Matemáticas II PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CONVOCATÒRIA:

CONVOCATORIA:

JULIOL 2025

JULIO 2025

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS II

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES II

BAREM DE L’EXAMEN: Cada pregunta puntua fins a 2,5 punts.

La qualificació de l’examen serà la suma de les qualificacions de cada pregunta.

Es permet l’ús de calculadores sempre que no siguen gràfiques o programables, i que no puguen realitzar càlculs simbòlics ni emmagatzemar text o fórmules en memòria. S’use o no la calculadora, els resultats analítics, numèrics i gràfics han d’estar sempre degudament justificats.

Per cada falta d’ortografia a partir de la tercera s’han de deduir 0,10 punts, fins a un màxim d’un punt.

Per errors en la redacció, en la presentació, falta de coherència, falta de cohesió, incorrecció lèxica i incorrecció gramatical es podrà deduir un màxim de mig punt. La deducció màxima total és d’un punt.

En les respostes s’han d’escriure tots els passos del raonament utilitzat.

PREGUNTA 1: PROBABILITAT I ESTADÍSTICA (2,5 punts) L’empresa TikiTak ha realitzat un estudi del comportament dels seus usuaris i ha observat que les 3/5 parts de les seues publicacions reben un “Like”. Joana és una usuària de TikiTak.

1.1 (0,75 punts) Quina és la probabilitat que Joana no reba cap “Like” si ha pujat a la plataforma TikiTak quatre publicacions?

1.2 (0,75 punts) Quina és la probabilitat que Joana no reba més de dos “Likes” en les quatre publicacions?

1.3 (1 punt) Joana desitja que la probabilitat de rebre almenys un “Like” siga major que 0,999. Quin és el menor nombre de publicacions que ha de pujar per a aconseguir-ho?

PREGUNTA 2: ÀLGEBRA (2,5 punts) Respon a l’apartat 2.1 o a l’apartat 2.2 −2 1 1 2 3 −1 ),𝐵=( )i𝐶=( ).

3 −2 0 −1 −3 3

2.1 Donades les matrius 𝐴 = ( Obtín:

2.1.1 (1,25 punts) La matriu 𝑋 solució de l’equació (𝐴−1 𝑋)−1 = 𝐴(𝐵2 𝐴)−1.

2.1.2 (0,5 punts) El determinant de la matriu (3𝐴5 𝐵)2 .

2.1.3 (0,75 punts) Els valors de a i 𝑏, si existeixen, tals que 𝑎𝐵100 + 𝑏𝐵 99 = 𝐴 + 𝐶.

___________________________________________________________________________

2.2 Donat el següent sistema d’equacions lineals que depenen del paràmetre real 𝑎:

𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑧 = −𝑎 𝑎𝑥 { − 𝑦+𝑧=𝑎 .

𝑎𝑥 + 𝑦 = 𝑎

2.2.1 (1,25 punts) Discuteix el sistema d’equacions en funció dels valors del paràmetre 𝑎.

2.2.2 (1,25 punts) Calcula el conjunt de solucions del sistema per als valors de 𝑎 per als quals el sistema és compatible determinat.

PREGUNTA 3: GEOMETRIA (2,5 punts) Respon a l’apartat 3.1 o a l’apartat 3.2

3.1 Donats els plans 𝜋1 : 𝑥 + 2𝑦 + 𝑚𝑧 = −1, on 𝑚 és un paràmetre real, i 𝜋2 : 𝑥 + 𝑧 = 6:

3.1.1 (0,5 punts) Calcula el valor de 𝑚, si existeix, per al qual 𝜋1 i 𝜋2 són perpendiculars.

3.1.2 (1,25 punts) Calcula el valor de 𝑚 per al qual 𝜋1 i 𝜋2 formen un angle de 45 graus.

3.1.3 (0,75 punts) Determina l’equació paramètrica de la recta intersecció de 𝜋1 i 𝜋2 .

___________________________________________________________________________

3.2 Donat el pla 𝜋: 3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2 i els punts 𝑃 = (0,1, −1) i 𝑄 = (1, 𝑎, 1), calcula:

3.2.1 (1,25 punts) Els valors del paràmetre 𝑎, si existeixen, per als quals la recta que passa per 𝑃 i 𝑄 està continguda en el pla 𝜋.

3.2.2 (1,25 punts) Per a 𝑎 = 1, el punt simètric de 𝑄 respecte del pla 𝜋.

PREGUNTA 4: ANÀLISI (2,5 punts) Respon a l’apartat 4.1 o a l’apartat 4.2

4.1 Donada la funció real de variable real

𝑥2 + 1

4.1.1 (0,5 punts) Determina el domini, les asímptotes i els intervals de creixement i decreixement de la funció 𝑓.

𝑓(𝑥) =

4.1.2 (1,5 punts) Calcula, si existeixen, els valors màxims i mínims relatius i absoluts de la funció 𝑓.

4.1.3 (0,5 punts) Representa la funció 𝑓.

___________________________________________________________________________

4.2 Donades les funcions reals de variable real 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 i 𝑔(𝑥) = 8𝑥:

4.2.1 (0,5 punts) Determina el domini, les asímptotes i els intervals de creixement i decreixement de la funció 𝑓.

4.2.2 (0,25 punts) Dibuixa les gràfiques d’ambdues funcions.

4.2.3 (1,75 punts) Calcula l’àrea del recinte delimitat per l’eix d’abscisses, la recta 𝑥 = 1 i les gràfiques de les dues funcions 𝑦 = 𝑓(𝑥) i 𝑦 = 𝑔(𝑥).

BAREMO DEL EXAMEN: Cada pregunta se puntuará hasta 2,5 puntos.

La calificación del examen será la suma de las calificaciones de cada pregunta.

Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculos simbólicos ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.

Por cada falta de ortografía a partir de la tercera se deducirán 0,10 puntos, hasta un máximo de un punto.

Por errores en la redacción, en la presentación, falta de coherencia, falta de cohesión, incorrección léxica e incorrección gramatical se podrá deducir un máximo de medio punto. La deducción máxima total es de un punto.

En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2,5 puntos) La empresa TikiTak ha realizado un estudio del comportamiento de sus usuarios y ha observado que las 3/5 partes de sus publicaciones reciben un “Like”. Juana es una usuaria de TikiTak. Se pide:

1.1 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba ningún “Like” si ha subido a la plataforma TikiTak cuatro publicaciones?

1.2 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba más de dos “Likes” en sus cuatro publicaciones?

1.3 (1 punto) Juana desea que la probabilidad de recibir al menos un “Like” sea mayor que 0.999. ¿Cuál es el menor número de publicaciones que ha de subir para conseguirlo?

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos) Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.1 Se dan las matrices 𝐴 = (

−2 1 1 2 3 −1 ),𝐵=( ) y 𝐶=( ).

3 −2 0 −1 −3 3

Obtener:

2.1.1 (1.25 puntos) La matriz 𝑋 solución de la ecuación (𝐴−1 𝑋)−1 = 𝐴(𝐵 2 𝐴)−1.

2.1.2 (0.5 puntos) El determinante de la matriz (3𝐴5 𝐵)2.

2.1.3 (0.75 puntos) Los valores de 𝑎 y 𝑏, si existen, tales que 𝑎𝐵100 + 𝑏𝐵 99 = 𝐴 + 𝐶.

___________________________________________________________________________

2.2 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que dependen del parámetro real 𝑎:

𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑧 = −𝑎 𝑎𝑥 { − 𝑦+𝑧=𝑎 .

𝑎𝑥 + 𝑦 = 𝑎 Se pide:

2.2.1 (1.25 puntos) Discutir el sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro 𝑎.

2.2.2 (1.25 puntos) Calcular el conjunto de soluciones del sistema para aquellos valores de 𝑎 para los que el sistema es compatible determinado.

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos) Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.1 Dados los planos 𝜋1 : 𝑥 + 2𝑦 + 𝑚𝑧 = −1, donde 𝑚 es un parámetro real, y 𝜋2 : 𝑥 + 𝑧 = 6.

3.1.1 (0.5 puntos) Encontrar el valor de 𝑚, si existe, para el que 𝜋1 y 𝜋2 son perpendiculares.

3.1.2 (1.25 puntos) Encontrar el valor de 𝑚 para el que 𝜋1 y 𝜋2 forman un ángulo de 45 grados.

3.1.3 (0.75 puntos) Calcular la ecuación paramétrica de la recta intersección de 𝜋1 y 𝜋2 .

___________________________________________________________________________

3.2 Dado el plano 𝜋: 3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2 y los puntos 𝑃 = (0,1, −1) y 𝑄 = (1, 𝑎, 1), calcular:

3.2.1 (1.25 puntos) Los valores del parámetro 𝑎, si existen, para los que la recta que pasa por 𝑃 y 𝑄 está contenida en el plano 𝜋.

3.2.2 (1.25 puntos) Para 𝑎 = 1, el punto simétrico de 𝑄 respecto del plano 𝜋.

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos) Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.1 Dada la función real de variable real 𝑓(𝑥) =

𝑥2 + 1

se pide:

4.1.1 (0.5 puntos) Hallar el dominio, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓.

4.1.2 (1.5 puntos) Calcular, si existen, los valores máximos y mínimos relativos y absolutos de la función 𝑓.

4.1.3 (0.5 puntos) Representar la función 𝑓.

___________________________________________________________________________

4.2 Dadas las funciones reales de variable real 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 y 𝑔(𝑥) = 8𝑥, se pide:

4.2.1 (0.5 puntos) Hallar el dominio, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓.

4.2.2 (0.25 puntos) Dibujar las gráficas de ambas funciones.

4.2.3 (1.75 puntos) Calcular el área del recinto delimitado por el eje de abscisas, la recta 𝑥 = 1 y las gráficas de las dos funciones 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥).

Taula de la distribució binomial (Bin(n,p)) Tabla de la distribución binomial (Bin(n,p))

𝑭(𝒙) = 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙) = ∑ ( ) 𝒑𝒌 𝒒𝒏−𝒌

𝒌=𝟎

0,01

0,05

0,10

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,9900 1,0000

0,9500 1,0000

0,9000 1,0000

0,8000 1,0000

0,7500 1,0000

0,7000 1,0000

0,6667 1,0000

0,6500 1,0000

0,6000 1,0000

0,5500 1,0000

0,5000 1,0000

0,9801 0,9999 1,0000

0,9025 0,9975 1,0000

0,8100 0,9900 1,0000

0,6400 0,9600 1,0000

0,5625 0,9375 1,0000

0,4900 0,9100 1,0000

0,4444 0,8889 1,0000

0,4225 0,8775 1,0000

0,3600 0,8400 1,0000

0,3025 0,7975 1,0000

0,2500 0,7500 1,0000

0,9703 0,9997 1,0000 1,0000

0,8574 0,9928 0,9999 1,0000

0,7290 0,9720 0,9990 1,0000

0,5120 0,8960 0,9920 1,0000

0,4219 0,8438 0,9844 1,0000

0,3430 0,7840 0,9730 1,0000

0,2963 0,7407 0,9630 1,0000

0,2746 0,7183 0,9571 1,0000

0,2160 0,6480 0,9360 1,0000

0,1664 0,5748 0,9089 1,0000

0,1250 0,5000 0,8750 1,0000

0,9606 0,9994 1,0000 1,0000 1,0000

0,8145 0,9860 0,9995 1,0000 1,0000

0,6561 0,9477 0,9963 0,9999 1,0000

0,4096 0,8192 0,9728 0,9984 1,0000

0,3164 0,7383 0,9492 0,9961 1,0000

0,2401 0,6517 0,9163 0,9919 1,0000

0,1975 0,5926 0,8889 0,9877 1,0000

0,1785 0,5630 0,8735 0,9850 1,0000

0,1296 0,4752 0,8208 0,9744 1,0000

0,0915 0,3910 0,7585 0,9590 1,0000

0,0625 0,3125 0,6875 0,9375 1,0000

0,9510 0,9990 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,7738 0,9774 0,9988 1,0000 1,0000 1,0000

0,5905 0,9185 0,9914 0,9995 1,0000 1,0000

0,3277 0,7373 0,9421 0,9933 0,9997 1,0000

0,2373 0,6328 0,8965 0,9844 0,9990 1,0000

0,1681 0,5282 0,8369 0,9692 0,9976 1,0000

0,1317 0,4609 0,7901 0,9547 0,9959 1,0000

0,1160 0,4284 0,7648 0,9460 0,9947 1,0000

0,0778 0,3370 0,6826 0,9130 0,9898 1,0000

0,0503 0,2562 0,5931 0,8688 0,9815 1,0000

0,0313 0,1875 0,5000 0,8125 0,9688 1,0000

0,9415 0,9985 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,7351 0,9672 0,9978 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000

0,5314 0,8857 0,9842 0,9987 0,9999 1,0000 1,0000

0,2621 0,6554 0,9011 0,9830 0,9984 0,9999 1,0000

0,1780 0,5339 0,8306 0,9624 0,9954 0,9998 1,0000

0,1176 0,4202 0,7443 0,9295 0,9891 0,9993 1,0000

0,0878 0,3512 0,6804 0,8999 0,9822 0,9986 1,0000

0,0754 0,3191 0,6471 0,8826 0,9777 0,9982 1,0000

0,0467 0,2333 0,5443 0,8208 0,9590 0,9959 1,0000

0,0277 0,1636 0,4415 0,7447 0,9308 0,9917 1,0000

0,0156 0,1094 0,3438 0,6563 0,8906 0,9844 1,0000

0,9321 0,9980 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,6983 0,9556 0,9962 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,4783 0,8503 0,9743 0,9973 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000

0,2097 0,5767 0,8520 0,9667 0,9953 0,9996 1,0000 1,0000

0,1335 0,4449 0,7564 0,9294 0,9871 0,9987 0,9999 1,0000

0,0824 0,3294 0,6471 0,8740 0,9712 0,9962 0,9998 1,0000

0,0585 0,2634 0,5706 0,8267 0,9547 0,9931 0,9995 1,0000

0,0490 0,2338 0,5323 0,8002 0,9444 0,9910 0,9994 1,0000

0,0280 0,1586 0,4199 0,7102 0,9037 0,9812 0,9984 1,0000

0,0152 0,1024 0,3164 0,6083 0,8471 0,9643 0,9963 1,0000

0,0078 0,0625 0,2266 0,5000 0,7734 0,9375 0,9922 1,0000

0,9227 0,9973 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,6634 0,9428 0,9942 0,9996 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,4305 0,8131 0,9619 0,9950 0,9996 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,1678 0,5033 0,7969 0,9437 0,9896 0,9988 0,9999 1,0000 1,0000

0,1001 0,3671 0,6785 0,8862 0,9727 0,9958 0,9996 1,0000 1,0000

0,0576 0,2553 0,5518 0,8059 0,9420 0,9887 0,9987 0,9999 1,0000

0,0390 0,1951 0,4682 0,7414 0,9121 0,9803 0,9974 0,9998 1,0000

0,0319 0,1691 0,4278 0,7064 0,8939 0,9747 0,9964 0,9998 1,0000

0,0168 0,1064 0,3154 0,5941 0,8263 0,9502 0,9915 0,9993 1,0000

0,0084 0,0632 0,2201 0,4770 0,7396 0,9115 0,9819 0,9983 1,0000

0,0039 0,0352 0,1445 0,3633 0,6367 0,8555 0,9648 0,9961 1,0000

0,9135 0,9966 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,6302 0,9288 0,9916 0,9994 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,3874 0,7748 0,9470 0,9917 0,9991 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,1342 0,4362 0,7382 0,9144 0,9804 0,9969 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000

0,0751 0,3003 0,6007 0,8343 0,9511 0,9900 0,9987 0,9999 1,0000 1,0000

0,0404 0,1960 0,4628 0,7297 0,9012 0,9747 0,9957 0,9996 1,0000 1,0000

0,0260 0,1431 0,3772 0,6503 0,8552 0,9576 0,9917 0,9990 0,9999 1,0000

0,0207 0,1211 0,3373 0,6089 0,8283 0,9464 0,9888 0,9986 0,9999 1,0000

0,0101 0,0705 0,2318 0,4826 0,7334 0,9006 0,9750 0,9962 0,9997 1,0000

0,0046 0,0385 0,1495 0,3614 0,6214 0,8342 0,9502 0,9909 0,9992 1,0000

0,0020 0,0195 0,0898 0,2539 0,5000 0,7461 0,9102 0,9805 0,9980 1,0000

0,9044 0,9957 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,5987 0,9139 0,9885 0,9990 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,3487 0,7361 0,9298 0,9872 0,9984 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,1074 0,3758 0,6778 0,8791 0,9672 0,9936 0,9991 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000

0,0563 0,2440 0,5256 0,7759 0,9219 0,9803 0,9965 0,9996 1,0000 1,0000 1,0000

0,0282 0,1493 0,3828 0,6496 0,8497 0,9527 0,9894 0,9984 0,9999 1,0000 1,0000

0,0173 0,1040 0,2991 0,5593 0,7869 0,9234 0,9803 0,9966 0,9996 1,0000 1,0000

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