Matemáticas II PAU 2026
Examen · convocatoria extraordinaria · Comunitat Valenciana
Examen de Matemáticas II – PAU 2026, convocatoria extraordinaria
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Enunciado del examen en texto
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PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATÒRIA: EXTRAORDINÀRIA 2026
CONVOCATORIA: EXTRAORDINARIA 2026
ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES II
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS II
BAREM DE L’EXAMEN: Cada pregunta puntua fins a 2.5 punts.
La qualificació de l'examen és la suma de les qualificacions de cada pregunta.
Es permet l’ús de calculadores sempre que no siguen gràfiques o programables, i que no puguen realitzar càlculs simbòlics ni emmagatzemar text o fórmules en memòria. S'use o no la calculadora, els resultats analítics, numèrics i gràfics han d'estar sempre degudament justificats.
A partir de la tercera falta d'ortografia s'han de deduir 0,10 punts fins a un màxim d'un punt.
Per errors en la redacció, en la presentació, falta de coherència, falta de cohesió, incorrecció lèxica i incorrecció gramatical es podrà deduir un màxim de mig punt.
BAREMO DEL EXAMEN: Cada pregunta se puntuará hasta 2,5 puntos.
La calificación del examen será la suma de las calificaciones de cada pregunta.
Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculos simbólicos ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
A partir de la tercera falta de ortografía se deducirán 0,10 puntos hasta un máximo de un punto.
Por errores en la redacción, en la presentación, falta de coherencia, falta de cohesión, incorrección léxica e incorrección gramatical se podrá deducir un máximo de medio punto.
En les respostes s’han d’escriure tots els passos del raonament utilitzat
PREGUNTA 1: PROBABILITAT I ESTADÍSTICA (2.5 punts) Rafa i Roger són dos tennistes que s’han enfrontat al llarg de les seues carreres professionals en tres tipus de superfícies: herba, terra batuda i pista dura. El 10% dels partits es van jugar en herba i el 40% en terra batuda.
D’altra banda, Rafa va guanyar el 25% dels partits jugats en herba, mentre que Roger va guanyar el 12.5% dels jugats en terra batuda i el 55 % en pista dura.
Respon a tots els apartats
1.1 (0.75 punts) Entre tots els enfrontaments, quin és el percentatge de partits que ha guanyat Roger?
1.2 (0.75 punts) Si Rafa va guanyar un partit, quina és la probabilitat que es jugara en pista dura?
1.3 (1 punt) Si prenem una mostra de 10 partits jugats en pista dura, quina és la probabilitat que Roger hi haja guanyat 5 o 6 partits?
PREGUNTA 2: ÀLGEBRA (2.5 punts) Respon a l’apartat 2.1 o a l’apartat 2.2
2.1 Mitjançant un procés de barreja continu en tres tancs interconnectats, una planta química produeix tres compostos, X, Y, Z, lligats a uns valors reals 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, respectivament, anomenats pseudodensitats. Les pseudodensitats en els tancs han d’estar en equilibri per a mantenir-hi la concentració desitjada dels productes. Els enginyers del procés han establit les condicions d’equilibri següents:
• Tanc 1. La suma de la pseudodensitat 𝑥𝑥 més el triple de la pseudodensitat 𝑦𝑦 més la pseudodensitat 𝑧𝑧 ha de valdre 5.
• Tanc 2. La suma de 𝛼𝛼 vegades la pseudodensitat 𝑥𝑥 més el doble de la pseudodensitat 𝑧𝑧 s’ha d’anul·lar, on 𝛼𝛼 és el factor catalitzador.
• Tanc 3. La pseudodensitat 𝑧𝑧 ha de ser 𝛼𝛼 vegades la pseudodensitat 𝑦𝑦.
2.1.1 (1.25 punts) Estudia l’existència i el nombre de solucions 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 (les possibles configuracions d’equilibri) en funció dels valors del factor catalitzador 𝛼𝛼.
2.1.2 (1.25 punts) Quan el factor catalitzador satisfà 𝛼𝛼 ≠ −1, el procés assoleix estats d’equilibri factibles. En aquest cas, calcula, si existeixen, els valors 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, en funció del valor 𝛼𝛼.
___________________________________________________________________________
2 −1 5 −2 �, 𝐵𝐵 = � � i el vector 𝑏𝑏 = � �:
1 1 2 3
2.2 Donades les matrius 𝐴𝐴 = �
2.2.1 (1 punt) Resol el sistema d’equacions 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑏𝑏.
2.2.2 (0.75 punts) Troba el valor de det(𝐴𝐴5 (2𝐵𝐵)−1 ).
2.2.3 (0.75 punts) Calcula els valors de 𝛼𝛼 i 𝛽𝛽, si n’hi ha, que satisfan 𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝛽𝛽𝛽𝛽 = 𝐼𝐼, sent 𝐼𝐼 la matriu identitat.
PREGUNTA 3: GEOMETRIA (2.5 punts) Respon a l’apartat 3.1 o a l’apartat 3.2
3.1 Es consideren els punts de l’espai 𝐴𝐴(0, −1,0) i 𝐵𝐵(1,0,1), i el vector 𝑣𝑣 = (2, −1,1).
3.1.1 (0.75 punts) Troba una equació del pla 𝜋𝜋 que és perpendicular a 𝑣𝑣 i passa per 𝐴𝐴.
3.1.2 (0.75 punts) Troba una equació de la recta que és perpendicular a 𝜋𝜋 𝑖𝑖 passa per 𝐵𝐵.
3.1.3 (0.75 punts) Troba el punt 𝐶𝐶 del pla 𝜋𝜋 que està més prop de 𝐵𝐵.
3.1.4 (0.25 punts) Calcula la distància del punt 𝐵𝐵 al pla 𝜋𝜋.
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3.2 Donat el pla 𝜋𝜋: 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 0 i els punts 𝐴𝐴(0,0,0), 𝐵𝐵(10,0, −20), 𝐶𝐶(0,15, −30) i 𝐷𝐷(1,2, −1):
3.2.1 (0.5 punts) Estudia si el triangle 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 està contingut en el pla 𝜋𝜋.
3.2.2 (1.25 punts) Calcula les coordenades de la projecció del punt D sobre el pla format pels punts A, B i C.
3.2.3 (0.75 punts) Calcula la distància del punt 𝐷𝐷 al pla 𝜋𝜋.
PREGUNTA 4: ANÀLISI (2.5 punts) Respon a l’apartat 4.1 o a l’apartat 4.2
4.1 Un brot de grip es propaga durant uns dies. El coeficient de gravetat de la grip t dies després d’iniciar-se el brot ve donat per una funció F(t) amb una derivada 𝐹𝐹 ′ (𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 2 (10 − 𝑡𝑡).
4.1.1 (1.25 punts) Calcula la funció 𝐹𝐹(𝑡𝑡) sabent que en 𝑡𝑡 = 0 el coeficient de gravetat és 6.
4.1.2 (1.25 punts) Calcula quants dies després d’iniciar-se el brot s’arriba al valor màxim del coeficient i quin és aquest número.
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4.2 Un arquitecte dissenya un hivernacle menut per a un jardí. El terra de l’hivernacle té forma de triangle per a maximitzar-ne l’eficiència i la captació de llum. El perímetre total de l’hivernacle està fixat en 60 metres per a complir amb les restriccions mediambientals de la zona. Un dels costats del triangle fa 𝑥𝑥 metres i els altres dos costats tenen la mateixa longitud.
4.2.1 (1 punt) Dedueix l’expressió de la funció 𝐴𝐴(𝑥𝑥) que representa l’àrea del terra de l’hivernacle.
4.2.2 (1.5 punts) L’arquitecte defineix una funció d’eficiència estructural 𝑓𝑓(𝑥𝑥) que es calcula com el quadrat de l’àrea del terra de l’hivernacle. Obtín el valor de 𝑥𝑥 per al qual l’eficiència estructural és màxima i troba’n l’àrea en aquest cas.
PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATÒRIA: EXTRAORDINÀRIA 2026
CONVOCATORIA: EXTRAORDINARIA 2026
ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES II
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS II
BAREM DE L’EXAMEN: Cada pregunta puntua fins a 2.5 punts.
La qualificació de l'examen és la suma de les qualificacions de cada pregunta.
Es permet l’ús de calculadores sempre que no siguen gràfiques o programables, i que no puguen realitzar càlculs simbòlics ni emmagatzemar text o fórmules en memòria. S'use o no la calculadora, els resultats analítics, numèrics i gràfics han d'estar sempre degudament justificats.
A partir de la tercera falta d'ortografia s'han de deduir 0,10 punts fins a un màxim d'un punt.
Per errors en la redacció, en la presentació, falta de coherència, falta de cohesió, incorrecció lèxica i incorrecció gramatical es podrà deduir un màxim de mig punt.
BAREMO DEL EXAMEN: Cada pregunta se puntuará hasta 2,5 puntos.
La calificación del examen será la suma de las calificaciones de cada pregunta.
Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculos simbólicos ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
A partir de la tercera falta de ortografía se deducirán 0,10 puntos hasta un máximo de un punto.
Por errores en la redacción, en la presentación, falta de coherencia, falta de cohesión, incorrección léxica e incorrección gramatical se podrá deducir un máximo de medio punto.
En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.
PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2.5 puntos) Rafa y Roger son dos tenistas que se han enfrentado a lo largo de sus carreras profesionales en tres tipos superficies: hierba, tierra batida y pista dura. El 10% de los partidos se jugaron en hierba y el 40% en tierra batida.
Por otra parte, Rafa ganó el 25% de los partidos jugados en hierba, mientras que Roger ganó el 12.5% de los jugados en tierra batida y el 55% en pista dura. Se pide:
Responda a todos los apartados
1.1 (0.75 puntos) Entre todos sus enfrentamientos, ¿cuál es el porcentaje de partidos que ha ganado Roger?
1.2 (0.75 puntos) Si un partido fue ganado por Rafa, ¿cuál es la probabilidad de que se jugara en pista dura?
1.3 (1 punto) Si tomamos una muestra de 10 partidos jugados en pista dura, ¿cuál es la probabilidad de que Roger haya ganado 5 o 6 partidos?
PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2.5 puntos) Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2
2.1 Mediante un proceso de mezclado continuo en tres tanques interconectados, una planta química produce tres compuestos, X, Y, Z, ligados a unos valores reales 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, respectivamente, llamados pseudodensidades. Las pseudodensidades en los tanques deben estar en equilibrio para mantener la concentración deseada de los productos. Los ingenieros del proceso han establecido las siguientes condiciones de equilibrio:
• Tanque 1: La suma de la pseudodensidad 𝑥𝑥, más el triple de la pseudodensidad 𝑦𝑦, más la pseudodensidad 𝑧𝑧 ha de valer 5.
• Tanque 2: La suma de 𝛼𝛼 veces la pseudodensidad 𝑥𝑥, mas el doble de la pseudodensidad 𝑧𝑧 debe anularse, donde 𝛼𝛼 es el factor catalizador.
• Tanque 3: La pseudodensidad 𝑧𝑧 ha de ser 𝛼𝛼 veces la pseudodensidad 𝑦𝑦.
Se pide:
2.1.1 (1.25 puntos) Estudiar la existencia y el número de soluciones 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 (las posibles configuraciones de equilibrio) en función de los valores del factor catalizador 𝛼𝛼.
2.1.2 (1.25 puntos) Cuando el factor catalizador satisface 𝛼𝛼 ≠ −1, el proceso alcanza estados de equilibrio factibles. En este caso, calcular, si existen, los valores 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, en función del valor 𝛼𝛼.
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2.2 Dadas las matrices 𝐴𝐴 = �
2 −1 5 −2 �, 𝐵𝐵 = � � y el vector 𝑏𝑏 = � �, se pide:
1 1 2 3
2.2.1 (1 punto) Resolver el sistema de ecuaciones 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑏𝑏.
2.2.2 (0.75 puntos) Hallar el valor de det(𝐴𝐴5 (2𝐵𝐵)−1 ).
2.2.3 (0.75 puntos) Calcular los valores de 𝛼𝛼 y 𝛽𝛽, si existen, que satisfacen 𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝛽𝛽𝛽𝛽 = 𝐼𝐼, siendo 𝐼𝐼 la matriz identidad.
PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2.5 puntos) Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2
3.1 Se consideran los puntos del espacio 𝐴𝐴(0, −1,0) y 𝐵𝐵(1,0,1), y el vector 𝑣𝑣 = (2, −1,1). Se pide:
3.1.1 (0.75 puntos) Encontrar una ecuación del plano 𝜋𝜋 que es perpendicular a 𝑣𝑣 y pasa por 𝐴𝐴.
3.1.2 (0.75 puntos) Encontrar una ecuación de la recta que es perpendicular a 𝜋𝜋 y pasa por 𝐵𝐵.
3.1.3 (0.75 puntos) Encontrar el punto 𝐶𝐶 del plano 𝜋𝜋 que está más cerca de 𝐵𝐵.
3.1.4 (0.25 puntos) Calcular la distancia del punto 𝐵𝐵 al plano 𝜋𝜋.
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3.2 Dado el plano 𝜋𝜋: 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 0 y los puntos 𝐴𝐴(0,0,0), 𝐵𝐵(10,0, −20), 𝐶𝐶(0,15, −30) y 𝐷𝐷(1,2, −1), se pide:
3.2.1 (0.5 puntos) Estudiar si el triángulo 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 está contenido en el plano 𝜋𝜋.
3.2.2 (1.25 puntos) Calcular las coordenadas de la proyección del punto 𝐷𝐷 sobre el plano formado por los puntos 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 y 𝐶𝐶.
3.2.3 (0.75 puntos) Calcular la distancia del punto 𝐷𝐷 al plano 𝜋𝜋 .
PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2.5 puntos) Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2
4.1 Un brote de gripe se propaga a lo largo de unos días. El coeficiente de gravedad de la gripe 𝑡𝑡 días después de iniciarse el brote viene dado por una función 𝐹𝐹(𝑡𝑡) cuya derivada es 𝐹𝐹 ′ (𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 2 (10 − 𝑡𝑡). Se pide:
4.1.1 (1.25 puntos) Calcular la función 𝐹𝐹(𝑡𝑡) sabiendo que en 𝑡𝑡 = 0 el coeficiente de gravedad es 6.
4.1.2 (1.25 puntos) Calcular cuántos días después de iniciarse el brote se alcanza el valor máximo del coeficiente y cuál es dicho número.
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4.2 Un arquitecto está diseñando un pequeño invernadero para un jardín. El suelo del invernadero tiene forma de triángulo para maximizar la eficiencia y la captación de luz. El perímetro total del invernadero está fijado en 60 metros para cumplir con las restricciones medioambientales de la zona, uno de los lados del triángulo mide 𝑥𝑥 metros y los otros dos lados tienen la misma longitud. Se pide:
4.2.1 (1 punto) Deducir la expresión de la función 𝐴𝐴(𝑥𝑥) que representa el área del suelo del invernadero.
4.2.2 (1.5 puntos) El arquitecto define una función de eficiencia estructural, 𝑓𝑓(𝑥𝑥), que se calcula como el cuadrado del área del suelo del invernadero. Obtener el valor de 𝑥𝑥 para el que la eficiencia estructural es máxima y hallar el área en este caso.
𝒙𝒙
Taula de la distribució binomial (Bin(n,p)) Tabla de la distribución binomial (Bin(n,p))
0,01
0,05
0,10
0,20
0,25
0,30
0,9900 1,0000
0,9500 1,0000
0,9000 1,0000
0,8000 1,0000
0,7500 1,0000
0,7000 1,0000
0,9801 0,9999 1,0000
0,9025 0,9975 1,0000
0,8100 0,9900 1,0000
0,6400 0,9600 1,0000
0,5625 0,9375 1,0000
0,9703 0,9997 1,0000 1,0000
0,8574 0,9928 0,9999 1,0000
0,7290 0,9720 0,9990 1,0000
0,5120 0,8960 0,9920 1,0000
0,9606 0,9994 1,0000 1,0000 1,0000
0,8145 0,9860 0,9995 1,0000 1,0000
0,6561 0,9477 0,9963 0,9999 1,0000
0,9510 0,9990 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,7738 0,9774 0,9988 1,0000 1,0000 1,0000
0,9415 0,9985 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
𝒏𝒏 𝑭𝑭(𝒙𝒙) = 𝑷𝑷(𝑿𝑿 ≤ 𝒙𝒙) = � � � 𝒑𝒑𝒌𝒌 𝒒𝒒𝒏𝒏−𝒌𝒌 𝒌𝒌 0,35
0,40
0,6667 1,0000
0,6500 1,0000
0,4900 0,9100 1,0000
0,4444 0,8889 1,0000
0,4219 0,8438 0,9844 1,0000
0,3430 0,7840 0,9730 1,0000
0,4096 0,8192 0,9728 0,9984 1,0000
0,3164 0,7383 0,9492 0,9961 1,0000
0,5905 0,9185 0,9914 0,9995 1,0000 1,0000
0,3277 0,7373 0,9421 0,9933 0,9997 1,0000
0,7351 0,9672 0,9978 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000
0,5314 0,8857 0,9842 0,9987 0,9999 1,0000 1,0000
0,9321 0,9980 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,6983 0,9556 0,9962 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,9227 0,9973 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,9135 0,9966 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
𝒌𝒌=𝟎𝟎
0,45
0,50
0,6000 1,0000
0,5500 1,0000
0,5000 1,0000
0,4225 0,8775 1,0000
0,3600 0,8400 1,0000
0,3025 0,7975 1,0000
0,2500 0,7500 1,0000
0,2963 0,7407 0,9630 1,0000
0,2746 0,7183 0,9571 1,0000
0,2160 0,6480 0,9360 1,0000
0,1664 0,5748 0,9089 1,0000
0,1250 0,5000 0,8750 1,0000
0,2401 0,6517 0,9163 0,9919 1,0000
0,1975 0,5926 0,8889 0,9877 1,0000
0,1785 0,5630 0,8735 0,9850 1,0000
0,1296 0,4752 0,8208 0,9744 1,0000
0,0915 0,3910 0,7585 0,9590 1,0000
0,0625 0,3125 0,6875 0,9375 1,0000
0,2373 0,6328 0,8965 0,9844 0,9990 1,0000
0,1681 0,5282 0,8369 0,9692 0,9976 1,0000
0,1317 0,4609 0,7901 0,9547 0,9959 1,0000
0,1160 0,4284 0,7648 0,9460 0,9947 1,0000
0,0778 0,3370 0,6826 0,9130 0,9898 1,0000
0,0503 0,2562 0,5931 0,8688 0,9815 1,0000 …
Soluciones y criterios de corrección en texto
PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATÒRIA:
CONVOCATORIA:
ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES II
ASSIGNATURA:
ASIGNATURA:
MATEMÁTICAS MATEMÀTIQUES II II
CRITERIS DE CORRECCIÓ / CRITERIOS DE CORRECCIÓN En les respostes s’han d’escriure tots els passos del raonament utilitzat
PREGUNTA 1: PROBABILITAT I ESTADÍSTICA (2.5 punts) Rafa i Roger són dos tennistes que s’han enfrontat al llarg de les seues carreres professionals en tres tipus de superfícies: herba, terra batuda i pista dura. El 10% dels partits es van jugar en herba i el 40% en terra batuda.
D’altra banda, Rafa va guanyar el 25% dels partits jugats en herba, mentre que Roger va guanyar el 12.5% dels jugats en terra batuda i el 55% en pista dura.
Respon a tots els apartats
1.1 (0.75 punts) Entre tots els enfrontaments, quin és el percentatge de partits que ha guanyat Roger?
1.2 (0.75 punts) Si Rafa va guanyar un partit, quina és la probabilitat que es jugara en pista dura?
1.3 (1 punt) Si prenem una mostra de 10 partits jugats en pista dura, quina és la probabilitat que Roger hi haja guanyat 5 o 6 partits?
Solució:
1.1. 𝑃(Roger) = " = 0,4. Això és el 40%.
1.2. 𝑃(PD⁄Rafa) = $ = 0,375.
1.3. 𝑋 =Nombre de partits que ha guanyat Roger en pista dura ≡ 𝐵(𝑛 = 10, 𝑝 = 0.55).
𝑌 =Nombre de partits que ha guanyat Rafa en pista dura ≡ 𝐵(𝑛 = 10, 𝑝 = 0.45).
𝑃(5 ≤ 𝑋 ≤ 6) = 𝑃(4 ≤ 𝑌 ≤ 5) = 0.7384 − 0.2660 = 0.4724.
PREGUNTA 2: ÀLGEBRA (2.5 punts) Respon a l’apartat 2.1 o a l’apartat 2.2
2.1 Mitjançant un procés de barreja continu en tres tancs interconnectats, una planta química produeix tres compostos, X, Y, Z, lligats a uns valors reals 𝑥, 𝑦, 𝑧, respectivament, anomenats pseudodensitats. Les pseudodensitats en els tancs han d’estar en equilibri per a mantenir-hi la concentració desitjada dels productes. Els enginyers del procés han establit les condicions d’equilibri següents:
• Tanc 1. La suma de la pseudodensitat 𝑥 més el triple de la pseudodensitat 𝑦 més la pseudodensitat 𝑧 ha de valdre 5.
• Tanc 2. La suma de 𝛼 vegades la pseudodensitat 𝑥 més el doble de la pseudodensitat 𝑧 s’ha d’anul·lar, on 𝛼 és el factor catalitzador.
• Tanc 3. La pseudodensitat 𝑧 ha de ser 𝛼 vegades la pseudodensitat 𝑦.
ASI
2.1.1 (1.25 punts) Estudia l’existència i el nombre de solucions 𝑥, 𝑦, 𝑧 (les possibles configuracions d’equilibri) en funció dels valors del factor catalitzador 𝛼.
2.1.2 (1.25 punts) Quan el factor catalitzador satisfà 𝛼 ≠ −1, el procés assoleix estats d’equilibri factibles. En aquest cas, calcula, si existeixen, els valors 𝑥, 𝑦, 𝑧, en funció del valor 𝛼.
Solució:
2.1.1. Si 𝛼 ≠ 0, −1, el sistema és compatible determinat. Si 𝛼 = 0, el sistema és compatible indeterminat. Si 𝛼 = −1, el sistema és incompatible.
%&'
")
2.1.2. Per a 𝛼 ≠ 0, −1, la solució és (𝑥, 𝑦, 𝑧) = J&() , &() , &()K. Per a 𝛼 = 0, la solució és (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5 − 3𝑡, 𝑡, 0).
___________________________________________________________________________
2.2 Donades les matrius 𝐴 = J
2 −1
5 −2 K, 𝐵 = J K i el vector 𝑏 = J K:
1 1 2 3
2.2.1 (1 punt) Resol el sistema d’equacions 𝐴𝑥 = 𝐵𝑥 + 𝑏.
2.2.2 (0.75 punts) Troba el valor de det(𝐴" (2𝐵)%& ).
2.2.3 (0.75 punts) Calcula els valors de 𝛼 i 𝛽, si n’hi ha, que satisfan 𝛼𝐴 + 𝛽𝐵 = 𝐼, sent 𝐼 la matriu identitat.
Solució:
2.2.1. 𝑥 = T
2.2.2.
−2/7 V.
!"#
$%
2.2.3. 𝛼 = −2 i 𝛽 = 1.
PREGUNTA 3: GEOMETRIA (2.5 punts) Respon a l’apartat 3.1 o a l’apartat 3.2
3.1 Es consideren els punts de l’espai 𝐴(0, −1,0) i 𝐵(1,0,1), i el vector 𝑣 = (2, −1,1).
3.1.1 (0.75 punts) Troba una equació del pla 𝜋 que és perpendicular a 𝑣 i passa per 𝐴.
3.1.2 (0.75 punts) Troba una equació de la recta que és perpendicular a 𝜋 𝑖 passa per 𝐵.
3.1.3 (0.75 punts) Troba el punt 𝐶 del pla 𝜋 que està més prop de 𝐵.
3.1.4 (0.25 punts) Calcula la distància del punt 𝐵 al pla 𝜋.
Solució:
3.1.1. 𝜋: 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1.
3.1.2. (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1 + 2𝛼, −𝛼, 1 + 𝛼).
& & !
3.1.3. 𝐶 J# , # , #K.
3.1.4. 𝑑(𝐵, 𝜋) =
√+
≈ 0.8165.
___________________________________________________________________________
3.2 Donat el pla 𝜋: 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0 i els punts 𝐴(0,0,0), 𝐵(10,0, −20), 𝐶(0,15, −30) i 𝐷(1,2, −1):
3.2.1 (0.5 punts) Estudia si el triangle 𝐴𝐵𝐶 està contingut en el pla 𝜋.
3.2.2 (1.25 punts) Calcula les coordenades de la projecció del punt D sobre el pla format pels punts A, B i C.
3.2.3 (0.75 punts) Calcula la distància del punt 𝐷 al pla 𝜋.
Solució:
3.2.1. No ho està. Els punts 𝐵 i 𝐶 no estan continguts en el pla.
%& $ %&-
3.2.2. La projecció és el punt J , , , , , K.
3.2.3. 𝑑(𝐷, 𝜋) =
√&-
≈ 2.4054.
PREGUNTA 4: ANÀLISI (2.5 punts) Respon a l’apartat 4.1 o a l’apartat 4.2
4.1 Un brot de grip es propaga durant uns dies. El coeficient de gravetat de la grip t dies després d’iniciar-se el brot ve donat per una funció F(t) amb una derivada 𝐹 . (𝑡) = 𝑡 ! (10 − 𝑡).
4.1.1 (1.25 punts) Calcula la funció 𝐹(𝑡) sabent que en 𝑡 = 0 el coeficient de gravetat és 6.
4.1.2 (1.25 punts) Calcula quants dies després d’iniciar-se el brot s’arriba al valor màxim del coeficient i quin és aquest número.
Solució:
&'
4.1.1. 𝐹(𝑡) = − - 𝑡 - + # 𝑡 # + 6.
4.1.2. El màxim és als 10 dies i el valor d’aquest és 𝐹(10) = 839.33.
___________________________________________________________________________
4.2 Un arquitecte dissenya un hivernacle menut per a un jardí. El terra de l’hivernacle té forma de triangle per a maximitzar-ne l’eficiència i la captació de llum. El perímetre total de l’hivernacle està fixat en 60 metres per a complir amb les restriccions mediambientals de la zona. Un dels costats del triangle fa 𝑥 metres i els altres dos costats tenen la mateixa longitud.
4.2.1 (1 punt) Dedueix l’expressió de la funció 𝐴(𝑥) que representa l’àrea del terra de l’hivernacle.
4.2.2 (1.5 punts) L’arquitecte defineix una funció d’eficiència estructural 𝑓(𝑥) que es calcula com el quadrat de l’àrea del terra de l’hivernacle. Obtín el valor de 𝑥 per al qual l’eficiència estructural és màxima i troba’n l’àrea en aquest cas.
Solució:
4.2.1. 𝐴(𝑥) = ! √900 − 30𝑥.
/!
-"
4.2.2. 𝑓(𝑥) = - (900 − 30𝑥). 𝑓 . (𝑥) = 450𝑥 − ! 𝑥 ! . El màxim s’obté per a 𝑥 = 20 metres, la segona derivada és negativa. 𝐴(20) = 100√3 ≈ 173.205 𝑚! .
En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.
PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2.5 puntos) Rafa y Roger son dos tenistas que se han enfrentado a lo largo de sus carreras profesionales en tres tipos superficies: hierba, tierra batida y pista dura. El 10% de los partidos se jugaron en hierba y el 40% en tierra batida.
Por otra parte, Rafa ganó el 25% de los partidos jugados en hierba, mientras que Roger ganó el 12.5% de los jugados en tierra batida y el 55% en pista dura. Se pide:
Responda a todos los apartados
1.1 (0.75 puntos) Entre todos sus enfrentamientos, ¿cuál es el porcentaje de partidos que ha ganado Roger?
1.2 (0.75 puntos) Si un partido fue ganado por Rafa, ¿cuál es la probabilidad de que se jugara en pista dura?
1.3 (1 punto) Si tomamos una muestra de 10 partidos jugados en pista dura, ¿cuál es la probabilidad de que Roger haya ganado 5 o 6 partidos?
Solución:
1.1. 𝑃(𝑅𝑜𝑔𝑒𝑟) = " = 0.4. Esto es el 40%.
1.2. 𝑃(PD⁄Rafa) = $ = 0.375.
1.3. 𝑋 = Número de partidos ganados por Roger en pista dura ≡ 𝐵(𝑛 = 10, 𝑝 = 0.55).
𝑌 = Número de partidos ganados por Rafa en pista dura ≡ 𝐵(𝑛 = 10, 𝑝 = 0.45).
𝑃(5 ≤ 𝑋 ≤ 6) = 𝑃(4 ≤ 𝑌 ≤ 5) = 0.7384 − 0.2660 = 0.4724.
PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2.5 puntos) Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2
2.1 Mediante un proceso de mezclado continuo en tres tanques interconectados, una planta química produce tres compuestos, X, Y, Z, ligados a unos valores reales 𝑥, 𝑦, 𝑧, respectivamente, llamados pseudodensidades. Las pseudodensidades en los tanques deben estar en equilibrio para mantener la concentración deseada de los productos. Los ingenieros del proceso han establecido las siguientes condiciones de equilibrio:
• Tanque 1: La suma de la pseudodensidad 𝑥, más el triple de la pseudodensidad 𝑦, más la pseudodensidad 𝑧 ha de valer 5.
• Tanque 2: La suma de 𝛼 veces la pseudodensidad 𝑥, mas el doble de la pseudodensidad 𝑧 debe anularse, donde 𝛼 es el factor catalizador.
• Tanque 3: La pseudodensidad 𝑧 ha de ser 𝛼 veces la pseudodensidad 𝑦.
Se pide:
2.1.1 (1.25 puntos) Estudiar la existencia y el número de soluciones 𝑥, 𝑦, 𝑧 (las posibles configuraciones de equilibrio) en función de los valores del factor catalizador 𝛼.
2.1.2 (1.25 puntos) Cuando el factor catalizador satisface 𝛼 ≠ −1, el proceso alcanza estados de equilibrio factibles. En este caso, calcular, si existen, los valores 𝑥, 𝑦, 𝑧, en función del valor 𝛼.
Solución:
2.1.1 Si 𝛼 ≠ 0, −1 , el sistema es compatible determinado. Si 𝛼 = 0, el sistema es compatible indeterminado. Si 𝛼 = −1, el sistema es incompatible.
%&'
")
2.1.2 Para 𝛼 ≠ 0, −1, la solución es (𝑥, 𝑦, 𝑧) = J&() , &() , &()K. Para 𝛼 = 0 , la solución es (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5 − 3𝑡, 𝑡, 0).
___________________________________________________________________________ 2 −1
5 −2
2.2 Dadas las matrices 𝐴 = J K, 𝐵 = J K y el vector 𝑏 = J K, se pide:
1 1 2 3
2.2.1 (1 punto) Resolver el sistema de ecuaciones 𝐴𝑥 = 𝐵𝑥 + 𝑏.
2.2.2 (0.75 puntos) Hallar el valor de det(𝐴" (2𝐵)%& ).
2.2.3 (0.75 puntos) Calcular los valores de 𝛼 y 𝛽, si existen, que satisfacen 𝛼𝐴 + 𝛽𝐵 = 𝐼, siendo 𝐼 la matriz identidad.
Solución:
2.2.1
−2/7 𝑥=T V.
2.2.2
!"#
$%
2.2.3 𝛼 = −2 y 𝛽 = 1.
PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2.5 puntos) Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2
3.1 Se consideran los puntos del espacio 𝐴(0, −1,0) y 𝐵(1,0,1), y el vector 𝑣 = (2, −1,1). Se pide:
3.1.1 (0.75 puntos) Encontrar una ecuación del plano 𝜋 que es perpendicular a 𝑣 y pasa por 𝐴.
3.1.2 (0.75 puntos) Encontrar una ecuación de la recta que es perpendicular a 𝜋 y pasa por 𝐵.
3.1.3 (0.75 puntos) Encontrar el punto 𝐶 del plano 𝜋 que está más cerca de 𝐵.
3.1.4 (0.25 puntos) Calcular la distancia del punto 𝐵 al plano 𝜋.
Solución:
3.1.1 𝜋: 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1.
3.1.2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1 + 2𝛼, −𝛼, 1 + 𝛼).
& & !
3.1.3 𝐶 J# , # , #K.
3.1.4 𝑑(𝐵, 𝜋) =
√+
≈ 0.8165.
___________________________________________________________________________
3.2 Dado el plano 𝜋: 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0 y los puntos 𝐴(0,0,0), 𝐵(10,0, −20), 𝐶(0,15, −30) y 𝐷(1,2, −1), se pide:
3.2.1 (0.5 puntos) Estudiar si el triángulo 𝐴𝐵𝐶 está contenido en el plano 𝜋.
3.2.2 (1.25 puntos) Calcular las coordenadas de la proyección del punto 𝐷 sobre el plano formado por los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶.
3.2.3 (0.75 puntos) Calcular la distancia del punto 𝐷 al plano 𝜋 .
Solución:
3.2.1 No lo está. Los puntos 𝐵 y 𝐶 no están contenidos en el plano.
%& $ %&-
3.2.2 La proyección es el punto J , , , , , K.
3.2.3 𝑑(𝐷, 𝜋) =
√&-
≈ 2.4054.
PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2.5 puntos) Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2
4.1 Un brote de gripe se propaga a lo largo de unos días. El coeficiente de gravedad de la gripe 𝑡 días después de iniciarse el brote viene dado por una función 𝐹(𝑡) cuya derivada es 𝐹 . (𝑡) = 𝑡 ! (10 − 𝑡). Se pide:
4.1.1 (1.25 puntos) Calcular la función 𝐹(𝑡) sabiendo que en 𝑡 = 0 el coeficiente de gravedad es 6.
4.1.2 (1.25 puntos) Calcular cuántos días después de iniciarse el brote se alcanza el valor máximo del coeficiente y cuál es dicho número.
Solución:
&'
4.1.1 𝐹(𝑡) = − - 𝑡 - + # 𝑡 # + 6.
4.1.2 El máximo es a los 10 días y el valor de éste es 𝐹(10) = 839.33.
___________________________________________________________________________
4.2 Un arquitecto está diseñando un pequeño invernadero para un jardín. El suelo del invernadero tiene forma de triángulo para maximizar la eficiencia y la captación de luz. El perímetro total del invernadero está fijado en 60 metros para cumplir con las restricciones medioambientales de la zona, uno de los lados del triángulo mide 𝑥 metros y los otros dos lados tienen la misma longitud. Se pide:
4.2.1 (1 punto) Deducir la expresión de la función 𝐴(𝑥) que representa el área del suelo del invernadero.
4.2.2 (1.5 puntos) El arquitecto define una función de eficiencia estructural, 𝑓(𝑥), que se calcula como el cuadrado del área del suelo del invernadero. Obtener el valor de 𝑥 para el que la eficiencia estructural es máxima y hallar el área en este caso.
Solución:
4.2.1 𝐴(𝑥) = ! √900 − 30𝑥.
/!
-"
4.2.2 𝑓(𝑥) = - (900 − 30𝑥). 𝑓 . (𝑥) = 450𝑥 − ! 𝑥 ! . El máximo se obtiene para 𝑥 = 20 metros, la segunda derivada es negativa. 𝐴(20) = 100√3 ≈ 173.205 𝑚! .
Taula de la distribució binomial (Bin(n,p)) Tabla de la distribución binomial (Bin(n,p))
0,10
𝑭(𝒙) = 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙) = . / 2 𝒑𝒌 𝒒𝒏$𝒌
𝒌&𝟎
0,01
0,05
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,9900 1,0000
0,9500 0,9000 0,8000 0,7500 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,7000 1,0000
0,6667 1,0000
0,6500 1,0000
0,6000 1,0000
0,5500 1,0000
0,5000 1,0000
0,9801 0,9999 1,0000
0,9025 0,8100 0,6400 0,5625 0,9975 0,9900 0,9600 0,9375 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,4900 0,9100 1,0000
0,4444 0,8889 1,0000
0,4225 0,8775 1,0000
0,3600 0,8400 1,0000
0,3025 0,7975 1,0000
0,2500 0,7500 1,0000
0,9703 0,9997 1,0000 1,0000
0,8574 0,9928 0,9999 1,0000
0,7290 0,9720 0,9990 1,0000
0,5120 0,8960 0,9920 1,0000
0,4219 0,8438 0,9844 1,0000
0,3430 0,7840 0,9730 1,0000
0,2963 0,7407 0,9630 1,0000
0,2746 0,7183 0,9571 1,0000
0,2160 0,6480 0,9360 1,0000
0,1664 0,5748 0,9089 1,0000
0,1250 0,5000 0,8750 1,0000
0,9606 0,9994 1,0000 1,0000 1,0000
0,8145 0,9860 0,9995 1,0000 1,0000
0,6561 0,9477 0,9963 0,9999 1,0000
0,4096 0,8192 0,9728 0,9984 1,0000
0,3164 0,7383 0,9492 0,9961 1,0000
0,2401 0,6517 0,9163 0,9919 1,0000
0,1975 0,5926 0,8889 0,9877 1,0000
0,1785 0,5630 0,8735 0,9850 1,0000
0,1296 0,4752 0,8208 0,9744 1,0000
0,0915 0,3910 0,7585 0,9590 1,0000
0,0625 0,3125 0,6875 0,9375 1,0000
0,9510 0,9990 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,7738 0,9774 0,9988 1,0000 1,0000 1,0000
0,5905 0,9185 0,9914 0,9995 1,0000 1,0000
0,3277 0,7373 0,9421 0,9933 0,9997 1,0000
0,2373 0,6328 0,8965 0,9844 0,9990 1,0000
0,1681 0,5282 0,8369 0,9692 0,9976 1,0000
0,1317 0,4609 0,7901 0,9547 0,9959 1,0000
0,1160 0,4284 0,7648 0,9460 0,9947 1,0000
0,0778 0,3370 0,6826 0,9130 0,9898 1,0000
0,0503 0,2562 0,5931 0,8688 0,9815 1,0000
0,0313 0,1875 0,5000 0,8125 0,9688 1,0000
0,9415 0,9985 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,7351 0,9672 0,9978 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000
0,5314 0,8857 0,9842 0,9987 0,9999 1,0000 1,0000
0,2621 0,6554 0,9011 0,9830 0,9984 0,9999 1,0000
0,1780 0,5339 0,8306 0,9624 0,9954 0,9998 1,0000
0,1176 0,4202 0,7443 0,9295 0,9891 0,9993 1,0000
0,0878 0,3512 0,6804 0,8999 0,9822 0,9986 1,0000
0,0754 0,3191 0,6471 0,8826 0,9777 0,9982 1,0000
0,0467 0,2333 0,5443 0,8208 0,9590 0,9959 1,0000
0,0277 0,1636 0,4415 0,7447 0,9308 0,9917 1,0000
0,0156 0,1094 0,3438 0,6563 0,8906 0,9844 1,0000
0,9321 0,9980 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,6983 0,9556 0,9962 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,4783 0,8503 0,9743 0,9973 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000
0,2097 0,5767 0,8520 0,9667 0,9953 0,9996 1,0000 1,0000
0,1335 0,4449 0,7564 0,9294 0,9871 0,9987 0,9999 1,0000
0,0824 0,3294 0,6471 0,8740 0,9712 0,9962 0,9998 1,0000
0,0585 0,2634 0,5706 0,8267 0,9547 0,9931 0,9995 1,0000
0,0490 …
Fuente oficial: Generalitat Valenciana.