Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2021

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT CONVOCATÒRIA:

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CONVOCATORIA:

JULIOL 2021

JULIO 2021

Asignatura: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Assignatura: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

BAREMO DEL EXAMEN: Se han de contestar tres problemas de entre los seis propuestos. Cada problema se valorará de 0 a 10 puntos y la nota final será la media aritmética de los tres. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados. Está permitido el uso de regla. Las gráficas se harán con el mismo color que el resto del examen.

Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas.

Problema 1. Una empresa está especializada en la preparación de mezclas de café. Utilizando café colombiano, brasileño y keniata, la empresa quiere comercializar paquetes de 1 kg con un coste de 8,50 € el paquete. El precio de un kilo de cada clase de café es, respectivamente, de 10 €, 6 € y 8 €. Sabiendo que la cantidad de café colombiano de la mezcla ha de ser el triple de la de café brasileño, calcula el porcentaje de cada tipo de café que ha de utilizarse en la mezcla.

(Planteamiento correcto 5 puntos - Solución correcta 5 puntos)

Problema 2. Consideramos las matrices 2 3 4 𝐴 = (1 1 3), 1 3 1

0 0 2 𝐵 = (1 1 1 ) 0 3 1

𝐶= (

3 0

1 2

a) Calcula la inversa de la matriz 𝐴 − 𝐵.

(3 puntos)

b) Calcula la matriz 𝑋 de dimensión 2 × 3, que satisface la ecuación 𝑋𝐴 + 𝐶 = 𝑋𝐵.

(4 puntos)

c) ¿Es posible hacer el producto 𝐵𝐶? Si la respuesta es afirmativa calcula dicho producto; en caso contrario, justifica el porqué. ¿Es posible hacer el producto 𝐶𝐵? Si la respuesta es afirmativa calcula dicho producto; en caso contrario, justifica el porqué.

(3 puntos)

Problema 3. Dada la función 𝑓(𝑥) =

𝑥 2 −36 𝑥 2 −2𝑥−8

, se pide:

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.

(2 puntos)

b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.

(2 puntos)

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

(2 puntos)

d) Los máximos y mínimos locales.

(2 puntos)

e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados de los apartados anteriores. (2 puntos)

Problema 4. Una empresa ha estimado que los ingresos y gastos mensuales (en euros) que genera la fabricación de 𝑥 unidades de un producto vienen dados por las siguientes funciones:

Ingresos: 𝐼(𝑥) = 4𝑥 2 + 800𝑥.

Gastos: 𝐺(𝑥) = 6𝑥 2 + 460𝑥 + 672.

a) La empresa considera rentable el producto si el beneficio que obtiene con él es mayor o igual que 0.

¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe fabricar la empresa para que el producto sea rentable?

(4 puntos)

b) ¿Cuál es el número de unidades que debe fabricar la empresa para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es el beneficio obtenido en este caso?

(3 puntos)

c) El próximo mes se introducirá una nueva normativa que obligará a la empresa a fabricar al menos 100 unidades de este producto. ¿Cuál es el máximo beneficio que podrá obtener la empresa tras la implantación de esta normativa? Justifica tu respuesta.

(3 puntos)

Problema 5. En un sorteo, un jugador extrae dos bolas sin reemplazamiento de una urna que contiene 2 bolas blancas, 3 bolas amarillas y 5 bolas negras. El jugador consigue el primer premio si las dos bolas extraídas son blancas, consigue el segundo premio si las dos bolas extraídas son amarillas y consigue el tercer premio si una de las dos bolas extraídas es blanca y la otra no lo es. No hay más premios en el sorteo.

a) Calcula la probabilidad de que el jugador consiga el primer o el segundo premio.

(4 puntos)

b) Calcula la probabilidad de que el jugador consiga el tercer premio.

(3 puntos)

c) Si un jugador nos dice que ha obtenido premio en el sorteo, ¿cuál es la probabilidad de que haya obtenido el tercer premio?

(3 puntos)

Problema 6. Una determinada enfermedad afecta actualmente al 5% de la población. El único test disponible para detectar la enfermedad tiene una probabilidad del 99% de clasificar correctamente a los enfermos (probabilidad de que el test dé positivo si la persona tiene la enfermedad), mientras que la probabilidad de que el test dé negativo si la persona no está enferma es del 95%. Se pide:

a) La probabilidad de que una persona esté enferma si ha dado positivo en el test.

(2,5 puntos)

b) La probabilidad de que una persona esté sana si ha dado negativo en el test.

(2,5 puntos)

c) La probabilidad de que el test dé el resultado correcto.

(2,5 puntos)

d) Existen indicios para creer que la enfermedad afecta únicamente a un 1% de la población. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona esté enferma si ha dado positivo en el test en este caso?

(2,5 puntos)

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Asignatura: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Assignatura: MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS II

BAREM DE L’EXAMEN : S’han de contestar tres d’entre els sis problemes plantejats. Cada problema es valorarà de 0 a 10 punts i la nota final serà la mitjana aritmètica dels tres. Es permet l’ús de calculadores sempre que no siguen gràfiques o programables i que no puguen realitzar càlcul simbòlic ni emmagatzemar text o fórmules en memòria. S’utilitze o no la calculadora, els resultats analítics, numèrics i gràfics hauran d’estar sempre degudament justificats. Està permés l’ús de regla. Les gràfiques es faran amb el mateix color que la resta de l’examen.

Totes les respostes han d’estar degudament raonades.

Problema 1. Una empresa està especialitzada en la preparació de mescles de café. Utilitzant café colombià, brasiler i kenyà, l’empresa vol comercialitzar paquets d’1 kg amb un cost de 8,50 € el paquet. El preu d’un quilo de cada classe de café és, respectivament, de 10 €, 6 € i 8 €. Sabent que la quantitat de café colombià de la mescla ha de ser el triple de la de café brasiler, calculeu el percentatge de cada tipus de café que ha d’utilitzarse en la mescla.

(Plantejament correcte 5 punts - Solució correcta 5 punts)

Problema 2. Considerem les matrius 2 3 4 𝐴 = (1 1 3), 1 3 1

0 0 2 𝐵 = (1 1 1 ) 0 3 1

𝐶= (

3 0

1 2

a) Calculeu la inversa de la matriu 𝐴 − 𝐵.

(3 punts)

b) Calculeu la matriu 𝑋 de dimensió 2 × 3, que satisfà l’equació 𝑋𝐴 + 𝐶 = 𝑋𝐵.

(4 punts)

c) És possible fer el producte 𝐵𝐶? Si la resposta és afirmativa calculeu aquest producte; en cas contrari, justifiqueu el perquè. És possible fer el producte 𝐶𝐵? Si la resposta és afirmativa calculeu aquest producte; en cas contrari, justifiqueu el perquè.

(3 punts)

Problema 3. Atesa la funció 𝑓(𝑥) =

𝑥 2 −36 𝑥 2 −2𝑥−8

, es demana:

a) El seu domini i punts de tall amb els eixos coordenats.

b) Les asímptotes horitzontals i verticals, si existeixen.

c) Els intervals de creixement i decreixement.

d) Els màxims i mínims locals.

e) La representació gràfica de la funció a partir dels resultats dels apartats anteriors.

(2 punts) (2 punts) (2 punts) (2 punts) (2 punts)

Problema 4. Una empresa ha estimat que els ingressos i despeses mensuals (en euros) que genera la fabricació de 𝑥 unitats d’un producte venen donades per les funcions següents:

Ingressos: 𝐼(𝑥) = 4𝑥 2 + 800𝑥.

Despeses: 𝐺(𝑥) = 6𝑥 2 + 460𝑥 + 672.

a) L’empresa considera rendible el producte si el benefici que hi obté és major o igual que 0. Quin és el nombre mínim d’unitats que ha de fabricar l’empresa perquè el producte siga rendible?

(4 punts)

b) Quin és el nombre d’unitats que ha de fabricar l’empresa perquè el benefici siga màxim? Quin és el benefici obtingut en aquest cas?

(3 punts)

c) El mes vinent s’introduirà una nova normativa que obligarà l’empresa a fabricar almenys 100 unitats d’aquest producte. Quin és el màxim benefici que podrà obtindre l’empresa després de la implantació d’aquesta normativa? Justifiqueu la vostra resposta.

(3 punts)

Problema 5. En un sorteig, un jugador extrau dues boles sense reemplaçament d’una urna que conté 2 boles blanques, 3 boles grogues i 5 boles negres. El jugador aconsegueix el primer premi si les dues boles extretes són blanques, aconsegueix el segon premi si les dues boles extretes són grogues i aconsegueix el tercer premi si una de les dues boles extretes és blanca i l’altra no ho és. No hi ha més premis en el sorteig.

a) Calculeu la probabilitat que el jugador aconseguisca el primer o el segon premi.

(4 punts)

b) Calculeu la probabilitat que el jugador aconseguisca el tercer premi.

(3 punts)

c) Si un jugador ens diu que ha obtingut premi en el sorteig, quina és la probabilitat que haja obtingut el tercer premi?

(3 punts)

Problema 6. Una determinada malaltia afecta actualment el 5% de la població. L’únic test disponible per a detectar la malaltia té una probabilitat del 99% de classificar correctament els malalts (probabilitat que el test done positiu si la persona té la malaltia), mentre que la probabilitat que el test done negatiu si la persona no està malalta és del 95%. Es demana:

a) La probabilitat que una persona estiga malalta si ha donat positiu en el test.

(2,5 punts)

b) La probabilitat que una persona estiga sana si ha donat negatiu en el test.

(2,5 punts)

c) La probabilitat que el test done el resultat correcte.

(2,5 punts)

d) Hi ha indicis per a creure que la malaltia afecta únicament a un 1% de la població. Quina és la probabilitat que una persona estiga malalta si ha donat positiu en el test en aquest cas?

(2,5 punts)

Soluciones y criterios de corrección en texto

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Asignatura: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS

CIÈNCIES SOCIALS II

CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIS DE CORRECCIÓ

CRITERIOS DE CORRECCIÓN

De los seis problemas planteados se han de contestar tres. Cada problema se valorará de 0 a 10 puntos y la nota final será la media aritmética de las tres.

Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas.

Problema 1. Hasta 5 puntos por el planteamiento del sistema de ecuaciones lineales

10x

+ 6y − 3y

8z

8,50

donde x, y y z son las cantidades de café colombiano, brasileño y keniata, respectivamente, que se han de utilizar, según el siguiente criterio Una ecuación correcta 1 punto.

Dos ecuaciones correctas 3 puntos.

Tres ecuaciones correctas 5 puntos.

De 0 a 4 puntos por la obtención de la solución del sistema de ecuaciones.

• 4 puntos si la solución es correcta para el sistema planteado por el alumno y no hay incoherencias (valores negativos, etc.).

• Si la solución no es la del sistema planteado, la puntuación máxima será de 2 puntos.

• Si la solución obtenida es incoherente con el enunciado (valores negativos, . . . ), se puntuará esta parte con un 0.

Solución del sistema: x = 0,375; y = 0,125 y z = 0,5.

Por la solución del problema expresada en porcentajes 1 punto: la mezcla ha de hacerse con un 37,5 % de café colombiano; un 12,5 % de café brasileño y un 50 % de café keniata.

Problema 2.

a) De 0 a 3 puntos por el cálculo de la inversa de A − B,

(A − B)−1 =  31

− 13

− 32  .

b) De 0 a 4 puntos por el cálculo de la matriz

X=

−1 − 31

− 23

−3 − 43

2 puntos por el planteamiento, X = −C(A − B)−1 , y 2 puntos por el cálculo numérico.

c) De 0 a 3 puntos. Hasta un punto por cada uno de los razonamientos de por qué no se puede hacer el producto BC, pero sí el CB y hasta un punto por el cálculo de

3 3 13 CB =

1 7 7 Problema 3.

a) De 0 a 1 punto por la obtención del dominio, R \ {−2, 4}, y de 0 a 1 punto por la determinación de los cortes con los ejes: (0, 4,5), (−6, 0) y (6, 0).

b) De 0 a 1 punto por la obtención de la asíntota horizontal, y = 1. De 0 a 1 punto por la obtención de las dos asíntotas verticales x = −2 y x = 4.

c) De 0 a 1 punto por la obtención de los intervalos de crecimiento (la función es creciente en 14 − 4 10, 4 ∪ √ 

4, 14 + 4 10 ). De 0 a 1 punto por la obtención de los intervalos de decrecimiento (la función es decreciente en √  

] −∞, −2 [ ∪ −2, 14 − 4 10 ∪ 14 + 4 10, ∞ ).

d) De 0√a 2 puntos por la determinación de los máximos y mínimos locales: la √ función tiene un máximo relativo

√ en x = 14 + 4 10 ≈ 26,649 siendo f (14 + 4 10) ≈ 1,039 y un mínimo relativo en 14 − 4 10 ≈ 1,3509, siendo f (14 − 4 10) ≈ 3,8499.

e) De 0 a 2 puntos por la representación de la gráfica de la función.

Problema 4

a) De 0 a 4 puntos. Hasta 2 puntos por la obtención correcta de la función de beneficios B(x) = −2x2 + 340x − 672 y hasta 2 puntos por el cálculo del número mínimo de unidades que se deben producir para que el beneficio sea no negativo, que es 2 unidades.

b) De 0 a 3 puntos. Hasta 1 punto por el cálculo del número de unidades que maximiza el beneficio, 85. Hasta 1 punto por la justificación de que es máximo y 1 punto por el cálculo del beneficio máximo, 13778 e.

c) De 0 a 3 puntos. Hasta 2 puntos por la justificación de que el máximo beneficio se obtiene produciendo 100 unidades y 1 punto por el cálculo del beneficio máximo en este caso, 13328 e.

Problema 5.

a) Por el cálculo de la probabilidad solicitada, 45 ≈ 0,0889, hasta 4 puntos.

b) Por el cálculo de la probabilidad solicitada, 16 45 ≈ 0,3556 , hasta 3 puntos.

c) Por el cálculo de la probabilidad solicitada, 45 = 0,8, hasta 3 puntos.

En el apartado a), si el planteamiento y/o la fórmula utilizada son correctos, se puntuará hasta un máximo de 3 puntos. Por la obtención del resultado correcto, hasta 1 punto.

Apartados b) y c). Si el planteamiento y/o la fórmula utilizada para el cálculo de la probabilidad solicitada en el apartado son correctos, se puntuará hasta un máximo de 2 puntos. Por la obtención del resultado correcto, hasta 1 punto.

Si en algún apartado se obtiene alguna probabilidad imposible, este apartado se puntuará con un 0.

Problema 6.

a) Por el cálculo de la probabilidad solicitada, 0,5103, hasta 2,5 puntos.

b) Por el cálculo de la probabilidad solicitada, 0,9994, hasta 2,5 puntos.

c) Por el cálculo de la probabilidad solicitada, 0, 9520, hasta 2,5 puntos.

d) Por el cálculo de la probabilidad solicitada, 0,1667, hasta 2,5 puntos.

En todos los apartados, si el planteamiento y/o la fórmula utilizada son correctos, se puntuará hasta un máximo de 1,5 puntos. Por la obtención del resultado correcto, hasta 1 punto.

Si en algún apartado se obtiene alguna probabilidad imposible, este apartado se puntuará con un 0.

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CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIS DE CORRECCIÓ

CRITERIOS DE CORRECCIÓN

S’han de contestar tres d’entre els sis problemes plantejats. Cada problema es valorarà de 0 a 10 punts i la nota final serà la mitjana aritmètica dels tres.

Totes les respostes han d’estar degudament raonades.

Problema 1. Fins a 5 punts pel plantejament del sistema d’equacions lineals

10x

+ 6y − 3y

8z

8,50

on x, y i z són les quantitats de café colombià, brasiler i kenyà, respectivament, que s’han d’utilitzar, segons el criteri següent:

Una equació correcta 1 punt.

Dues equacions correctes 3 punts.

Tres equacions correctes 5 punts.

De 0 a 4 punts per l’obtenció de la solució del sistema d’equacions.

• 4 punts si la solució és correcta per al sistema plantejat per l’alumne i no hi ha incoherències (valors negatius, etc.).

• Si la solució no és la del sistema plantejat, la puntuació màxima serà de 2 punts.

• Si la solució obtinguda és incoherent amb l’enunciat (valors negatius... ), es puntuarà aquesta part amb un 0.

Solució del sistema: x = 0,375; y = 0,125 i z = 0,5.

Per la solució del problema expressada en percentatges 1 punt: la mescla ha de fer-se amb un 37,5 % de café colombià;

un 12,5 % de café brasiler i un 50 % de café kenyà.

Problema 2.

a) De 0 a 3 punts pel càlcul de la inversa de A − B,

(A − B)−1 =  13

− 13

− 32  .

b) De 0 a 4 punts pel càlcul de la matriu

X=

−1 − 31

− 23

−3 − 43

2 punts pel plantejament, X = −C(A − B)−1 , i 2 punts pel càlcul numèric.

c) De 0 a 3 punts. Fins a un punt per cadascun dels raonaments de per què no es pot fer el producte BC, però sí el CB i fins a un punt pel càlcul de

3 3 13 CB =

1 7 7 Problema 3.

a) De 0 a 1 punt per l’obtenció del domini, R \ {−2, 4}, i de 0 a 1 punt per la determinació dels talls amb els eixos:

(0, 4,5), (−6, 0) i (6, 0).

b) De 0 a 1 punt per l’obtenció de l’asímptota horitzontal, y = 1. De 0 a 1 punt per l’obtenció de les dues aímptotes verticals x = −2 i x = 4.

√ 

 

c) De 0 a 1 punt per l’obtenció dels intervals de creixement (la funció és creixent en 14 − 4 10, 4 ∪ 4, 14 + 4 10 ).

√ 

De 0 a 1 punt per l’obtenció dels intervals de decreixement (la funció és decreixent en ] −∞, −2 [ ∪ −2, 14 − 4 10 ∪

14 + 4 10, ∞ ).

d) De 0 a 2 punts√per la determinació dels màxims i els mínims √ locals: la funció té un màxim √ relatiu en x = 14+4 10 ≈ 26,649 i és f (14 + 4 10) ≈ 1,039 i un mínim relatiu en 14 − 4 10 ≈ 1,3509, i és f (14 − 4 10) ≈ 3,8499.

e) De 0 a 2 punts per la representació de la gràfica de la funció.

Problema 4

a) De 0 a 4 punts. Fins a 2 punts per l’obtenció correcta de la funció de beneficis B(x) = −2x2 + 340x − 672 i fins a 2 punts pel càlcul del nombre mínim d’unitats que s’han de produir perquè el benefici siga no negatiu, que és 2 unitats.

b) De 0 a 3 punts. Fins a 1 punt pel càlcul del nombre d’unitats que maximitza el benefici, 85. Fins a 1 punt per la justificació del fet que és màxim i 1 punt pel càlcul del benefici màxim, 13778 e.

c) De 0 a 3 punts. Fins a 2 punts per la justificació que el màxim benefici s’obté produint 100 unitats i 1 punt pel càlcul del benefici màxim en aquest cas, 13328 e.

Problema 5.

a) Pel càlcul de la probabilitat sol·licitada, 45 ≈ 0,0889, fins a 4 punts.

b) Pel càlcul de la probabilitat sol·licitada, 16 45 ≈ 0,3556 , fins a 3 punts.

c) Pel càlcul de la probabilitat sol·licitada, 45 = 0,8, fins a 3 punts.

En l’apartat a), si el plantejament i/o la fórmula utilitzada són correctes, es puntuarà fins a un màxim de 3 punts.

Per l’obtenció del resultat correcte, fins a 1 punt.

Apartats b) i c). Si el plantejament i/o la fórmula utilitzada per al càlcul de la probabilitat sol·licitada en l’apartat són correctes, es puntuarà fins a un màxim de 2 punts. Per l’obtenció del resultat correcte, fins a 1 punt.

Si en algun apartat s’obté alguna probabilitat impossible, aquest apartat es puntuarà amb un 0.

Problema 6.

a) Pel càlcul de la probabilitat sol·licitada, 0,5103, fins a 2,5 punts.

b) Pel càlcul de la probabilitat sol·licitada, 0, 9994, fins a 2,5 punts.

c) Pel càlcul de la probabilitat sol·licitada, 0, 9520, fins a 2,5 punts.

d) Pel càlcul de la probabilitat sol·licitada, 0,1667, fins a 2,5 punts.

En tots els apartats, si el plantejament i/o la fórmula utilitzada són correctes, es puntuarà fins a un màxim d’1,5 punts. Per l’obtenció del resultat correcte, fins a 1 punt.

Si en algun apartat s’obté alguna probabilitat impossible, aquest apartat es puntuarà amb un 0.