Matemáticas II PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

PROVA D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CONVOCATÒRIA:

JULIOL 2025 (reserva)

CONVOCATORIA:

ASSIGNATURA: MATEMÀTIQUES II

JULIO 2025 (reserva)

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS II

BAREM DE L’EXAMEN: Cada pregunta puntua fins a 2,5 punts.

La qualificació de l’examen serà la suma de les qualificacions de cada pregunta.

Es permet l’ús de calculadores sempre que no siguen gràfiques o programables, i que no puguen realitzar càlculs simbòlics ni emmagatzemar text o fórmules en memòria. S’use o no la calculadora, els resultats analítics, numèrics i gràfics han d’estar sempre degudament justificats.

Per cada falta d’ortografia a partir de la tercera s’han de deduir 0,10 punts, fins a un màxim d’un punt.

Per errors en la redacció, en la presentació, falta de coherència, falta de cohesió, incorrecció lèxica i incorrecció gramatical es podrà deduir un màxim de mig punt. La deducció màxima total és d’un punt.

BAREMO DEL EXAMEN: Cada pregunta se puntuará hasta 2,5 puntos.

La calificación del examen será la suma de las calificaciones de cada pregunta.

Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculos simbólicos ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.

Por cada falta de ortografía a partir de la tercera se deducirán 0,10 puntos, hasta un máximo de un punto.

Por errores en la redacción, en la presentación, falta de coherencia, falta de cohesión, incorrección léxica e incorrección gramatical se podrá deducir un máximo de medio punto. La deducción máxima total es de un punto.

En les respostes s’han d’escriure tots els passos del raonament utilitzat.

PREGUNTA 1: PROBABILITAT I ESTADÍSTICA (2,5 punts) S’ha realitzat una enquesta a 120 membres d’un club de lectura sobre les seues preferències literàries. La taula següent mostra els resultats classificats per edat i tipus d’obra preferit.

Edat/Tipus d'obra

Novel·la

Poesia

Obres de teatre

Assajos

< 25 anys

25 – 60 anys

> 60 anys

1.1 (0,75 punts) Quina és la probabilitat que el tipus d’obra preferit d’una persona seleccionada a l’atzar no siga l’assaig?

1.2 (0,75 punts) Si se sap que un membre del club NO té com a tipus d’obra preferit la poesia, quina és la probabilitat que tinga 25 anys o més?

1.3 (1 punt) Donats 10 membres del club que tenen entre 25 i 60 anys, tots dos inclosos, quina és la probabilitat que com a màxim 3 d’ells tinguen com a tipus d’obra preferit o bé les obres de teatre o bé els assajos?

PREGUNTA 2: ÀLGEBRA (2,5 punts) Respon a l’apartat 2.1 o a l’apartat 2.2

2.1 Donades les matrius 𝐴 = ( 2

1) i 𝐵 = (1 0 −2

), calcula:

2.1.1 (0,75 punts) La matriu 𝑋, si existeix, tal que 2𝐴𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝐼, on 𝐼 és la matriu identitat 2 × 2.

2.1.2 (0,75 punts) Si existeixen, els valors del paràmetre real 𝛼 tals que 4𝐴2 + 𝛼𝐴 − 𝐼 = 0, on 0 és la matriu nul·la 2 × 2.

2.1.3 (1 punt) 𝐴12 .

___________________________________________________________________________

2.2 Siga el sistema d’equacions lineals 3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1 − 𝑎 (1 { + 𝑎)𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 𝑎

𝑎𝑥 − 𝑦 + 𝑧 =1−𝑎 on 𝑎 és un paràmetre real.

2.2.1 (1,25 punts) Discuteix el sistema en funció del paràmetre 𝑎.

2.2.2 (1,25 punts) Calcula les solucions del sistema quan aquest siga compatible.

PREGUNTA 3: GEOMETRIA (2,5 punts) Respon a l’apartat 3.1 o a l’apartat 3.2

3.1 Donat el pla 𝜋: 2𝑥 − 𝑧 = 1, determina:

3.1.1 (1,25 punts) Si existeix, el pla perpendicular a π que conté la recta 𝑟: {

2𝑥 − 𝑦 = 0

𝑧=𝑦

3.1.2 (1,25 punts) Els plans paral·lels a π la distància dels quals al punt 𝑃 = (0,1,2) és 2.

___________________________________________________________________________

3.2 Es considera el pla 𝜋 amb equació 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0 i els quatre punts 𝐴 = (0,0,0), 𝐵 = (10,0, −20), 𝐶 = (0,15, −30) i 𝐷 = (1,2, −1).

3.2.1 (0,5 punts) Comprova si el triangle 𝐴𝐵𝐶 pertany al pla 𝜋.

3.2.2 (0,5 punts) Calcula la distància del punt 𝐷 al pla 𝜋.

3.2.3 (1,5 punts) Calcula les coordenades de la projecció del punt 𝐷 sobre el pla format pels punts 𝐴, 𝐵 i 𝐶.

PREGUNTA 4: ANÀLISI (2,5 punts) Respon a l’apartat 4.1 o a l’apartat 4.2

4.1 Siga la funció real de variable real 𝑓(𝑥) = 9−𝑥 2 .

4.1.1 (0,75 punts) Calcula el domini de definició, les asímptotes i els intervals de creixement i decreixement de la funció 𝑓.

4.1.2 (0,25 punts) Dibuixa la corba 𝑦 = 𝑓(𝑥).

4.1.3 (0,75 punts) Calcula totes les primitives de 𝑓.

4.1.4 (0,75 punts) Calcula l’àrea compresa entre les corbes 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = −1, 𝑥 = 1 i l’eix d’abscisses.

___________________________________________________________________________

4.2 Es vol construir un pot de refresc cilíndric de volum 33 cm3 que tinga àrea total (incloent-hi les tapes) mínima. Es demana:

4.2.1 (0,5 punts) Expressa l’àrea total del pot en funció del radi de la base i de l’altura.

4.2.2 (1,5 punts) Obtín les dimensions que minimitzen l’àrea total del pot.

4.2.3 (0,5 punts) Calcula aquesta àrea.

En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

PREGUNTA 1: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (2,5 puntos) Se ha realizado una encuesta a 120 miembros de un club de lectura sobre sus preferencias literarias. La siguiente tabla muestra los resultados clasificados por edad y tipo de obra preferido.

Edad/Tipo de obra Novela Poesía Obras de teatro Ensayos

< 25 años

25 – 60 años

> 60 años

1.1 (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que el tipo de obra preferido de una persona seleccionada al azar no sea el ensayo?

1.2 (0.75 puntos) Si se sabe que un miembro del club NO tiene como tipo de obra preferido la poesía, ¿cuál es la probabilidad de que tenga 25 años o más?

1.3 (1 punto) Dados 10 miembros del club que tienen entre 25 y 60 años, ambos incluidos. ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho 3 de ellos tengan como tipo de obra preferido o bien las obras de teatro o bien los ensayos?

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos) Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.1 Dadas las matrices 𝐴 = ( 2

1) y 𝐵 = (1 0 −2

), calcular:

2.1.1 (0.75 puntos) La matriz 𝑋, si existe, tal que 2𝐴𝑋 = 𝐵𝑋 + 𝐼, siendo 𝐼 la matriz identidad 2 × 2.

2.1.2 (0.75 puntos) Si existen, los valores del parámetro real 𝛼 tales que 4𝐴2 + 𝛼𝐴 − 𝐼 = 0, siendo 0 la matriz nula 2 × 2.

2.1.3 (1 punto) 𝐴12 .

___________________________________________________________________________

2.2 Sea el sistema de ecuaciones lineales 3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1 − 𝑎 {(1 + 𝑎)𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 𝑎

𝑎𝑥 − 𝑦 + 𝑧 =1−𝑎 donde 𝑎 es un parámetro real. Se pide:

2.2.1 (1.25 puntos) Discutir el sistema en función del parámetro 𝑎.

2.2.2 (1.25 puntos) Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible.

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos) Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.1 Dado el plano 𝜋: 2𝑥 − 𝑧 = 1, calcular:

2𝑥 − 𝑦 = 0

𝑧=𝑦

3.1.2 (1.25 puntos) Los planos paralelos a π cuya distancia al punto 𝑃 = (0,1,2) es 2.

3.1.1 (1.25 puntos) Si existe, el plano perpendicular a π que contiene a la recta 𝑟: {

___________________________________________________________________________

3.2 Se considera el plano 𝜋 con ecuación 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0 y los cuatro puntos 𝐴 = (0,0,0), 𝐵 = (10,0, −20), 𝐶 = (0,15, −30) y 𝐷 = (1,2, −1).

3.2.1 (0.5 puntos) Comprobar si el triángulo 𝐴𝐵𝐶 pertenece al plano 𝜋.

3.2.2 (0.5 puntos) Calcular la distancia del punto 𝐷 al plano 𝜋.

3.2.3 (1.5 puntos) Calcular las coordenadas de la proyección del punto 𝐷 sobre el plano formado por los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶.

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos) Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.1 Sea la función real de variable real 𝑓(𝑥) = 9−𝑥 2.

4.1.1 (0.75 puntos) Calcular el dominio de definición, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓.

4.1.2 (0.25 puntos) Dibujar la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥).

4.1.3 (0.75 puntos) Hallar todas las primitivas de 𝑓.

4.1.4 (0.75 puntos) Calcular el área comprendida entre las curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = −1, 𝑥 = 1 y el eje de abscisas.

___________________________________________________________________________

4.2 Se quiere construir un bote de refresco cilíndrico de volumen 33 cm3 que tenga área total (incluyendo las tapas) mínima. Se pide:

4.2.1 (0.5 puntos) Expresar el área total del bote en función del radio de su base y de su altura.

4.2.2 (1.5 puntos) Obtener las dimensiones que minimizan el área total del bote.

4.2.3 (0.5 puntos) Hallar dicha área.

Taula de la distribució binomial (Bin(n,p)) Tabla de la distribución binomial (Bin(n,p))

𝑭(𝒙) = 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙) = ∑ ( ) 𝒑𝒌 𝒒𝒏−𝒌

𝒌=𝟎

0,01

0,05

0,10

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,9900 1,0000

0,9500 1,0000

0,9000 1,0000

0,8000 1,0000

0,7500 1,0000

0,7000 1,0000

0,6667 1,0000

0,6500 1,0000

0,6000 1,0000

0,5500 1,0000

0,5000 1,0000

0,9801 0,9999 1,0000

0,9025 0,9975 1,0000

0,8100 0,9900 1,0000

0,6400 0,9600 1,0000

0,5625 0,9375 1,0000

0,4900 0,9100 1,0000

0,4444 0,8889 1,0000

0,4225 0,8775 1,0000

0,3600 0,8400 1,0000

0,3025 0,7975 1,0000

0,2500 0,7500 1,0000

0,9703 0,9997 1,0000 1,0000

0,8574 0,9928 0,9999 1,0000

0,7290 0,9720 0,9990 1,0000

0,5120 0,8960 0,9920 1,0000

0,4219 0,8438 0,9844 1,0000

0,3430 0,7840 0,9730 1,0000

0,2963 0,7407 0,9630 1,0000

0,2746 0,7183 0,9571 1,0000

0,2160 0,6480 0,9360 1,0000

0,1664 0,5748 0,9089 1,0000

0,1250 0,5000 0,8750 1,0000

0,9606 0,9994 1,0000 1,0000 1,0000

0,8145 0,9860 0,9995 1,0000 1,0000

0,6561 0,9477 0,9963 0,9999 1,0000

0,4096 0,8192 0,9728 0,9984 1,0000

0,3164 0,7383 0,9492 0,9961 1,0000

0,2401 0,6517 0,9163 0,9919 1,0000

0,1975 0,5926 0,8889 0,9877 1,0000

0,1785 0,5630 0,8735 0,9850 1,0000

0,1296 0,4752 0,8208 0,9744 1,0000

0,0915 0,3910 0,7585 0,9590 1,0000

0,0625 0,3125 0,6875 0,9375 1,0000

0,9510 0,9990 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,7738 0,9774 0,9988 1,0000 1,0000 1,0000

0,5905 0,9185 0,9914 0,9995 1,0000 1,0000

0,3277 0,7373 0,9421 0,9933 0,9997 1,0000

0,2373 0,6328 0,8965 0,9844 0,9990 1,0000

0,1681 0,5282 0,8369 0,9692 0,9976 1,0000

0,1317 0,4609 0,7901 0,9547 0,9959 1,0000

0,1160 0,4284 0,7648 0,9460 0,9947 1,0000

0,0778 0,3370 0,6826 0,9130 0,9898 1,0000

0,0503 0,2562 0,5931 0,8688 0,9815 1,0000

0,0313 0,1875 0,5000 0,8125 0,9688 1,0000

0,9415 0,9985 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,7351 0,9672 0,9978 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000

0,5314 0,8857 0,9842 0,9987 0,9999 1,0000 1,0000

0,2621 0,6554 0,9011 0,9830 0,9984 0,9999 1,0000

0,1780 0,5339 0,8306 0,9624 0,9954 0,9998 1,0000

0,1176 0,4202 0,7443 0,9295 0,9891 0,9993 1,0000

0,0878 0,3512 0,6804 0,8999 0,9822 0,9986 1,0000

0,0754 0,3191 0,6471 0,8826 0,9777 0,9982 1,0000

0,0467 0,2333 0,5443 0,8208 0,9590 0,9959 1,0000

0,0277 0,1636 0,4415 0,7447 0,9308 0,9917 1,0000

0,0156 0,1094 0,3438 0,6563 0,8906 0,9844 1,0000

0,9321 0,9980 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,6983 0,9556 0,9962 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,4783 0,8503 0,9743 0,9973 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000

0,2097 0,5767 0,8520 0,9667 0,9953 0,9996 1,0000 1,0000

0,1335 0,4449 0,7564 0,9294 0,9871 0,9987 0,9999 1,0000

0,0824 0,3294 0,6471 0,8740 0,9712 0,9962 0,9998 1,0000

0,0585 0,2634 0,5706 0,8267 0,9547 0,9931 0,9995 1,0000

0,0490 0,2338 0,5323 0,8002 0,9444 0,9910 0,9994 1,0000

0,0280 0,1586 0,4199 0,7102 0,9037 0,9812 0,9984 1,0000

0,0152 0,1024 0,3164 0,6083 0,8471 0,9643 0,9963 1,0000

0,0078 0,0625 0,2266 0,5000 0,7734 0,9375 0,9922 1,0000

0,9227 0,9973 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,6634 0,9428 0,9942 0,9996 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,4305 0,8131 0,9619 0,9950 0,9996 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,1678 0,5033 0,7969 0,9437 0,9896 0,9988 0,9999 1,0000 1,0000

0,1001 0,3671 0,6785 0,8862 0,9727 0,9958 0,9996 1,0000 1,0000

0,0576 0,2553 0,5518 0,8059 0,9420 0,9887 0,9987 0,9999 1,0000

0,0390 0,1951 0,4682 0,7414 0,9121 0,9803 0,9974 0,9998 1,0000

0,0319 0,1691 0,4278 0,7064 0,8939 0,9747 0,9964 0,9998 1,0000

0,0168 0,1064 0,3154 0,5941 0,8263 0,9502 0,9915 0,9993 1,0000

0,0084 0,0632 0,2201 0,4770 0,7396 0,9115 0,9819 0,9983 1,0000

0,0039 0,0352 0,1445 0,3633 0,6367 0,8555 0,9648 0,9961 1,0000

0,9135 0,9966 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,6302 0,9288 0,9916 0,9994 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,3874 0,7748 0,9470 0,9917 0,9991 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,1342 0,4362 0,7382 0,9144 0,9804 0,9969 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000

0,0751 0,3003 0,6007 0,8343 0,9511 0,9900 0,9987 0,9999 1,0000 1,0000

0,0404 0,1960 0,4628 0,7297 0,9012 0,9747 0,9957 0,9996 1,0000 1,0000

0,0260 0,1431 0,3772 0,6503 0,8552 0,9576 0,9917 0,9990 0,9999 1,0000

0,0207 0,1211 0,3373 0,6089 0,8283 0,9464 0,9888 0,9986 0,9999 1,0000

0,0101 0,0705 0,2318 0,4826 0,7334 0,9006 0,9750 0,9962 0,9997 1,0000

0,0046 0,0385 0,1495 0,3614 0,6214 0,8342 0,9502 0,9909 0,9992 1,0000

0,0020 0,0195 0,0898 0,2539 0,5000 0,7461 0,9102 0,9805 0,9980 1,0000

0,01

0,05

0,10

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,9044 0,9957 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,5987 0,9139 0,9885 0,9990 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,3487 0,7361 0,9298 0,9872 0,9984 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,1074 0,3758 0,6778 0,8791 0,9672 0,9936 0,9991 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000

0,0563 0,2440 0,5256 0,7759 0,9219 0,9803 0,9965 0,9996 1,0000 1,0000 1,0000

0,0282 0,1493 0,3828 0,6496 0,8497 0,9527 0,9894 0,9984 0,9999 1,0000 1,0000

0,0173 0,1040 0,2991 0,5593 0,7869 0,9234 0,9803 0,9966 0,9996 1,0000 1,0000

0,0135 0,0860 0,2616 0,5138 0,7515 0,9051 0,9740 0,9952 0,9995 1,0000 1,0000

0,0060 0,0464 0,1673 0,3823 0,6331 0,8338 0,9452 0,9877 0,9983 0,9999 1,0000

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0,0010 0,0107 0,0547 0,1719 0,3770 0,6230 0,8281 0,9453 0,9893 0,9990 1,0000

0,8953 0,9948 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,5688 0,8981 0,9848 0,9984 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,3138 0,6974 0,9104 0,9815 0,9972 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,0859 0,3221 0,6174 0,8389 0,9496 0,9883 0,9980 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

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0,5404 0,8816 0,9804 0,9978 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

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0,0687 0,2749 0,5583 0,7946 0,9274 0,9806 0,9961 0,9994 0,9999 …