d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos.

e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin el uso de la misma. Justifique las respuestas.

OPCIÓN A

EJERCICIO 1

Se consideran las matrices

A=

1 0 −2 −1 1

B=

1 −3 −2

C=

7 −12 16 −1 7 12

a) (1 punto) Justi que cuáles de las siguientes a rmaciones son ciertas:

1) A · At es una matriz simétrica.

2) A · At + B posee inversa.

b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial B · X + A = C .

EJERCICIO 2

El coste de producción de un bien en una fábrica viene dado por C(x) = 2(2x − 1)2 + 1, con 0 ≤ x ≤ 2, donde x es la cantidad producida en millones de kilogramos.

a) (1 punto) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función C(x).

b) (0.75 puntos) Determine la cantidad a producir para que el coste de producción sea mínimo. ¾Cuál es dicho coste?

c) (0.75 puntos) Realice un esbozo de la grá ca de la función C(x).

EJERCICIO 3

Una marca de patinetes eléctricos fabrica tres modelos distintos A, B y C. El modelo A supone el 25 % de su producción, el B el 40 % y el resto de la producción corresponde al modelo C. Transcurridos tres meses desde su venta, se comprobó que el 15 % de patinetes del modelo A, el 10 % del B y el 12 % del C había presentado alguna avería. Se elige al azar un patinete de esta marca.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que dicho patinete haya presentado alguna avería.

b) (0.5 puntos) Si sabemos que el patinete elegido es del modelo A, ¾cuál es la probabilidad de que no haya presentado avería?

c) (1 punto) Calcule la probabilidad de que haya presentado avería o sea del modelo C.

EJERCICIO 4

Las puntuaciones obtenidas por los participantes en un concurso se distribuyen siguiendo una ley Normal de varianza 36 y media desconocida. Se toma una muestra aleatoria de 64 concursantes, cuya puntuación media es 35 puntos.

a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo, con un 92 % de con anza, para la puntuación media de los participantes en dicho concurso.

b) (1 punto) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar la puntuación media del total de concursantes, con un error inferior a 2 puntos y un nivel de con anza del 98 %.

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida.

c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde.

d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos.

e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin el uso de la misma. Justifique las respuestas.

OPCIÓN B

EJERCICIO 1

Una empresa comercializa dos tipos de concentrado de café, A y B, que se obtienen a partir de tres tipos de grano: de Colombia, de Etiopía y de Costa Rica. Para elaborar 1 kg de concentrado A se necesitan

4.5 kg de grano de Colombia y 3 kg de grano de Etiopía. Por otra parte, se requieren 7.5 kg de grano de Colombia y 1.5 kg de grano de Costa Rica para elaborar 1 kg de concentrado B. Actualmente la empresa dispone de un máximo de 67.5 kg de grano de Colombia, 30 kg de grano de Etiopía y 9 kg de grano de Costa Rica. Además, se exige que el número de kilogramos de concentrado A producidos debe ser mayor o igual que la mitad de los kilogramos de concentrado B.

a) (1.75 puntos) Represente la región factible que describe el problema anterior y determine sus vértices.

b) (0.25 puntos) Indique de manera razonada si con las condiciones dadas sería posible producir 7 kg del concentrado A y 5 kg del concentrado B.

c) (0.5 puntos) Sabiendo que el bene cio obtenido por la venta de cada kilogramo de concentrado del tipo A es 2 euros y de cada kilogramo del tipo B es 4 euros, ¾cuántos kilogramos del tipo A y cuántos del tipo B se habrán de producir para que el bene cio sea máximo? ¾Cuál es ese bene cio?

EJERCICIO 2

De una cierta función f , sabemos que su función derivada es f 0 (x) = 3x2 − 3.

a) (1 punto) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f , y calcule la abscisa de sus extremos relativos.

b) (0.75 puntos) Determine la curvatura de f y halle la abscisa de su punto de in exión.

c) (0.75 puntos) Calcule la función f , sabiendo que su grá ca pasa por el punto (−1, 3).

EJERCICIO 3

De dos sucesos A y B de un mismo espacio muestral se sabe que:

P (A ∩ B) = 0.2

P (A ∪ B) = 0.4

P (A/B) = 0.8

a) (1.2 puntos) Calcule P (B) y P (A).

b) (0.5 puntos) ¾Son los sucesos A y B independientes? Razone la respuesta.

c) (0.8 puntos) Calcule P (Ac ∪ B c ).

EJERCICIO 4

Se quiere estimar la proporción de enfermos hospitalizados por causas relacionadas con el consumo de tabaco. Para ello se escoge aleatoriamente una muestra de 50 expedientes sanitarios de enfermos hospitalizados, resultando que el 22 % de ellos revelan que la enfermedad fue causada por el tabaco.

a) (1.5 puntos) Para un nivel de con anza del 92 %, calcule un intervalo de con anza para la proporción de enfermos hospitalizados por causas relacionadas con el consumo de tabaco.

b) (1 punto) Determine cuántos expedientes hay que elegir como mínimo para que, con el mismo nivel de con anza y la misma proporción muestral anteriores, el error que se cometa al estimar la proporción de los enfermos hospitalizados por causas debidas al tabaco sea inferior al 3 %.

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN

OPCIÓN A

EJERCICIO 1: 2.5 puntos

a) 0.5 puntos por cada apartado.

b) Hasta 1.5 puntos.

EJERCICIO 2: 2.5 puntos

a) Hasta 1 punto.

b) Hasta 0.75 puntos.

c) Hasta 0.75 puntos.

EJERCICIO 3: 2.5 puntos

a) Hasta 1 punto.

b) Hasta 0.5 puntos.

c) Hasta 1 punto.

EJERCICIO 4: 2.5 puntos

a) 0.25 puntos por la desviación típica ; 0.25 por el percentil; 1 punto por el intervalo.

b) Hasta 1 punto.

OPCIÓN B

EJERCICIO 1: 2.5 puntos

a) Hasta 0.75 por el planteamiento; hasta 0.5 por el recinto; hasta 0.5 puntos por los vértices;

b) Hasta 0.25 puntos.

c) Hasta 0.5 puntos.

EJERCICIO 2: 2.5 puntos

a) 0.5 puntos por los intervalos de crecimiento y decrecimiento; 0.5 puntos por las abscisas de los extremos relativos.

b) 0.5 puntos por la curvatura; 0.25 puntos por la abscisa del punto de in exión.

c) 0.25 puntos por plantear la integral; 0.25 por el cálculo; 0.25 puntos por el cálculo de f .

EJERCICIO 3: 2.5 puntos

a) 0.6 puntos por cada probabilidad pedida.

b) Hasta 0.5 puntos.

c) Hasta 0.8 puntos.

EJERCICIO 4: 2.5 puntos

a) 0.25 puntos por la proporción; 0.25 puntos por el percentil; 1 punto por el intervalo.

b) Hasta 1 punto.