Física PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso 2024-2025 MATERIA: FÍSICA INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓN Después de leer atentamente todas las preguntas, responda a 4 preguntas siguiendo las indicaciones dadas al inicio de cada bloque.

CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2,5 puntos y cada apartado se calificará según la puntuación indicada en el mismo.

TIEMPO: 90 minutos.

Bloque Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas (En esta pregunta no hay opcionalidad.)

Pregunta 1.- En Lund, Suecia, se está construyendo la futura Fuente Europea de Neutrones por Espalación. Los neutrones, por las características de la interacción neutrón-materia, son una herramienta muy eficiente para estudiar, analizar y comprender la estructura y propiedades de la materia. Las instalaciones de la Fuente Europea de Neutrones constan de un acelerador lineal en el que se aceleran protones, H+ , hasta alcanzar, al final del acelerador, una energía cinética de 2 GeV. Posteriormente, se hace impactar el haz de protones sobre un blanco, consistente en un bloque giratorio de tungsteno mantenido a baja temperatura. Como consecuencia del choque el blanco emite neutrones. A los neutrones se les hace pasar por diferentes moderadores, áreas a una determinada temperatura, para modificar su energía cinética.

a) (1,5 puntos) Determine la masa relativista de los protones al final del acelerador lineal, cuando su energía cinética es de 2 GeV.

b) (1 punto) Si se obtienen neutrones con una energía cinética de 25 meV (no relativista), ¿cuál es el valor de su velocidad y de la longitud de onda de de Broglie?

Datos: Velocidad de la luz en el vacío, c = 3,0 · 108 m s−1 ; Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6 · 10−19 C; Masa del protón en reposo, mp0 = 1,67 · 10−27 kg; Masa del neutrón, mn = 1,67 · 10−27 kg; Constante de Planck, h = 6,63 · 10−34 J s.

Bloque Campo gravitatorio (Elija una entre las preguntas 2.A. y 2.B.)

Pregunta 2.A.- Una nave alienígena se sitúa en una órbita circular de radio r en torno a la Tierra.

Los tripulantes de la nave observan que tardan 1,59 horas en dar una vuelta completa y saben que la velocidad de escape desde la órbita es 10,7 km s−1 .

a) (1 punto) Deduzca las expresiones del periodo de la órbita de la nave y de la velocidad de escape desde la órbita en función de G, de la masa de la tierra MT , y del radio de la órbita r.

b) (1, 5 puntos) Calcule el radio de la órbita de la nave y la masa de la Tierra.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67 · 10−11 N m2 kg−2 .

Pregunta 2.B.- Sean dos partículas idénticas de masas m1 = m2 = 3 kg, situadas en los puntos P1 (0, 0) m y P2 (6, 0) m del plano xy.

a) (1,5 puntos) Halle el campo gravitatorio creado por ambas partículas en el punto (3, 3) m.

b) (1 punto) Calcule el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para llevar una partícula de masa m = 1 kg desde el punto (3, 3) m al punto (0, 3) m.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67 · 10−11 N m2 kg−2 .

Bloque Vibraciones y Ondas (Elija una entre las preguntas 3.A. y 3.B.)

Pregunta 3.A.- Un muelle de constante elástica k tiene uno de sus extremos unido a una pared y el otro unido a un bloque de masa m. El bloque se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento.

Si el bloque se separa una distancia de 5 cm con respecto a la posición de equilibrio y se suelta, se observa que su energía cinética al pasar por el punto de equilibrio es 0,02 J.

a) (1 punto) Determine la constante elástica del muelle, k.

b) (1,5 puntos) Si la masa del bloque es m = 4 kg, calcule el periodo de las oscilaciones y el módulo de la velocidad del bloque cuando el desplazamiento con respecto al punto de equilibrio sea x = 2 cm.

Pregunta 3.B.- Se sitúa a la izquierda de una lente convergente un objeto de 4 cm de altura, formándose una imagen real de tamaño 2 cm. La distancia entre la posición del objeto y la posición de la imagen es de 45 cm.

a) (1,5 puntos) Determine la posición del objeto, de la imagen y la distancia focal de la lente.

b) (1 punto) Halle la posición en la que hay que colocar el objeto para que el tamaño de la imagen real que se forme sea de 4 cm. Realice en este caso el correspondiente diagrama de rayos.

Bloque Campo electromagnético (Elija una entre las preguntas 4.A. y 4.B.)

Pregunta 4.A.- Un espectrómetro de masas consta de un selector de velocidades (figura (a)) y de un detector de iones (figura(b)).

+ + + + + + + + +

2r

Ca2+

x x x x x x x x x x x x x x x x

(b)

Ca2+

- - - - - - - - x x x x x x x x

(a)

B1

Detector

a) (1 punto) En el selector de velocidades, figura (a), hay un campo eléctrico y un campo magnético mutuamente perpendiculares para que solo los iones que tengan una cierta velocidad y viajen en línea recta lleguen al detector. Si el campo magnético es ⃗ 1 = 1, 0⃗j mT y se han inyectado iones Ca2+ ,¿cuál es el valor

⃗ para que únicamente los iones con una del campo eléctrico E velocidad ⃗v = 2, 4 · 105 ⃗i m s−1 lleguen al detector?

b) (1,5 puntos) A la salida del selector de velocidades, los iones pe⃗ 2 = 1, 5⃗j T que netran en una región con un campo magnético B les hace describir una trayectoria circular, tal y como se indica en la figura (b). ¿Cuál es el radio de la trayectoria?

Selector de velocidades

B2

Datos: Número de Avogadro, NA = 6,02 · 1023 mol−1 ; Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6 · 10−19 C; Masa atómica del ion Ca2+ , 40 u.

Pregunta 4.B.- Un hilo rectilíneo infinito paralelo al eje z pasa por el punto (0, 6, 0) cm y transporta una corriente I = 5 A en el sentido positivo del eje z.

a) (1,25 puntos) Calcule el campo magnético creado por el hilo en el punto (4, 2, 0) cm .

b) (1,25 puntos) Determine la intensidad de corriente que debe transportar un segundo hilo rectilíneo infinito que se sitúe paralelo al eje z y que pase por el punto (6, 0, 0) cm para que el campo magnético total en el punto (4, 2, 0) cm sea cero.

Dato: Permeabilidad magnética del vacío, µ0 = 4π · 10−7 T m A−1 .

enunciado 4b EM2_sol.tex (a)

y (cm) (0,6,0)

I= 5 A

(4,2,0) (6,0,0) x (cm)

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN FÍSICA ⋆ Las preguntas deben contestarse razonadamente, valorando en su resolución una adecuada estructuración y el rigor en su desarrollo.

⋆ Se valorará positivamente la inclusión de pasos detallados, así como la realización de diagramas, dibujos y esquemas.

⋆ En la corrección de las preguntas se tendrá en cuenta el proceso seguido en la resolución de las mismas, valorándose positivamente la identificación de los principios y leyes físicas involucradas.

⋆ Se valorará la destreza en la obtención de resultados numéricos y el uso correcto de las unidades en el Sistema Internacional.

⋆ Se evaluará la coherencia, la cohesión, la corrección gramatical, léxica y ortográfica de los textos producidos, así como su presentación.

⋆ Cada pregunta, debidamente justificada y razonada con la solución correcta, se calificará con un máximo de 2,5 puntos.

⋆ En las preguntas que consten de varios apartados, la calificación máxima será la misma para cada uno de ellos (desglosada en múltiplos de 0,25 puntos).

SOLUCIONES- FÍSICA (Documento de trabajo orientativo)

Pregunta 1.- En Lund, Suecia, se está construyendo la futura Fuente Europea de Neutrones por Espalación. Los neutrones, por las características de la interacción neutrón-materia, son una herramienta muy eficiente para estudiar, analizar y comprender la estructura y propiedades de la materia. Las instalaciones de la Fuente Europea de Neutrones constan de un acelerador lineal en el que se aceleran protones, H+ , hasta alcanzar, al final del acelerador, una energía cinética de 2 GeV. Posteriormente, se hace impactar el haz de protones sobre un blanco, consistente en un bloque giratorio de tungsteno mantenido a baja temperatura. Como consecuencia del choque el blanco emite neutrones. A los neutrones se les hace pasar por diferentes moderadores, áreas a una determinada temperatura, para modificar su energía cinética.

a) (1,5 puntos) Determine la masa relativista de los protones al final del acelerador lineal, cuando su energía cinética es de 2 GeV.

b) (1 punto) Si se obtienen neutrones con una energía cinética de 25 meV (no relativista), ¿cuál es el valor de su velocidad y de la longitud de onda de de Broglie?

Datos: Velocidad de la luz en el vacío, c = 3,0 · 108 m s−1 ; Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6 · 10−19 C; Masa del protón en reposo, mp0 = 1,67 · 10−27 kg; Masa del neutrón, mn = 1,67 · 10−27 kg; Constante de Planck, h = 6,63 · 10−34 J s.

Solución:

a) Determinamos la masa relativista de los protones al final del acelerador lineal, cuando su energía cinética es de 2 GeV. Para una partícula relativista se cumple:

E = mp c2 = mp0 c2 + Ec ⇒ mp = mp0 +

Ec c2

Si tenemos en cuenta que:

mp0 = 1,67 · 10−27 kg Ec = 2 GeV = 2 · 109 · 1, 6 · 10−19 = 3,2 · 10−10 J Se obtiene:

mp = 1, 67 · 10−27 +

3, 2 · 10−10 = 5,23 · 10−27 kg (3 · 108 )2

Por tanto:

mp = 5,23 · 10−27 kg

b) Calculamos la velocidad y la longitud de de Broglie para neutrones con una energía cinética de 25 meV. Como se trata de una partícula no relativista:

2Ec

Ec = mv ⇒ v =

Sustituyendo cada parámetro por su valor:

2 · 25 · 10−3 · 1, 6 · 10−19 v= = 2,19 · 103 m s−1 1, 67 · 10−27 Por tanto:

v = 2,19 · 103 m s−1 Determinamos la longitud de onda de de Broglie. La expresión de la longitud de onda λ es:

λ=

6, 63 · 10−34

= 1,81 · 10−10 m

mv 1, 67 · 10−27 · 2, 19 · 103

Por tanto:

λ = 1,81 · 10−10 m

Pregunta 2.A.- Una nave alienígena se sitúa en una órbita circular de radio r en torno a la Tierra.

Los tripulantes de la nave observan que tardan 1,59 horas en dar una vuelta completa y saben que la velocidad de escape desde la órbita es 10,7 km s−1 .

a) (1 punto) Deduzca las expresiones del periodo de la órbita de la nave y de la velocidad de escape desde la órbita en función de G, de la masa de la tierra MT , y del radio de la órbita r.

b) (1, 5 puntos) Calcule el radio de la órbita de la nave y la masa de la Tierra.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67 · 10−11 N m2 kg−2 .

Solución:

a) Deducimos el periodo de la órbita de la nave y la velocidad de escape desde la órbita. Relacionamos el periodo con la velocidad y el radio:

2πr 2πr ⇒ T =

La velocidad de la nave puede obtenerse si se tiene en cuenta que para una órbita circular:

v=

F = man = m

v2 GmMT

r2 2πr T =r

GMT

v2 =

GMT

4π 2 r3 GMT

La expresión de la velocidad de escape puede obtenerse si tenemos en cuenta que en la órbita de radio r:

GmMT

E = EP + EC = − + mv 2

La velocidad de escape es aquella para la que la energía total es cero. Así que tenemos:

GmMT 2GMT

mv = ⇒ vesc =

Por tanto:

4π 2 r3 GMT

2GMT vesc =

T =

b) Determinamos el radio de la trayectoria y la masa de la Tierra. Los datos que tenemos son, la velocidad de escape y el periodo de la órbita. Si tenemos en cuenta que:

vesc

2GMT

GMT v2 = esc

y:

T2 =

4π 2 r3 GMT

T2 =

4π 2 r2 8π 2 r2 = 2 GMT vesc

Por tanto:

v2 T 2 r2 = esc 2 8π

r=

2 T2 vesc vesc T = √

8π 2 2π

Sustituyendo:

r=

10, 7 · 103 · 1, 59 · 3600

= 6,89 · 106 m 2 2π

Por tanto:

r = 6,89 · 106 m

Por otro lado, la masa de la Tierra puede calcularse si tenemos en cuenta que:

GMT v2 = esc

MT =

2 r vesc 2G

Luego sustituyendo:

MT =

(10, 7 · 103 )2 · 6893 · 103 = 5,92 · 1024 kg 2 · 6, 67 · 10−11

Por tanto:

MT = 5,92 · 1024 kg

Pregunta 2.B.- Sean dos partículas idénticas de masas m1 = m2 = 3 kg, situadas en los puntos P1 (0, 0) m y P2 (6, 0) m del plano xy.

a) (1,5 puntos) Halle el campo gravitatorio creado por ambas partículas en el punto (3, 3) m.

b) (1 punto) Calcule el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para llevar una partícula de masa m = 1 kg desde el punto (3, 3) m al punto (0, 3) m.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67 · 10−11 N m2 kg−2 .

Solución:

a) Determinamos el campo gravitatorio creado por ambas masas en el punto P (3, 3) m; por el principio de superposición:

 

Gm1 Gm1 Gm2 Gm2

⃗g = g⃗1 (3, 3) + g⃗2 (3, 3) = − 2 cos θi − 2 sen θj + cos θi − 2 sen θj r1 r1 r22 r2 Según la figura, ambos ángulos son el mismo. Se cumple que:

r1 = r2 = 32 + 32 = 3 2 ⇒ r12 = r22 = 18 m2 Además:

Solucion Grav2_sol.tex cos θ 2B = sen θ = √ (a)=

3 2

(3,3) m

g1

m1

g2

m2

(6,0) m

(0,0) m

Por otro lado, ambas masas son iguales, por tanto se cumple que únicamente la componente en la dirección y es diferente de cero. Por tanto:

Enunciado 4 A (EM1_enun.tex) R3_figura_4A_enun.pdf 2Gm 2 · 6, 67 · 10−11

· 3 2⃗ 1 sen θ ⃗ ⃗g (3, 3) = − j=− j = −1, 57 · 10−11⃗j N kg−1

r1 Por tanto:

⃗g = −1, 57 · 10−11⃗j N kg−1

b) Calculamos el trabajo que es necesario para llevar una partícula puntual de 1 kg desde el punto (3, 3) m al punto (0, 3) m. Sean A el punto (3, 3) m y B el punto (0, 3) m. Entonces, WAB = −△EP = −EP (B) + EP (A) Se cumple:

EP (A) = −

Gm1 m Gm2 m

r1A r2A

EP (B) = −

Gm1 m Gm2 m Gm1 m(r1B + r2B )

=− r1B r2B r1B r2B

A (3,3) m

B (0,3) m r1B

r1A

r2B

r2A m2

m1 (0,0) m

Por otro lado se cumple que:

(6,0) m

r1A = r2A = 3 2 m r1B = 3 m

r2B = 32 + 62 = 45 m

Por tanto:

2Gm1 m 2 · 6, 67 · 10−11 · 3 · 1

=− = −9,43 · 10−11 J r1A 3 2

−11 6, 67 · 10

· 3 · 1 · (3 + 45)

EP (B) = − = −9,65 · 10−11 J 3 45

EP (A) = −

Luego:

WAB = 9, 65 · 10−11 − 9, 43 · 10−11 = 2,20 · 10−12 J Por tanto:

WAB = 2,20 · 10−12 J

Pregunta 3.A.- Un muelle de constante elástica k tiene uno de sus extremos unido a una pared y el otro unido a un bloque de masa m. El bloque se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento.

Si el bloque se separa una distancia de 5 cm con respecto a la posición de equilibrio y se suelta, se observa que su energía cinética al pasar por el punto de equilibrio es 0,02 J.

a) (1 punto) Determine la constante elástica del muelle, k.

b) (1,5 puntos) Si la masa del bloque es m = 4 kg, calcule el periodo de las oscilaciones y el módulo de la velocidad del bloque cuando el desplazamiento con respecto al punto de equilibrio sea x = 2 cm.

Solución:

a) En un muelle las fuerzas son conservativas, por tanto la energía mecánica total se conserva.

Inicialmente, en la posición 1, al soltarlo sin una 3A velocidad inicial, sólo hay energía potencial. Al Solucion Ondas1_sol.tex (a) pasar por la posición de equilibrio, posición 2, sólo hay energía cinética, pues su energía potencial es cero. Por tanto se cumple:

5 cm

x = 0 v0 (2)

(1)

2EC (2) E(1) = E(2) ⇒ kx2 = EC (2) ⇒ k =

x2 Sustituyendo cada variable por su valor:

k=

2 · 0, 02 = 16 N m−1 0, 052

Por tanto:

k = 16 N m−1

b) Determinamos en primer lugar el periodo de las oscilaciones. En un muelle se cumple:

ω = ⇒ω=

como:

2π 2π

ω= ⇒T = = 2π

Sustituyendo los diferentes parámetros por su valor:

T = 2π = π = 3, 14 s

Por tanto:

T = 3,14 s Determinamos el valor de la velocidad del bloque cuando su desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio es x = 2 cm. De nuevo, como la fuerza del muelle es conservativa, la energía mecánica se conserva. Por tanto:

1 2 1 2 1

kA = kx + mv ⇒ v = …