Examen PAU Matemáticas II 2026 Valencia ordinaria con soluciones

Examen de Matemáticas II – PAU 2026, convocatoria ordinaria (examen coincidente)

Abrir el PDFHecho

Cargando el PDF… Si no aparece, ábrelo aquí.

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CONVOCATÒRIA: ORDINÀRIA 2026 (extra)

CONVOCATORIA: ORDINARIA 2026 (extra)

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES II

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS II

BAREM DE L’EXAMEN: Cada pregunta puntua fins a 2.5 punts.

La qualificació de l'examen és la suma de les qualificacions de cada pregunta.

Es permet l’ús de calculadores sempre que no siguen gràfiques o programables, i que no puguen realitzar càlculs simbòlics ni emmagatzemar text o fórmules en memòria. S'use o no la calculadora, els resultats analítics, numèrics i gràfics han d'estar sempre degudament justificats.

A partir de la tercera falta d'ortografia s'han de deduir 0,10 punts fins a un màxim d'un punt.

Per errors en la redacció, en la presentació, falta de coherència, falta de cohesió, incorrecció lèxica i incorrecció gramatical es podrà deduir un màxim de mig punt.

BAREMO DEL EXAMEN: Cada pregunta se puntuará hasta 2,5 puntos.

La calificación del examen será la suma de las calificaciones de cada pregunta.

Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculos simbólicos ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.

A partir de la tercera falta de ortografía se deducirán 0,10 puntos hasta un máximo de un punto.

Por errores en la redacción, en la presentación, falta de coherencia, falta de cohesión, incorrección léxica e incorrección gramatical se podrá deducir un máximo de medio punto.

En les respostes s’han d’escriure tots els passos del raonament utilitzat

PREGUNTA 1: PROBABILITAT I ESTADÍSTICA (2.5 punts) Durant la setmana cultural d’un centre docent, el Departament de Matemàtiques organitza un joc d’atzar per rondes en el qual els alumnes poden obtenir punts canviables per xicotets premis. En cada ronda es llança primer una moneda i, a continuació, un dau de sis cares. El resultat de la moneda combinat amb el valor obtingut pel dau determina la condició per a guanyar la ronda:

• Si la moneda ix cara, l’alumne guanya la ronda si el número obtingut en el dau és major o igual que 5.

• Si la moneda ix creu, l’alumne guanya la ronda si el número obtingut en el dau és parell.

Cada ronda és independent i segueix exactament aquest mateix procediment.

Respon a tots els apartats

1.1 (0.5 punts) Calcula la probabilitat que, en una ronda qualsevol, l’alumne guanye.

1.2 (1 punt) Sabent que en una ronda l’alumne ha guanyat, quina és la probabilitat que en el llançament de la moneda haja eixit cara?

1.3 (1 punt) Si s’utilitza una moneda trucada de manera que en llançar-la sempre s’obté cara, i es fan exactament 7 rondes del joc, calcula la probabilitat que l’alumne guanye exactament 5 vegades.

PREGUNTA 2: ÀLGEBRA (2.5 punts) Respon a l’apartat 2.1 o a l’apartat 2.2

2.1 Atès el sistema d’equacions lineals 𝛼𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 ! 𝑥 + 𝛼𝑦 + 𝑧 = 1 .

−𝑥 + 𝑦 + 𝛼𝑧 = 2

2.1.1 (1 punt) Discuteix el sistema segons els valors del paràmetre real 𝛼.

2.1.2 (1.5 punts) Troba la solució del sistema quan aquest siga compatible.

___________________________________________________________________________

2.2 Una entitat financera utilitza models matricials per a simular el risc d’una cartera d’inversió composta per dos tipus d’actius. La matriu de simulació és 1−𝑎

𝐴=/,

1+𝑎 on 𝑎 és un paràmetre real d’ajustament que reflecteix la volatilitat històrica del mercat.

1 0

2.2.1 (1 punt) El risc òptim s’obté quan es verifica l’equació 𝐴! − 𝐼 = 2𝐴, on 𝐼 = /.

0 1 Determina per a quins valors de 𝑎 s’optimitza el risc.

2.2.2 (1.5 punts) En determinades condicions de mercat, resulta convenient invertir la simulació desfent els càlculs prèviament fets. Per a fer-ho, cal que la matriu de simulació admeta inversa. Obtín els valors de 𝑎 per als quals es compleix aquesta última condició i calcula la inversa de la matriu de simulació en funció del paràmetre 𝑎.

PREGUNTA 3 GEOMETRIA: (2.5 punts) Respon a l’apartat 3.1 o a l’apartat 3.2

3.1 Siguen les rectes 𝑟: 7

2𝑥 + 𝑦 = 𝑎 −𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 5 i 𝑠: 7

𝑥+𝑧 =𝑎 𝑧=1

3.1.1 (1 punt) Estudia, segons el valor de a, la posició relativa de les dues rectes.

3.1.2 (1 punt) Calcula, si és possible, el valor de a perquè les rectes es tallen i, en aquest cas, troba el punt de tall 𝑃.

3.1.3 (0.5 punts) Calcula la distància entre l’origen de les coordenades i 𝑃.

___________________________________________________________________________ 𝑥 =1+𝛼

3.2 Donat el pla 𝜋: 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 i la recta 𝑟: !𝑦 = −1 − 2𝛼:

𝑧=1

3.2.1 (1.25 punts) Obtín l’equació del pla 𝜋" perpendicular a 𝜋 i que conté 𝑟.

3.2.2 (1.25 punts) Calcula, si existeix, un pla 𝜋! paral·lel a 𝜋 que continga 𝑟.

PREGUNTA 4: ANÀLISI (2.5 punts) Respon a l’apartat 4.1 o a l’apartat 4.2

4.1 Considerem la funció real de variable real 𝑓(𝑥) = |2𝑥 ! − 3| per a −1 ≤ 𝑥 ≤ 5.

4.1.1 (0.75 punts) Troba els intervals de creixement i decreixement de la funció 𝑓 en l# interval [−1,5].

4.1.2 (0.5 punts) Calcula els valors màxims i mínims absoluts de la funció 𝑓en l’interval [−1,5].

4.1.3 (0.25 punts) Representa la funció 𝑓.

4.1.4 (1 punt) Calcula l’àrea del recinte limitat per la corba d’equació 𝑦 = 𝑓(𝑥), i les rectes 𝑥 = −1, 𝑥 = 5 i 𝑦 = 0.

___________________________________________________________________________

4.2 Una menjadora per a animals té forma de semicilindre buit obert per la part superior. Està construïda amb xapa metàl·lica prima. Els extrems semicirculars tenen radi 𝑟 mesurat en cm i la longitud de la menjadora és de 𝐿 cm. L’àrea total del semicilindre (incloent-hi l’àrea lateral corba i l’àrea de les parets semicirculars) és de 600π 𝑐𝑚! .

4.2.1 (1 punt) Troba la funció que descriu el volum de la menjadora en funció del radi 𝑟.

4.2.2 (1.5 punts) Troba el radi 𝑟 i la longitud 𝐿 que maximitzen el volum de la menjadora i calcula aquest volum.

En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2.5 puntos) Durante la semana cultural de un centro docente, el Departamento de Matemáticas organiza un juego de azar por rondas en el que los alumnos pueden obtener puntos canjeables por pequeños premios. En cada ronda se lanza primero una moneda y, a continuación, un dado de seis caras. El resultado de la moneda combinado con el valor obtenido por el dado determina la condición para ganar la ronda:

Si la moneda sale cara, el alumno gana la ronda si el número obtenido en el dado es mayor o igual que 5.

Si la moneda sale cruz, el alumno gana la ronda si el número obtenido en el dado es par.

Cada ronda es independiente y sigue exactamente este mismo procedimiento. Se pide:

Responda a todos los apartados

1.1 (0.5 puntos) Calcular la probabilidad de que, en una ronda cualquiera, el alumno gane.

1.2 (1 punto) Sabiendo que en una ronda el alumno ha ganado, ¿cuál es la probabilidad de que en el lanzamiento de la moneda haya salido cara?

1.3 (1 punto) Si se utiliza una moneda trucada tal que al lanzarla siempre se obtiene cara, y se realizan exactamente 7 rondas del juego, calcular la probabilidad de que el alumno gane exactamente 5 veces.

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2.5 puntos) Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.1 Dado el sistema de ecuaciones lineales 𝛼𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 ! 𝑥 + 𝛼𝑦 + 𝑧 = 1 .

−𝑥 + 𝑦 + 𝛼𝑧 = 2 Se pide:

2.1.1 (1 punto) Discutir el sistema según los valores del parámetro real 𝛼.

2.1.2 (1.5 puntos) Encontrar la solución del sistema cuando éste sea compatible.

___________________________________________________________________________

2.2 Una entidad financiera utiliza modelos matriciales para simular el riesgo de una cartera de inversión compuesta por dos tipos de activos. La matriz de simulación es 1−𝑎

𝐴=/,

1+𝑎 donde 𝑎 es un parámetro real de ajuste que refleja la volatilidad histórica del mercado.

1 0

2.2.1 (1 punto) El riesgo optimo se obtiene cuando se verifica la ecuación 𝐴! − 𝐼 = 2𝐴, donde 𝐼 = /.

0 1 Determinar para qué valores de 𝑎 se optimiza el riesgo.

2.2.2 (1.5 puntos) En determinadas condiciones de mercado, resulta conveniente invertir la simulación deshaciendo los cálculos previamente realizados. Para ello se necesita que la matriz de simulación admita inversa. Obtener los valores de 𝑎 para los cuales se cumple esta última condición y calcular la inversa de la matriz de simulación en función del parámetro 𝑎.

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2.5 puntos) Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2 2𝑥 + 𝑦 = 𝑎 −𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 5

3.1 Sean las rectas 𝑟: 7 y 𝑠: 7 . Se pide:

𝑥+𝑧 =𝑎 𝑧=1

3.1.1 (1 punto) Estudiar, según el valor de a, la posición relativa de las dos rectas.

3.1.2 (1 punto) Calcular, si es posible, el valor de a para que las rectas se corten y, en ese caso, encontrar el punto de corte 𝑃.

3.1.3 (0.5 puntos) Calcular la distancia entre el origen de coordenadas y 𝑃.

___________________________________________________________________________ 𝑥 =1+𝛼

3.2 Dado el plano 𝜋: 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 y la recta 𝑟: !𝑦 = −1 − 2𝛼, se pide:

𝑧=1

3.2.1 (1.25 puntos) Obtener la ecuación del plano 𝜋" perpendicular a 𝜋 y que contiene a 𝑟.

3.2.2 (1.25 puntos) Calcular, si existe, un plano 𝜋! paralelo a 𝜋 que contenga a 𝑟.

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2.5 puntos) Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.1 Consideramos la función real de variable real 𝑓(𝑥) = |2𝑥 ! − 3| para −1 ≤ 𝑥 ≤ 5. Se pide:

4.1.1 (0.75 puntos) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓 en el intervalo [−1,5].

4.1.2 (0.5 puntos) Calcular los valores máximos y mínimos absolutos de la función 𝑓 en el intervalo [−1,5].

4.1.3 (0.25 puntos) Representar la función 𝑓.

4.1.4 (1 punto) Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥), y las rectas 𝑥 = −1, 𝑥 = 5 e 𝑦 = 0.

___________________________________________________________________________

4.2 Un comedero para animales tiene forma de semicilindro hueco abierto por la parte superior. Está construido con chapa metálica delgada. Los extremos semicirculares tienen radio 𝑟 medido en cm y la longitud del comedero es de 𝐿 cm. El área total del semicilindro (incluyendo el área lateral curva y el área de las paredes semicirculares) es de 600π 𝑐𝑚! .

Se pide:

4.2.1 (1 punto) Encontrar la función que describe el volumen del comedero en función del radio 𝑟.

4.2.2 (1.5 puntos) Encontrar el radio 𝑟 y la longitud 𝐿 que maximizan el volumen del comedero y calcular dicho volumen.

Taula de la distribució binomial (Bin(n,p)) Tabla de la distribución binomial (Bin(n,p))

𝑭(𝒙) = 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙) = ) * - 𝒑𝒌 𝒒𝒏#𝒌

𝒌%𝟎

0,01

0,05

0,10

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,9900 1,0000

0,9500 0,9000 0,8000 0,7500 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,7000 1,0000

0,6667 1,0000

0,6500 1,0000

0,6000 1,0000

0,5500 1,0000

0,5000 1,0000

0,9801 0,9999 1,0000

0,9025 0,8100 0,6400 0,5625 0,9975 0,9900 0,9600 0,9375 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,4900 0,9100 1,0000

0,4444 0,8889 1,0000

0,4225 0,8775 1,0000

0,3600 0,8400 1,0000

0,3025 0,7975 1,0000

0,2500 0,7500 1,0000

0,9703 0,9997 1,0000 1,0000

0,8574 0,9928 0,9999 1,0000

0,7290 0,9720 0,9990 1,0000

0,5120 0,8960 0,9920 1,0000

0,4219 0,8438 0,9844 1,0000

0,3430 0,7840 0,9730 1,0000

0,2963 0,7407 0,9630 1,0000

0,2746 0,7183 0,9571 1,0000

0,2160 0,6480 0,9360 1,0000

0,1664 0,5748 0,9089 1,0000

0,1250 0,5000 0,8750 1,0000

0,9606 0,9994 1,0000 1,0000 1,0000

0,8145 0,9860 0,9995 1,0000 1,0000

0,6561 0,9477 0,9963 0,9999 1,0000

0,4096 0,8192 0,9728 0,9984 1,0000

0,3164 0,7383 0,9492 0,9961 1,0000

0,2401 0,6517 0,9163 0,9919 1,0000

0,1975 0,5926 0,8889 0,9877 1,0000

0,1785 0,5630 0,8735 0,9850 1,0000

0,1296 0,4752 0,8208 0,9744 1,0000

0,0915 0,3910 0,7585 0,9590 1,0000

0,0625 0,3125 0,6875 0,9375 1,0000

0,9510 0,9990 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,7738 0,9774 0,9988 1,0000 1,0000 1,0000

0,5905 0,9185 0,9914 0,9995 1,0000 1,0000

0,3277 0,7373 0,9421 0,9933 0,9997 1,0000

0,2373 0,6328 0,8965 0,9844 0,9990 1,0000

0,1681 0,5282 0,8369 0,9692 0,9976 1,0000

0,1317 0,4609 0,7901 0,9547 0,9959 1,0000

0,1160 0,4284 0,7648 0,9460 0,9947 1,0000

0,0778 0,3370 0,6826 0,9130 0,9898 1,0000

0,0503 0,2562 0,5931 0,8688 0,9815 1,0000

0,0313 0,1875 0,5000 0,8125 0,9688 1,0000

0,9415 0,9985 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,7351 0,9672 0,9978 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000

0,5314 0,8857 0,9842 0,9987 0,9999 1,0000 1,0000

0,2621 0,6554 0,9011 0,9830 0,9984 0,9999 1,0000

0,1780 0,5339 0,8306 0,9624 0,9954 0,9998 1,0000

0,1176 0,4202 0,7443 0,9295 0,9891 0,9993 1,0000

0,0878 0,3512 0,6804 0,8999 0,9822 0,9986 1,0000

0,0754 0,3191 0,6471 0,8826 0,9777 0,9982 1,0000

0,0467 0,2333 0,5443 0,8208 0,9590 0,9959 1,0000

0,0277 0,1636 0,4415 0,7447 0,9308 0,9917 1,0000

0,0156 0,1094 0,3438 0,6563 0,8906 0,9844 1,0000

0,9321 0,9980 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,6983 0,9556 0,9962 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,4783 0,8503 0,9743 0,9973 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000

0,2097 0,5767 0,8520 0,9667 0,9953 0,9996 1,0000 1,0000

0,1335 0,4449 0,7564 0,9294 0,9871 0,9987 0,9999 1,0000

0,0824 0,3294 0,6471 0,8740 0,9712 0,9962 0,9998 1,0000

0,0585 0,2634 0,5706 0,8267 0,9547 0,9931 0,9995 1,0000

0,0490 0,2338 0,5323 0,8002 0,9444 0,9910 0,9994 1,0000

0,0280 0,1586 0,4199 0,7102 0,9037 0,9812 0,9984 1,0000

0,0152 0,1024 0,3164 0,6083 0,8471 0,9643 0,9963 1,0000

0,0078 0,0625 0,2266 0,5000 0,7734 0,9375 0,9922 1,0000

0,9227 0,9973 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,6634 0,9428 0,9942 0,9996 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,4305 0,8131 0,9619 0,9950 0,9996 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,1678 0,5033 0,7969 0,9437 0,9896 0,9988 0,9999 1,0000 1,0000

0,1001 0,3671 0,6785 0,8862 0,9727 0,9958 0,9996 1,0000 1,0000

0,0576 0,2553 0,5518 0,8059 0,9420 0,9887 0,9987 0,9999 1,0000

0,0390 0,1951 0,4682 0,7414 0,9121 0,9803 0,9974 0,9998 1,0000

0,0319 0,1691 0,4278 0,7064 0,8939 0,9747 0,9964 0,9998 1,0000

0,0168 0,1064 0,3154 0,5941 0,8263 0,9502 0,9915 0,9993 1,0000

0,0084 0,0632 0,2201 0,4770 0,7396 0,9115 0,9819 0,9983 1,0000

0,0039 0,0352 0,1445 0,3633 0,6367 0,8555 0,9648 0,9961 1,0000

0,9135 0,9966 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,6302 0,9288 0,9916 0,9994 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,3874 0,7748 0,9470 0,9917 0,9991 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,1342 0,4362 0,7382 0,9144 0,9804 0,9969 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000

0,0751 0,3003 0,6007 0,8343 0,9511 0,9900 0,9987 0,9999 1,0000 1,0000

0,0404 0,1960 0,4628 0,7297 0,9012 0,9747 0,9957 0,9996 1,0000 1,0000

0,0260 0,1431 0,3772 0,6503 0,8552 0,9576 0,9917 0,9990 0,9999 1,0000

0,0207 0,1211 0,3373 0,6089 0,8283 0,9464 0,9888 0,9986 0,9999 1,0000

0,0101 0,0705 0,2318 0,4826 0,7334 0,9006 0,9750 0,9962 0,9997 1,0000

0,0046 0,0385 0,1495 0,3614 0,6214 0,8342 0,9502 0,9909 0,9992 1,0000

0,0020 0,0195 0,0898 0,2539 0,5000 0,7461 0,9102 0,9805 0,9980 1,0000

0,01

0,05

0,10

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,9044 0,9957 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,5987 0,9139 0,9885 0,9990 0,9999 1,0000 1,0000 …

Soluciones y criterios de corrección en texto

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CONVOCATÒRIA: ORDINÀRIA 2026 (extra)

CONVOCATORIA: ORDINARIA 2026 (extra)

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES II

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS II

CRITERIS DE CORRECCIÓ / CRITERIOS DE CORRECCIÓN En les respostes s’han d’escriure tots els passos del raonament utilitzat

• Si la moneda ix cara, l’alumne guanya la ronda si el número obtingut en el dau és major o igual que 5.

• Si la moneda ix creu, l’alumne guanya la ronda si el número obtingut en el dau és parell.

Cada ronda és independent i segueix exactament aquest mateix procediment.

Respon a tots els apartats

1.1 (0.5 punts) Calcula la probabilitat que, en una ronda qualsevol, l’alumne guanye.

1.2 (1 punt) Sabent que en una ronda l’alumne ha guanyat, quina és la probabilitat que en el llançament de la moneda haja eixit cara?

Solució:

1.1. 𝑃(guanyar) =

= 0.4167.

1.2. 𝑃(cara|guanyat) = " = 0.4.

1.3. 𝑋 = Nombre de rondes guanyades ≡ 𝐵 A𝑛 = 7, 𝑝 = $E, 𝑃(𝑋 = 5) = &!' ≈ 0.0384.

PREGUNTA 2: ÀLGEBRA (2.5 punts) Respon a l’apartat 2.1 o a l’apartat 2.2

2.1 Atès el sistema d’equacions lineals 𝛼𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 I 𝑥 + 𝛼𝑦 + 𝑧 = 1 .

−𝑥 + 𝑦 + 𝛼𝑧 = 2

2.1.1 (1 punt) Discuteix el sistema segons els valors del paràmetre real 𝛼.

2.1.2 (1.5 punts) Troba la solució del sistema quan aquest siga compatible.

Solució:

2.1.1. Si 𝛼 ≠ −1 i 𝛼 ≠ 2, Rang (𝐴) = 3. Sistema compatible determinat.

Si 𝛼 = −1 o 𝛼 = 2, Rang (𝐴) = 2 ≠ Rang (𝐴( ) = 3. Sistema incompatible.

*-$

!*-$

2.1.2. Si 𝛼 ≠ −1 i 𝛼 ≠ 2 la solució és 𝑥 = (*+#)(*-!) , 𝑦 = (*+#)(*-!) 𝑖 𝑧 = (*+#)(*-!).

2.2 Una entitat financera utilitza models matricials per a simular el risc d’una cartera d’inversió composta per dos tipus d’actius. La matriu de simulació és 1−𝑎

𝐴=A E,

1+𝑎 on 𝑎 és un paràmetre real d’ajustament que reflecteix la volatilitat històrica del mercat.

1 0

2.2.1 (1 punt) El risc òptim s’obté quan es verifica l’equació 𝐴! − 𝐼 = 2𝐴, on 𝐼 = A E.

0 1 Determina per a quins valors de 𝑎 s’optimitza el risc.

Solució:

2.2.1. El risc òptim s’obté quan 𝑎 = 1 o 𝑎 = −1.

#+.

− !

2.2.2. Per a 𝑎 ≠ 0 la inversa és 𝐴-# = [ #.

#-. \.

− .!

PREGUNTA 3 GEOMETRIA: (2.5 punts) Respon a l’apartat 3.1 o a l’apartat 3.2

3.1 Siguen les rectes 𝑟: _

2𝑥 + 𝑦 = 𝑎 −𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 5 i 𝑠: _

𝑥+𝑧 =𝑎 𝑧=1

3.1.1 (1 punt) Estudia, segons el valor de a, la posició relativa de les dues rectes.

3.1.2 (1 punt) Calcula, si és possible, el valor de a perquè les rectes es tallen i, en aquest cas, troba el punt de tall 𝑃.

3.1.3 (0.5 punts) Calcula la distància entre l’origen de coordenades i 𝑃.

Solució:

3.1.1. Un vector director de 𝑟 es (1, −2,0) i un de 𝑠 és (2,3, −2). Les rectes mai no són paral·leles ni coincidents.

Quan 𝑎 = , les rectes es tallen; en un altre cas, es creuen.

-# /

3.1.2. Quan 𝑎 = $, les rectes es tallen en el punt 𝑃 A $ , $, , 1E.

3.1.3. 𝑑(0, 𝑃) =

√!2

= 1.69967.

𝑥 =1+𝛼

3.2 Donat el pla 𝜋: 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 i la recta 𝑟: I𝑦 = −1 − 2𝛼:

𝑧=1

3.2.1 (1.25 punts) Obtín l’equació del pla 𝜋# perpendicular a 𝜋 i que conté 𝑟.

3.2.2 (1.25 punts) Calcula, si existeix, un pla 𝜋! paral·lel a 𝜋 que continga 𝑟.

Solució:

3.2.1. 𝜋# ∶ 𝑧 − 1 = 0.

3.2.2. 𝜋! ∶ 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0.

PREGUNTA 4: ANÀLISI (2.5 punts) Respon a l’apartat 4.1 o a l’apartat 4.2

4.1 Considerem la funció real de variable real 𝑓(𝑥) = |2𝑥 ! − 3| per a −1 ≤ 𝑥 ≤ 5.

4.1.1 (0.75 punts) Troba els intervals de creixement i decreixement de la funció 𝑓 en l( interval [−1,5].

4.1.2 (0.5 punts) Calcula els valors màxims i mínims absoluts de la funció 𝑓en l’interval [−1,5].

4.1.3 (0.25 punts) Representa la funció 𝑓.

4.1.4 (1 punt) Calcula l’àrea del recinte limitat per la corba d’equació 𝑦 = 𝑓(𝑥), i les rectes 𝑥 = −1, 𝑥 = 5 i 𝑦 = 0.

Solució:

4.1.1. Creixent en (−1,0) ∪ kl , 5mi decreixent en k0, l m.

4.1.2. Màxim absolut (5,47) i mínim absolut kl! , 0m.

4.1.3.

!4"

4.1.4. ∫-# |2𝑥 ! − 3| 𝑑𝑥 + ∫ " |2𝑥 ! − 3| 𝑑𝑥 = $ + √6 + $ + √6 =

!#!

+ 2√6 = 75.5656.

4.2.1 (1 punt) Troba la funció que descriu el volum de la menjadora en funció del radi 𝑟.

4.2.2 (1.5 punts) Troba el radi 𝑟 i la longitud 𝐿 que maximitzen el volum de la menjadora i calcula aquest volum.

Solució:

4.2.1. 𝑉(𝑟) =

5 78244-7 ! 9

= 300𝜋𝑟 − ! 𝜋𝑟 $ .

4.2.2. 𝑟 = 10√2 = 14.142 𝑐𝑚 i 𝐿 = 20√2 = 28.284 𝑐𝑚. 𝑉u10√2v = 2000𝜋√2 ≈ 8885.7659 𝑐𝑚$ .

En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

Si la moneda sale cara, el alumno gana la ronda si el número obtenido en el dado es mayor o igual que 5.

Si la moneda sale cruz, el alumno gana la ronda si el número obtenido en el dado es par.

Cada ronda es independiente y sigue exactamente este mismo procedimiento. Se pide:

Responda a todos los apartados

1.1 (0.5 puntos) Calcular la probabilidad de que, en una ronda cualquiera, el alumno gane.

1.2 (1 punto) Sabiendo que en una ronda el alumno ha ganado, ¿cuál es la probabilidad de que en el lanzamiento de la moneda haya salido cara?

Solución:

1. 1. 𝑃(ganar) = #! = 0.4167.

1.2. 𝑃(cara|ganado) = " = 0.4.

1.3. 𝑋 = Número de rondas ganadas ≡ 𝐵 A𝑛 = 7, 𝑝 = $E, 𝑃(𝑋 = 5) = &!' ≈ 0.0384.

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2.5 puntos) Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.1 Dado el sistema de ecuaciones lineales 𝛼𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 I 𝑥 + 𝛼𝑦 + 𝑧 = 1 .

−𝑥 + 𝑦 + 𝛼𝑧 = 2 Se pide:

2.1.1 (1 punto) Discutir el sistema según los valores del parámetro real 𝛼.

2.1.2 (1.5 puntos) Encontrar la solución del sistema cuando éste sea compatible.

Solución:

2.1.1. Si 𝛼 ≠ −1 y 𝛼 ≠ 2, Rango (𝐴) = 3. Sistema Compatible Determinado.

Si 𝛼 = −1 o 𝛼 = 2, Rango (𝐴) = 2 ≠ Rango (𝐴( ) = 3. Sistema Incompatible.

*-$

!*-$

2.1.2. Si 𝛼 ≠ −1 y 𝛼 ≠ 2 la solución es 𝑥 = (*+#)(*-!) , 𝑦 = (*+#)(*-!) y 𝑧 = (*+#)(*-!).

___________________________________________________________________________

2.2 Una entidad financiera utiliza modelos matriciales para simular el riesgo de una cartera de inversión compuesta por dos tipos de activos. La matriz de simulación es 1−𝑎

𝐴=A E,

1+𝑎 donde 𝑎 es un parámetro real de ajuste que refleja la volatilidad histórica del mercado.

1 0

2.2.1 (1 punto) El riesgo optimo se obtiene cuando se verifica la ecuación 𝐴! − 𝐼 = 2𝐴, donde 𝐼 = A E.

0 1 Determinar para qué valores de 𝑎 se optimiza el riesgo.

Solución:

2.2.1. El riesgo optimo se obtiene cuando 𝑎 = 1 o 𝑎 = −1.

#+.

− !

2.2.2. Para 𝑎 ≠ 0 la inversa es 𝐴-# = [ #.

#-.\.

− .!

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2.5 puntos) Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2 2𝑥 + 𝑦 = 𝑎 −𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 5

3.1 Sean las rectas 𝑟: _ y 𝑠: _ . Se pide:

𝑥+𝑧 =𝑎 𝑧=1

3.1.1 (1 punto) Estudiar, según el valor de a, la posición relativa de las dos rectas.

3.1.2 (1 punto) Calcular, si es posible, el valor de a para que las rectas se corten y, en ese caso, encontrar el punto de corte 𝑃.

3.1.3 (0.5 puntos) Calcular la distancia entre el origen de coordenadas y 𝑃.

Solución:

3.1.1. Un vector director de 𝑟 es (1, −2,0) y uno de 𝑠 es (2,3, −2). Las rectas nunca son paralelas ni

coincidentes. Cuando 𝑎 = $, las rectas se cortan, en otro caso, se cruzan.

-# /

3.1.2. Cuando 𝑎 = $, las rectas se cortan en el punto 𝑃 A $ , $, , 1E.

3.1.3. 𝑑(0, 𝑃) =

√!2

= 1.69967.

___________________________________________________________________________ 𝑥 =1+𝛼

3.2 Dado el plano 𝜋: 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 y la recta 𝑟: I𝑦 = −1 − 2𝛼, se pide:

𝑧=1

3.2.1 (1.25 puntos) Obtener la ecuación del plano 𝜋# perpendicular a 𝜋 y que contiene a 𝑟.

3.2.2 (1.25 puntos) Calcular, si existe, un plano 𝜋! paralelo a 𝜋 que contenga a 𝑟.

Solución:

3.2.1. 𝜋# ∶ 𝑧 − 1 = 0.

3.2.2. 𝜋! ∶ 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0.

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2.5 puntos) Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.1 Consideramos la función real de variable real 𝑓(𝑥) = |2𝑥 ! − 3| para −1 ≤ 𝑥 ≤ 5. Se pide:

4.1.1 (0.75 puntos) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓 en el intervalo [−1,5].

4.1.2 (0.5 puntos) Calcular los valores máximos y mínimos absolutos de la función 𝑓 en el intervalo [−1,5].

4.1.3 (0.25 puntos) Representar la función 𝑓.

4.1.4 (1 punto) Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥), y las rectas 𝑥 = −1, 𝑥 = 5 e 𝑦 = 0.

Solución:

4.1.1. Creciente en (−1,0) ∪ kl! , 5m y decreciente en k0, l!m.

4.1.2. Máximo absoluto (5,47) y mínimo absoluto kl! , 0m.

4.1.3.

!4"

4.1.4. ∫-# |2𝑥 ! − 3| 𝑑𝑥 + ∫ " |2𝑥 ! − 3| 𝑑𝑥 = $ + √6 + $ + √6 =

!#!

+ 2√6 = 75.5656.

Se pide:

4.2.1 (1 punto) Encontrar la función que describe el volumen del comedero en función del radio 𝑟.

4.2.2 (1.5 puntos) Encontrar el radio 𝑟 y la longitud 𝐿 que maximizan el volumen del comedero y calcular dicho volumen.

Solución:

4.2.1. 𝑉(𝑟) =

5 78244-7 ! 9

= 300𝜋𝑟 − ! 𝜋𝑟 $ .

4.2.2. 𝑟 = 10√2 = 14.142 𝑐𝑚 𝑦 𝐿 = 20√2 = 28.284 𝑐𝑚. 𝑉u10√2v = 2000𝜋√2 ≈ 8885.7659 𝑐𝑚$ .

Taula de la distribució binomial (Bin(n,p)) Tabla de la distribución binomial (Bin(n,p))

0,10

𝑭(𝒙) = 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙) = ) * - 𝒑𝒌 𝒒𝒏%𝒌

𝒌'𝟎