Física PAU 2025

Enunciado del examen en texto

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UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso 2024-2025 MATERIA: FÍSICA INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓN Después de leer atentamente todas las preguntas, responda a cuatro preguntas siguiendo las indicaciones dadas al inicio de cada bloque.

CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2,5 puntos y cada apartado se calificará según la puntuación indicada en el mismo.

TIEMPO: 90 minutos.

Bloque Campo gravitatorio (En esta pregunta no hay opcionalidad.)

Pregunta 1.- Eris es un planeta enano del sistema solar descubierto en enero de 2005 por un equipo del observatorio del Monte Palomar dirigido por Michael E. Brown. Es el objeto transneptuniano más masivo, el segundo más grande después de Plutón, y el cuerpo más grande del sistema solar que no ha sido visitado por una sonda espacial. Tiene un diámetro de 2330 km, ligeramente inferior al de Plutón, y su densidad es de 2,5 g cm−3 . La órbita de Eris es muy excéntrica; actualmente el planeta se encuentra a su máxima distancia del Sol (afelio), a 1,45 · 1013 m, llegando a situarse a 5,24 · 1012 m del Sol durante su perihelio.

a) (1 punto) Calcule la masa del planeta y el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.

b) (1,5 puntos) Sabiendo que la energía mecánica de un objeto de masa m1 que orbita alrededor de un objeto de masa m2 con una órbita elíptica de semieje mayor a es Emec = −

Gm1 m2

2a

donde G es la constante de la gravitación universal, halle la energía mecánica de Eris y calcule la velocidad orbital que tendrá en el perihelio.

Datos: Constante de gravitación universal, G = 6,67 · 10−11 N m2 kg−2 ; Masa del Sol, MSol = 1,99 · 1030 kg.

Bloque Campo electromagnético (Elija una entre las preguntas 2.A. y 2.B.)

Pregunta 2.A.- Un electrón de carga −e y un positrón de carga +e se encuentran inicialmente fijos en el plano xy en las posiciones (0, 6) nm y (0, -6) nm, respectivamente.

a) (1,25 puntos) Obtenga el campo eléctrico en el punto (8, 0) nm debido a ambas partículas.

b) (1,25 puntos) Si al positrón se le imprime una velocidad de −1,5 · 105 m s−1 ⃗j, permaneciendo fijo el electrón, determine la máxima distancia de alejamiento entre ambas partículas.

Datos: Constante de la ley de Coulomb, K = 9 · 109 N m2 C−2 ; Valor absoluto de la carga del electrón y del positrón, e = 1,6 · 10−19 C; Masa del electrón y del positrón, me = 9,1 · 10−31 kg.

Pregunta 2.B.- Una espira conductora circular de radio 20 cm se encuentra en el seno de un campo magnético homogéneo perpendicular al plano de la espira (ver figura). Si la espira tiene una resistencia de 40 Ω, calcule la máxima intensidad de corriente que circulará por la espira en los siguientes casos:

⊗

a) (1,25 puntos) El módulo del campo magnético es constante de ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ valor B = 150 mT, y la espira gira en torno a uno de sus diáme⊗

tros con una velocidad angular de 50 rad s−1 .

b) (1,25 puntos) La espira se encuentra fija, y el módulo del campo magnético varía con el tiempo conforme a B = B0 sen(ωt), con B0 = 200 mT y ω = 75 rad s−1 .

Bloque Vibraciones y Ondas (Elija una entre las preguntas 3.A. y 3.B.)

Pregunta 3.A.- Una ballena sumergida en el mar a una cierta profundidad emite un potente sonido grave de 60 Hz y 25 m de longitud de onda. Un barco A, situado sobre su vertical, detecta dicho sonido con su sónar 80 ms después de ser emitido, y poco tiempo después es detectado por otro barco B situado a 300 m del barco A.

a) (1 punto) Halle la profundidad a la que se encuentra la ballena.

b) (1,5 puntos) Si el barco A recibe el sonido con una intensidad de 3 µW m−2 , calcule la potencia del sonido emitido por la ballena y el nivel de intensidad sonora que detectará el barco B.

Dato: Intensidad umbral, I0 = 1 · 10−12 W m−2 .

Pregunta 3.B.- Considere la imagen formada por una lente delgada de distancia focal f ′ de un objeto situado a una distancia s a la izquierda de la lente.

a) (1 punto) Demuestre que el aumento lateral M tiene la siguiente expresión en función de la distancia focal f ′ y la posición del objeto s:

M=

f′ f′ + s

b) (0,5 puntos) Considerando la expresión obtenida en el apartado anterior, razone si una lente divergente puede formar una imagen invertida.

c) (1 punto) Dibuje el trazado de rayos a través del sistema óptico de la imagen formada por una lente divergente si el objeto se sitúa a una distancia dos veces su distancia focal.

Bloque Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas (Elija una entre las preguntas 4.A. y

4.B.)

Pregunta 4.A.- Las moléculas de ozono absorben luz ultravioleta (UV) de alta energía, lo que evita que llegue a la superficie de la Tierra demasiada radiación dañina para los seres vivos.

a) (1 punto) Halle la diferencia de energía, expresada en electrón-voltios, entre los niveles electrónicos de la molécula de ozono que inducen la absorción de radiación de 260 nm.

b) (1,5 puntos) Si el flujo de fotones de 260 nm que le llega a una persona con su cuerpo expuesto al sol es de 2,6 · 1014 fotones s−1 , calcule la potencia que le incide debida a esos fotones UV y la energía recibida en 30 minutos.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6 · 10−19 C; Constante de Planck, h = 6,63 · 10−34 J s; Velocidad de la luz en el vacío, c = 3 · 108 m s−1 .

Pregunta 4.B.- El mineral de cuarzo (SiO2 ) sobre la superficie de la Tierra contiene impurezas de aluminio, con una cantidad de 0,1 % de átomos de 26 Al en relación a los átomos de silicio. Cuando el mineral se entierra debido a diversos procesos geológicos (sedimentación, glaciares, etc.) los átomos de 26 Al se desintegran con un tiempo de semidesintegración de 0,72 millones de años.

a) (1,25 puntos) Calcule la actividad de una muestra de mineral de cuarzo, debida a la presencia de isótopos de 26 Al, situada en superficie si contiene 8,3 · 1022 átomos de silicio.

b) (1,25 puntos) Se recoge una muestra de cuarzo de unos sedimentos, obteniéndose una relación de 0,08 % de átomos de 26 Al respecto a los átomos de silicio. Obtenga la edad correspondiente a la formación de dichos sedimentos.

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN FÍSICA ⋆ Las preguntas deben contestarse razonadamente, valorando en su resolución una adecuada estructuración y el rigor en su desarrollo.

⋆ Se valorará positivamente la inclusión de pasos detallados, así como la realización de diagramas, dibujos y esquemas.

⋆ En la corrección de las preguntas se tendrá en cuenta el proceso seguido en la resolución de las mismas, valorándose positivamente la identificación de los principios y leyes físicas involucradas.

⋆ Se valorará la destreza en la obtención de resultados numéricos y el uso correcto de las unidades en el Sistema Internacional.

⋆ Se evaluará la coherencia, la cohesión, la corrección gramatical, léxica y ortográfica de los textos producidos, así como su presentación.

⋆ Cada pregunta, debidamente justificada y razonada con la solución correcta, se calificará con un máximo de 2,5 puntos.

⋆ En las preguntas que consten de varios apartados, la calificación máxima será la misma para cada uno de ellos (desglosada en múltiplos de 0,25 puntos).

SOLUCIONES -FÍSICA (Documento de trabajo orientativo)

Pregunta 1.- Eris es un planeta enano del sistema solar descubierto en enero de 2005 por un equipo del observatorio del Monte Palomar dirigido por Michael E. Brown. Es el objeto transneptuniano más masivo, el segundo más grande después de Plutón, y el cuerpo más grande del sistema solar que no ha sido visitado por una sonda espacial. Tiene un diámetro de 2330 km, ligeramente inferior al de Plutón, y su densidad es de 2,5 g cm−3 . La órbita de Eris es muy excéntrica; actualmente el planeta se encuentra a su máxima distancia del Sol (afelio), a 1,45 · 1013 m, llegando a situarse a 5,24 · 1012 m del Sol durante su perihelio.

a) (1 punto) Calcule la masa del planeta y el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.

b) (1,5 puntos) Sabiendo que la energía mecánica de un objeto de masa m1 que orbita alrededor de un objeto de masa m2 con una órbita elíptica de semieje mayor a es Emec = −

Gm1 m2

2a

donde G es la constante de la gravitación universal, halle la energía mecánica de Eris y calcule la velocidad orbital que tendrá en el perihelio.

Datos: Constante de gravitación universal, G = 6,67 · 10−11 N m2 kg−2 ; Masa del Sol, MSol = 1,99 · 1030 kg.

Solución:

a) Para calcular la masa del planeta, primero debemos obtener su volumen:

R=

= 1165 km

V = πR3 = 6,62 · 1018 m3

Con ello calculamos la masa de Eris:

Meris = ρV = 1,66 · 1022 kg Ahora, conociendo la masa y radio de un cuerpo esférico, el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie es:

GMEris g= = 0,82 m s−2 R2

b) El semieje mayor de la órbita elíptica puede obtenerse a través de su afelio y perihelio:

a=

ra + rp = 9,87 · 1012 m

Ahora, la energía mecánica de un objeto alrededor del Sol depende de la masa de este y del planeta, y del semieje mayor de su órbita:

Em = −

GMSol MEris = −1,11 · 1029 J 2a

La velocidad orbital de Eris en el perihelio puede obtenerse a partir de la conservación de la energía mecánica:

GM

Eris Sol

Em = MEris vp − ⇒ vp = 2GMSol

= 6,1 · 103 m s−1

rp rp 2a

Pregunta 2.A.- Un electrón de carga −e y un positrón de carga +e se encuentran inicialmente fijos en el plano xy en las posiciones (0, 6) nm y (0, -6) nm, respectivamente.

a) (1,25 puntos) Obtenga el campo eléctrico en el punto (8, 0) nm debido a ambas partículas.

b) (1,25 puntos) Si al positrón se le imprime una velocidad de −1,5 · 105 m s−1 ⃗j, permaneciendo fijo el electrón, determine la máxima distancia de alejamiento entre ambas partículas.

Datos: Constante de la ley de Coulomb, K = 9 · 109 N m2 C−2 ; Valor absoluto de la carga del electrón y del positrón, e = 1,6 · 10−19 C; Masa del electrón y del positrón, me = 9,1 · 10−31 kg.

Solución:

a) Para obtener el campo eléctrico en (8, 0), primero calculamos la distancia d y el ángulo θ según el dibujo adjunto:

 

d = 6 + 8 = 10 nm, θ = arctan = 53, 13◦

(0,6) −

ETotal

−e

θ E −e

E+ e

(8,0) (0,-6) +

+e

Al ser la distancia d a ambas cargas iguales, así como el valor absoluto de sus cargas, el módulo del campo eléctrico que producen en el punto (8, 0) será igual, y de valor:

|E−e | = |E+e | = K 2 = 1,44 · 107 N C−1

Teniendo en cuenta la geometría de la figura, la componente x del campo eléctrico total será cero, y el campo producido por ambas cargas queda como:

⃗ T otal = 2K q cos θ⃗j = 1, 73 · 107 N C−1 ⃗j

d2

b) Al ser el campo eléctrico conservativo, se puede aplicar la conservación de la energía entre el punto inicial A y el punto de máximo alejamiento B en el que la velocidad será nula.

La energía cinética en A es:

Ecin,A = mvA = 1, 02 · 10−20 J

La energía potencial eléctrica en A, siendo 2y0 = 12 nm la distancia inicial entre ambas cargas, será:

q2 Epot,A = −K = −1, 92 · 10−20 J 2y0 La energía cinética en B será cero. Llamando d′ la distancia de máximo alejamiento entre cargas, la energía potencial eléctrica en B será:

Epot,B = −K

q2 d′

La conservación de la energía mecánica establece:

Ecin,A + Epot,A = Ecin,B + Epot,B De aquí puede obtenerse directamente d′ :

d′ = −K

q2 = 2, 57 · 10−8 m (Ecin,A + Epot,A )

Pregunta 2.B.- Una espira conductora circular de radio 20 cm se encuentra en el seno de un campo magnético homogéneo perpendicular al plano de la espira (ver figura). Si la espira tiene una resistencia de 40 Ω, calcule la máxima intensidad de corriente que circulará por la espira en los siguientes casos:

⊗

a) (1,25 puntos) El módulo del campo magnético es constante de valor B = 150 mT, y la espira gira en torno a uno de sus diáme- ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ tros con una velocidad angular de 50 rad s−1 .

b) (1,25 puntos) La espira se encuentra fija, y el módulo del campo magnético varía con el tiempo conforme a B = B0 sen(ωt), con B0 = 200 mT y ω = 75 rad s−1 .

Solución:

a) Para calcular la intensidad de corriente, es preciso obtener la f em inducida a través de la variación temporal del flujo del campo magnético a través de ella.

El flujo viene dado en este caso como:

⃗ ·S ⃗ = Bπr2 cos(ωt + φ) Φ=B donde r es el radio de la espira, ω su velocidad angular, y φ el ángulo inicial entre el vector ⃗ de la espira y el campo magnético B.

superficie S La f em inducida será la derivada temporal de ese flujo:

dΦ = Bπr2 ω sen(ωt + φ) ⇒ f emmáx = Bπr2 ω = 0,942 V dt Si la resistencia eléctrica de la espira es R, la corriente máxima que circulará por ella, aplicando la ley de Ohm, es:

f em = −

f emmáx = 0,0236 A = 23,6 mA

b) Procediendo de forma análoga al apartado anterior, el flujo es en este caso:

Imáx =

⃗ ·S ⃗ = B0 sen(ωt)πr2 Φ=B Y la f em inducida será:

dΦ = −B0 ω cos(ωt)πr2 ⇒ dt Aplicando la ley de Ohm obtenemos finalmente:

f em = −

Imáx =

f emmáx = B0 ωπr2 = 1,88 V

f emmáx = 0,0471 A = 47,1 mA

Pregunta 3.A.- Una ballena sumergida en el mar a una cierta profundidad emite un potente sonido grave de 60 Hz y 25 m de longitud de onda. Un barco A, situado sobre su vertical, detecta dicho sonido con su sónar 80 ms después de ser emitido, y poco tiempo después es detectado por otro barco B situado a 300 m del barco A.

a) (1 punto) Halle la profundidad a la que se encuentra la ballena.

b) (1,5 puntos) Si el barco A recibe el sonido con una intensidad de 3 µW m−2 , calcule la potencia del sonido emitido por la ballena y el nivel de intensidad sonora que detectará el barco B.

Dato: Intensidad umbral, I0 = 1 · 10−12 W m−2 .

Solución:

a) En primer lugar obtenemos la velocidad con la que se propaga el sonido en el agua mediante la relación entre la frecuencia f , longitud de onda λ y la velocidad de propagación v de una onda:

v = λf = 1500 m s−1 Ahora, la distancia entre la ballena y el barco A será la profundidad h a la que se encuentra la ballena:

h = vt = 120 m con v = 1500 m s−1 y t = 0,08 s.

b) Para calcular la potencia P del sonido de la ballena utilizamos la relación entre la intensidad percibida I y la distancia r entre la fuente y el punto de detección:

I=

⇒ P = 4πIA h2 = 0, 543 W

4πr2

Si D es la distancia entre barcos, la distancia entre la ballena y el barco B será:

d = D2 + h2 = 323 m y la intensidad detectada por el barco B es:

IB = = IA 4πd2

 2

= 0, 414 µW m−2

El nivel de intensidad sonora será finalmente:

β = 10 log10

IB = 56, 17 dB I0

Pregunta 3.B.- Considere la imagen formada por una lente delgada de distancia focal f ′ de un objeto situado a una distancia s a la izquierda de la lente.

a) (1 punto) Demuestre que el aumento lateral M tiene la siguiente expresión en función de la distancia focal f ′ y la posición del objeto s:

M=

f′ f′ + s

b) (0,5 puntos) Considerando la expresión obtenida en el apartado anterior, razone si una lente divergente puede formar una imagen invertida.

c) (1 punto) Dibuje el trazado de rayos a través del sistema óptico de la imagen formada por una lente divergente si el objeto se sitúa a una distancia dos veces su distancia focal.

Solución:

a) Partimos de la ley gaussiana de las lentes delgadas:

− = ′ …