Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2021

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT CONVOCATÒRIA:

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CONVOCATORIA:

JUNY 2021

JUNIO 2021

Asignatura: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Assignatura: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

BAREMO DEL EXAMEN: Se han de contestar tres problemas de entre los seis propuestos. Cada problema se valorará de 0 a 10 puntos y la nota final será la media aritmética de los tres. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados. Está permitido el uso de regla. Las gráficas se harán con el mismo color que el resto del examen.

Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas.

Problema 1. En una explotación ganadera se crían 100 animales. Cada ejemplar necesita diariamente como mínimo 5 kg de piensos de origen animal y como mínimo 3 kg de piensos de origen vegetal. Hay dos marcas A y B que venden sacos con mezclas de dichos piensos. La marca A vende sacos con 7 kg de piensos animales y 3 kg de piensos vegetales. La marca B vende sacos con 6 kg de piensos animales y 4 kg de piensos vegetales. Si los sacos de la marca A cuestan 12 euros y los de la marca B cuestan 11 euros,

a) ¿cuál es la combinación de compra de sacos de cada marca que se ha de realizar semanalmente para minimizar el coste?

(8 puntos)

b) ¿cuál sería dicho coste mínimo?

(2 puntos) Problema 2. En una empresa de 57 trabajadores el gasto en salarios en este mes ha sido de 62000 euros. En la empresa hay trabajadores de tres categorías, denominadas A, B y C. Este mes el salario de los trabajadores de la categoría A ha sido de 800 euros, el de los trabajadores de la categoría B de 1000 euros y el de los trabajadores de la categoría C de 2000 euros. Una auditoría externa ha indicado que la desigualdad salarial entre los trabajadores de la empresa es excesiva, por lo que se ha decidido que el próximo mes se incrementará en un 4% el salario a los trabajadores de la categoría A, se mantendrá el salario a los trabajadores de la categoría B y se rebajará en un 10% el salario a los trabajadores de la categoría C. De esta manera, el gasto de la empresa en salarios en el próximo mes será un 2% inferior al gasto en salarios de este mes. ¿Cuántos trabajadores de cada categoría tiene la empresa?

(Planteamiento correcto 5 puntos --- Resolución correcta 5 puntos)

Problema 3. Dada la función 𝑓(𝑥) =

1−𝑥 2

, se pide:

𝑥 2 −4

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.

b) Las asíntotas horizontales y verticales, si las hubiera.

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

d) Los máximos y mínimos locales.

e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores.

(2 puntos) (2 puntos) (2 puntos) (2 puntos) (2 puntos)

Problema 4. Desde el inicio de 1980, la capacidad (cantidad de gas que puede extraerse) de una explotación gasística, expresada en miles de metros cúbicos, viene dada por la función 𝑓(𝑥) = 36600 + 1500𝑥 − 15𝑥 2 donde la variable x representa el tiempo en años transcurridos desde el inicio de 1980.

a) Calcula la capacidad de la explotación al inicio de 1980.

(2 puntos)

b) Calcula cuánto tiempo ha de pasar desde el inicio de 1980 para que la capacidad alcance su valor máximo, y cuál es dicho valor máximo (en miles de metros cúbicos).

(4 puntos)

c) Si el beneficio en euros por metro cúbico de gas disminuye con los años según la función 3𝑥2 𝑔(𝑥) = 3 − 12100 ,

calcula cuánto tiempo debe pasar para que la explotación deje de ser rentable y cuál será la capacidad (en miles de metros cúbicos) de la explotación en ese momento.

(4 puntos)

Problema 5. Si 𝐴 y 𝐵 son dos sucesos tales que 𝑃(𝐴) = 0,4, 𝑃(𝐵|𝐴) = 0,25 y 𝑃(𝐵 𝑐 ) = 0,75, se pide

a) ¿Son independientes los sucesos 𝐴 y 𝐵? ¿Por qué?

b) Calcula 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵).

c) Calcula 𝑃(𝐴|𝐵 𝑐 ).

d) Calcula 𝑃(𝐴𝑐 ∪ 𝐵 𝑐 ) y 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵 𝑐 ).

(2,5 puntos) (2,5 puntos) (2,5 puntos) (2,5 puntos)

(𝐴𝑐 y 𝐵 𝑐 representan, respectivamente, el suceso complementario de A y el suceso complementario de B).

Problema 6. Una empresa fabrica protectores de pantalla para teléfonos móviles. La empresa produce tres tipos de protectores: de 4 pulgadas, de 4,7 pulgadas y de 5 pulgadas. Consideramos la población de los habitantes de una ciudad que poseen un único teléfono móvil y cuya medida es una de estas tres. Un estudio de mercado indica que el 30% de los teléfonos móviles tienen una pantalla de 4 pulgadas. Este mismo estudio también indica que el 30% de los usuarios de un teléfono móvil de una pantalla de 4 pulgadas utilizan un protector de pantalla. Este también es el caso del 25% de los que poseen un teléfono móvil con pantalla de 4,7 pulgadas y del 40% de los que poseen un teléfono móvil con una pantalla de 5 pulgadas.

a) Si el 34% de los que tienen un teléfono móvil usan un protector de pantalla, calculad el porcentaje de los que usan un teléfono móvil de 4,7 pulgadas y el porcentaje de los que usan un teléfono móvil de 5 pulgadas.

(4 puntos)

b) Se considera un usuario de teléfono móvil con protector de pantalla. Calcula la probabilidad de que utilice un teléfono móvil con una pantalla de 5 pulgadas.

(3 puntos)

c) Consideramos ahora una persona que tiene un teléfono móvil con protector de pantalla y cuya pantalla no es de 4,7 pulgadas. Calcula la probabilidad de que use un teléfono móvil con una pantalla de 5 pulgadas.

(3 puntos)

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Asignatura: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Assignatura: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

BAREM DE L’EXAMEN : S’han de contestar tres d’entre els sis problemes plantejats. Cada problema es valorarà de 0 a 10 punts i la nota final serà la mitjana aritmètica dels tres. Es permet l’ús de calculadores sempre que no siguen gràfiques o programables i que no puguen realitzar càlcul simbòlic ni emmagatzemar text o fórmules en memòria. S’utilitze o no la calculadora, els resultats analítics, numèrics i gràfics hauran d’estar sempre degudament justificats. Està permés l’ús de regla. Les gràfiques es faran amb el mateix color que la resta de l’examen.

Totes les respostes han d’estar degudament raonades.

Problema 1. En una explotació ramadera es crien 100 animals. Cada exemplar necessita diàriament com a mínim 5 kg de pinsos d’origen animal i com a mínim 3 kg de pinsos d’origen vegetal. Hi ha dues marques A i B que venen sacs amb mescles d’aquests pinsos. La marca A ven sacs amb 7 kg de pinsos animals i 3 kg de pinsos vegetals. La marca B ven sacs amb 6 kg de pinsos animals i 4 kg de pinsos vegetals. Si els sacs de la marca A costen 12 euros i els de la marca B costen 11 euros,

a) Quina és la combinació de compra de sacs de cada marca que s’ha de realitzar setmanalment per a minimitzar el cost?

(8 punts)

b) Quin seria aquest cost mínim?

(2 punts) Problema 2. En una empresa de 57 treballadors la despesa en salaris en aquest mes ha sigut de 62000 euros.

En l’empresa hi ha treballadors de tres categories, denominades A, B i C. Aquest mes el salari dels treballadors de la categoria A ha sigut de 800 euros, el dels treballadors de la categoria B de 1000 euros i el dels treballadors de la categoria C de 2000 euros. Una auditoria externa ha indicat que la desigualtat salarial entre els treballadors de l’empresa és excessiva, per la qual cosa s’ha decidit que el mes vinent s’incrementarà en un 4% el salari als treballadors de la categoria A, es mantindrà el salari als treballadors de la categoria B i es rebaixarà en un 10% el salari als treballadors de la categoria C. D’aquesta manera, la despesa de l’empresa en salaris en el mes vinent serà un 2% inferior a la despesa en salaris d’aquest mes. Quants treballadors de cada categoria té l’empresa?

(Plantejament correcte 5 punts --- Resolució correcta 5 punts)

Problema 3. Atesa la funció 𝑓(𝑥) =

1−𝑥 2

, es demana:

𝑥 2 −4

a) El seu domini i punts de tall amb els eixos coordenats.

b) Les asímptotes horitzontals i verticals, si n’hi haguera.

c) Els intervals de creixement i decreixement.

d) Els màxims i mínims locals.

e) La representació gràfica de la funció a partir dels resultats anteriors.

(2 punts) (2 punts) (2 punts) (2 punts) (2 punts)

Problema 4. Des de l’inici de 1980, la capacitat (quantitat que es pot extreure) de una explotació gasística, expressat en milers de metres cúbics, ve donada per la funció

𝑓(𝑥) = 36600 + 1500𝑥 − 15𝑥 2 on la variable x representa el temps en anys transcorreguts des de l'inici de l’any 1980.

a) Calcula la capacitat de la explotació a l'inici de 1980.

(2 punts)

b) Calcula quant de temps ha de passar des de l’inici de 1980 perquè la capacitat arribe al seu valor màxim, i quin és aquest valor màxim (en milers de metres cúbics).

(4 punts)

c) Si el benefici en euros per metre cúbic de gas disminueix amb els anys segons la funció 3𝑥2 𝑔(𝑥) = 3 − 12100 ,

calcula quant de temps ha de passar perquè l'explotació deixe de ser rendible i quina serà la capacitat (en milers de metres cúbics) de la explotació en aquest moment.

(4 punts)

Problema 5. Si 𝐴 i 𝐵 són dos successos tals que 𝑃(𝐴) = 0,4, 𝑃(𝐵|𝐴) = 0,25 i 𝑃(𝐵 𝑐 ) = 0,75, es demana

a) Són independents els successos 𝐴 i 𝐵? Per què?

b) Calculeu 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵).

c) Calculeu 𝑃(𝐴|𝐵 𝑐 ).

d) Calculeu 𝑃(𝐴𝑐 ∪ 𝐵 𝑐 ) i 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵 𝑐 ).

(2,5 punts) (2,5 punts) (2,5 punts) (2,5 punts)

(𝐴𝑐 i 𝐵 𝑐 representen, respectivament, el succés complementari d’A i el succés complementari de B).

Problema 6. Una empresa fabrica protectors de pantalla per a telèfons mòbils. L’empresa produeix tres tipus de protectors: de 4 polzades, de 4,7 polzades i de 5 polzades. Considerem la població dels habitants d’una ciutat que posseeixen un únic telèfon mòbil i la mesura del qual és una d’aquestes tres. Un estudi de mercat indica que el 30% dels telèfons mòbils tenen una pantalla de 4 polzades. Aquest mateix estudi també indica que el 30% dels usuaris d’un telèfon mòbil d’una pantalla de 4 polzades utilitzen un protector de pantalla. Aquest també és el cas del 25% dels que posseeixen un telèfon mòbil amb pantalla de 4,7 polzades i del 40% dels que posseeixen un telèfon mòbil amb una pantalla de 5 polzades.

a) Si el 34% dels que tenen un telèfon mòbil usen un protector de pantalla, calculeu el percentatge dels que usen un telèfon mòbil de 4,7 polzades i el percentatge dels que usen un telèfon mòbil de 5 polzades.

(4 punts)

b) Es considera un usuari de telèfon mòbil amb protector de pantalla. Calculeu la probabilitat que utilitze un telèfon mòbil amb una pantalla de 5 polzades.

(3 punts)

c) Considerem ara una persona que té un telèfon mòbil amb protector de pantalla i la pantalla del qual no és de 4,7 polzades. Calculeu la probabilitat que use un telèfon mòbil amb una pantalla de 5 polzades.

(3 punts)

Soluciones y criterios de corrección en texto

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CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIS DE CORRECCIÓ

CRITERIOS DE CORRECCIÓN

De los seis problemas planteados se han de contestar tres. Cada problema se valorará de 0 a 10 puntos y la nota final será la media aritmética de las tres.

Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas.

Problema 1.

a) Por la obtención de la función objetivo, F (x, y) = 12x + 11y, de 0 a 1 punto.

Por el planteamiento del problema, de 0 a 3 puntos, con el siguiente criterio: 1, 5 puntos por cada restricción correcta (sin considerar las de no negatividad).

7x + 6y 3x + 4y x, y

3500 >

2100

De 0 a 3 puntos por la determinación de la región factible: región no acotada de vértices (0, 583, Û

3) , (140, 420) y (700, 0).

De 0 a 1 punto por la obtención del punto que minimiza el coste semanal, (140, 420).

b) De 0 a 2 puntos, por la obtención del coste mínimo, 6300 C.

Si no se tiene en cuenta que los datos del problema se corresponden a las necesidades diarias de la explotación ganadera, ya que el problema pide el coste semanal y su valor mínimo, el problema se puntuará de 0 a 8 puntos.

Si la solución se obtiene por cualquier otro método razonado y correcto, se puntuará globalmente de 0 a 10 puntos.

La región factible es

Problema 2. Por el planteamiento del problema, de 0 a 5 puntos con el siguiente criterio: 3 ecuaciones correctas, 5 puntos; 2 ecuaciones correctas, 3 puntos; 1 ecuación correcta, 1 punto.

x+ y+ z = 57 >

800x + 1000y + 2000z = 62000

832x + 1000y + 1800z = 60760

De 0 a 5 puntos por la obtención de la solución del sistema de ecuaciones. 5 puntos si la solución es correcta para el sistema planteado por el alumno y no hay incoherencias (valores negativos, no enteros, . . .). Si la solución no es la del sistema planteado por el alumno, la puntuación máxima será de 2 puntos.

Si la solución obtenida es incoherente con el enunciado (valores negativos, no enteros, . . .), se puntuará este apartado con un 0.

Sol.: x = 30, y = 16, z = 11.

Problema 3.

a) De 0 a 1 punto por la obtención del dominio, Df = R \ { 2, 2}, y de 0 a 1 punto por la determinación de los puntos de corte con los ejes: (0, 1/4), ( 1, 0) y (1, 0).

b) De 0 a 1 punto por la obtención de las asíntotas verticales de ecuación x = de la asíntota horizontal de ecuación y = 1.

2 y x = 2. De 0 a 1 punto por la obtención

c) De 0 a 1 punto por la obtención de los intervalos de crecimiento (la función es creciente en ]0, 2[ [ ]2, +1[). De 0 a 1 punto por la obtención de los intervalos de decrecimiento (la función es decreciente en ] 1, 2[ [ ] 2, 0[).

d) De 0 a 2 puntos por la obtención del mínimo de la función en x = 0 cuyo valor es f (0) =

1/4.

e) De 0 a 2 puntos por la representación de la gráfica de la función.

Problema 4.

a) Por el cálculo de f (0), f (0) = 36000 miles de m3 , hasta 2 puntos.

b) Por el cálculo del tiempo que ha de pasar desde 1980 para que la explotación gasística alcance su capacidad de extracción de gas máxima ( x = 50, año 2030) hasta 3 puntos. Por el cálculo de esta capacidad de extracción máxima (74100 miles de m3 ), hasta 1 punto.

c) Por el cálculo del tiempo que ha de pasar desde 1980 para que la explotación gasística deje de ser rentable (x = 110, año 2090), hasta 3 puntos. Por el cálculo de los miles de metros cúbicos en ese momento, 20100 miles de metros cúbicos, hasta 1 punto.

Problema 5.

a) Por demostrar que los sucesos sí son independientes, hasta 2,5 puntos.

b) Por el cálculo de la probabilidad solicitada, 0, 55, hasta 2,5 puntos.

c) Por el cálculo de la probabilidad solicitada, 0, 4, hasta 2,5 puntos.

d) Por el cálculo de la probabilidad del suceso Ac [ B c , 0, 9, hasta 1,25 puntos y por el cálculo de la probabilidad del suceso Ac \ B c , 0, 45, hasta 1,25 puntos.

En los apartados a), b) y c), si el planteamiento y/o la fórmula utilizada son correctos, se puntuará hasta un máximo de 1,5 puntos. Por la obtención del resultado correcto, hasta 1 punto.

En el apartado d), si el planteamiento y/o la fórmula utilizada para el cálculo de la probabilidad del suceso Ac [ B c son correctos, se puntuará hasta un máximo de 0,75 puntos. Por la obtención del resultado correcto, hasta 0,5 puntos.

Igualmente, si el planteamiento y/o la fórmula utilizada para el cálculo de la probabilidad del suceso Ac \B c son correctos, se puntuará hasta un máximo de 0,75 puntos. Por la obtención del resultado correcto, hasta 0,5 puntos.

Si en algún apartado se obtiene alguna probabilidad imposible, ese apartado se puntuará con un 0.

Problema 6.

a) Por el cálculo del porcentaje de los que usan un teléfono móvil de 5,7 pulgadas ( 20 %) y de los que usan un teléfono de 5 pulgadas ( 50%), hasta cuatro puntos.

b) Por el cálculo de la probabilidad solicitada,

⇡ 0,59, hasta 3 puntos.

c) Por el cálculo de la probabilidad solicitada,

⇡ 0,69, hasta 3 puntos.

En el apartado a), si el planteamiento y/o la fórmula utilizada son correctos, se puntuará hasta un máximo de 3 puntos. Por la obtención de la probabilidad hasta 0,5 puntos, por expresar el resultado correcto en porcentaje, hasta a 0,5 puntos.

En el apartados b) y c), si el planteamiento y/o la fórmula utilizada para el cálculo de la probabilidad solicitada son correctos, se puntuará hasta un máximo de 2 puntos. Por la obtención del resultado correcto, hasta 1 punto.

Si en algún apartado se obtiene alguna probabilidad imposible, ese apartado se puntuará con un 0.

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CRITERIS DE CORRECCIÓ

CRITERIOS DE CORRECCIÓN

S’han de contestar tres d’entre els sis problemes plantejats. Cada problema es valorarà de 0 a 10 punts i la nota final serà la mitjana aritmètica dels tres.

Totes les respostes han d’estar degudament raonades.

Problema 1.

a) Per l’obtenció de la funció objectiu, F (x, y) = 12x + 11y, de 0 a 1 punt.

Pel plantejament del problema, de 0 a 3 punts, amb el criteri següent: 1, 5 punts per cada restricció correcta (sense considerar les de no negativitat).

7x + 6y 3x + 4y x, y

3500 >

2100

De 0 a 3 punts per la determinació de la regió factible: regió no acotada de vèrtexs (0, 583, Û

3) , (140, 420) i (700, 0).

De 0 a 1 punt per l’obtenció del punt que minimitza el cost setmanal, (140, 420).

b) De 0 a 2 punts, per l’obtenció del cost mínim, 6300 C.

Si no es té en compte que les dades del problema es corresponen a les necessitats diàries de l’explotació ramadera, ja que el problema demana el cost setmanal i el seu valor mínim, el problema es puntuarà de 0 a 8 punts.

Si la solució s’obté per qualsevol altre mètode raonat i correcte, es puntuarà globalment de 0 a 10 punts.

La regió factible és

Problema 2. Pel plantejament del problema, de 0 a 5 punts amb el criteri següent: 3 equacions correctes, 5 punts;

2 equacions correctes, 3 punts; 1 equació correcta, 1 punt.

x+ y+ z = 57 >

800x + 1000y + 2000z = 62000

832x + 1000y + 1800z = 60760

De 0 a 5 punts per l’obtenció de la solució del sistema d’equacions. 5 punts si la solució és correcta per al sistema plantejat per l’alumne i no hi ha incoherències (valors negatius, no enters...). Si la solució no és la del sistema plantejat per l’alumne, la puntuació màxima serà de 2 punts.

Si la solució obtinguda és incoherent amb l’enunciat (valors negatius, no enters...), es puntuarà aquest apartat amb un 0.

Sol.: x = 30, y = 16, z = 11.

Problema 3.

a) De 0 a 1 punt per l’obtenció del domini, Df = R \ { 2, 2}, i de 0 a 1 punt per la determinació dels punts de tall amb els eixos: (0, 1/4), ( 1, 0) y (1, 0).

b) De 0 a 1 punt per l’obtenció de les asímptotes verticals d’equació x = l’asímptota horitzontal d’equació y = 1.

2 i x = 2. De 0 a 1 punt per la obtenció de

c) De 0 a 1 punt per l’obtenció dels intervals de creixement (la funció és creixent en ]0, 2[ [ ]2, +1[). De 0 a 1 punt per l’obtenció dels intervals de decreixement (la funció és decreixent en ] 1, 2[ [ ] 2, 0[).

d) De 0 a 2 punts per l’obtenció del mínim de la funció en x = 0 el valor de la qual és f (0) =

1/4.

e) De 0 a 2 punts per la representació de la gràfica de la funció.

Problema 4.

a) Pel càlcul de f (0), f (0) = 36000 milers de m3 , fins a 2 punts.

b) Pel càlcul de quant de temps ha de passar des de 1980 perquè l’explotació gasística arribi a la seva capacitat d’extracció de gas màxima (x = 50, any 2030) fins a 3 punts. Pel càlcul d’aquesta capacitat d’extracció màxima (74100 milers de m3 ), fins a 1 punt.

c) Pel càlcul de quant de temps ha de passar des de 1980 perquè l’explotació gasística deixi de ser rendible (x = 110, any 2090) fins a 3 punts. Pel càlcul de la capacitat de milers de metres cúbics en aquest moment, 20100 milers de m3 , fins a 1 punt.

Problema 5.

a) Per demostrar que els successos sí són independents, fins a 2,5 punts.

b) Pel càlcul de la probabilitat sol·licitada, 0,55, fins a 2,5 punts.

c) Pel càlcul de la probabilitat sol·licitada, 0,4, fins a 2,5 punts.

d) Pel càlcul de la probabilitat del succés Ac [ B c , 0,9, fins a 1,25 punts i pel càlcul de la probabilitat del succés Ac \ B c , 0,45, fins a 1,25 punts.

En els apartats a), b) i c), si el plantejament i/o la fórmula utilitzada són correctes, es puntuarà fins a un màxim d’1,5 punts. Per l’obtenció del resultat correcte, fins a 1 punt.

En l’apartat d), si el plantejament i/o la fórmula utilitzada per al càlcul de la probabilitat del succés Ac [ B c són correctes, es puntuarà fins a un màxim de 0,75 punts. Per l’obtenció del resultat correcte, fins a 0,5 punts. Igualment, si el plantejament i/o la fórmula utilitzada per al càlcul de la probabilitat del succés Ac \ B c són correctes, es puntuarà fins a un màxim de 0,75 punts. Per l’obtenció del resultat correcte, fins a 0,5 punts.

Si en algun apartat s’obté alguna probabilitat impossible, aquest apartat es puntuarà amb un 0.

Problema 6.

a) Pel càlcul del percentatge dels que usen un telèfon mòbil de 4,7 polzades ( 20 %) i dels que usen un telèfon mòbil de 5 polzades ( 50 %), fins a 4 punts.

b) Pel càlcul de la probabilitat sol·licitada,

⇡ 0,59, fins a 3 punts.

c) Pel càlcul de la probabilitat sol·licitada,

⇡ 0,69, fins a 3 punts.

En l’apartat a), si el plantejament i/o la fórmula utilitzada són correctes, es puntuarà fins a un màxim de 3 punts.

Per l’obtenció de la probabilitat fins a 0,5 punts, per expressar el resultat correcte en percentatge, fins a 0,5 punts.

En els apartats b) i c), si el plantejament i/o la fórmula utilitzada per al càlcul de la probabilitat sol·licitada són correctes, es puntuarà fins a un màxim de 2 punts.

Si en algun apartat s’obté alguna probabilitat impossible, aquest apartat es puntuarà amb un 0.