Matemáticas II PAU 2026

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

2026 Proves d’accés a la universitat

Matemàtiques Sèrie 5 Indiqueu l’opció triada:

Exercici 4:

Opció A

Espai per a la correcció Qualificació

Opció B

Espai per a la revisió Comprovació

2a correcció

Exercici 1 Exercici 2 Exercici 3 Exercici 4 Suma de notes parcials Qualificació final

Etiqueta de qualificació

Etiqueta de correcció

Etiqueta de l’estudiant

Ubicació del tribunal ..............................................................................

Número del tribunal ...............................................................................

L’examen consta de QUATRE exercicis obligatoris. Cada exercici val 2,5 punts. Feu els exercicis 1, 2 i 3 responent a TOTES les qüestions que s’hi plantegen. A l’exercici 4, trieu UNA de les dues opcions (A o B) proposades i indiqueu-la a la portada.

En totes les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cal que la redacció de la resposta es faci de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

Podeu utilitzar les pàgines en blanc del final del quadern per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de l’exercici corresponent.

Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació.

Exercici 1

Puntuació total de l’exercici 1

[2,5 punts en total]

Considereu la paràbola y = f(x), amb f(x) = –x 2 + 5x, i la hipèrbola y = g(x), amb

1.1. En quants punts es tallen les gràfiques d’aquestes dues funcions? Calculeu-los tots.

[0,75 punts]

Puntuació de l’apartat 1.1

1.2. Calculeu l’àrea de la regió situada entre les dues corbes des de x = 1 fins a x = 3.

[1 punt]

Puntuació de l’apartat 1.2

1.3. Comproveu que f(x) té les arrels als punts d’abscissa x = 0 i x = 5, i que l’ordenada del vèrtex de la paràbola y = f(x) és y = 6,25. Justifiqueu que y = f(x) és l’única paràbola que existeix amb aquestes dues propietats.

[0,75 punts]

Puntuació de l’apartat 1.3

Exercici 2

Puntuació total de l’exercici 2

[2,5 punts en total]

Considereu les matrius real qualsevol.

, on k és un nombre

2.1. Calculeu els valors de k per als quals MN és invertible.

[0,75 punts]

Puntuació de l’apartat 2.1

2.2. Calculeu els valors de k per als quals NM és invertible.

[0,75 punts]

Puntuació de l’apartat 2.2

2.3. Estudieu per a quins valors reals de m, n i k el sistema

és compatible

indeterminat.

[1 punt]

Puntuació de l’apartat 2.3

Exercici 3

[2,5 punts en total]

Puntuació total de l’exercici 3

En una ciutat s’ha estudiat la relació entre els hàbits de lectura i la pràctica d’esport en l’alumnat de batxillerat. Per a fer-ho, s’han formulat les dues preguntes següents a l’alumnat d’aquesta etapa educativa: «Llegeixes com a mínim dos llibres al mes?» i «Practiques algun esport almenys quatre hores a la setmana?» Dels resultats de l’enquesta, es desprèn que el 60 % llegeixen com a mínim dos llibres al mes, dels quals el 70 % practiquen algun esport un mínim de quatre hores a la setmana.

També s’observa que, d’entre els que no llegeixen un mínim de dos llibres al mes, el 50 % fan menys de quatre hores setmanals d’esport.

Si escollim a l’atzar un alumne/a de batxillerat d’aquesta ciutat:

3.1. Quina és la probabilitat que faci esport almenys quatre hores setmanals?

[0,75 punts]

Puntuació de l’apartat 3.1

3.2. Si sabem que aquest alumne/a fa esport menys de quatre hores setmanals, quina probabilitat hi ha que llegeixi almenys dos llibres al mes?

[0,75 punts]

Puntuació de l’apartat 3.2

L’Alba és una estudiant de batxillerat que ha anat anotant durant tot el curs quantes hores dedicava a la setmana a llegir i quantes a fer esport. Per a cada setmana té apuntat un nombre real x que correspon a la quantitat d’hores de lectura i que osciŀla entre 1 i 6, i un nombre real y que correspon a la quantitat d’hores de pràctica esportiva. Ha observat que la relació y = 7 – x + ln(2x – 1) s’ajusta força bé a les dades que ha anotat.

3.3. Calculeu, segons aquest model, quin és el màxim i el mínim d’hores per setmana que l’Alba ha dedicat a practicar esport.

[1 punt]

Puntuació de l’apartat 3.3

Exercici 4

[2,5 punts en total]

Puntuació total de l’exercici 4

Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

Indiqueu a la portada de l’examen l’opció escollida.

OPCIÓ A D’una funció f(x), sabem que passa pel punt (–1, –1) i que la gràfica de la seva funció derivada és la següent:

4.1. Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f(x) en el punt (–1, –1).

[1 punt]

Puntuació de l’apartat 4.1

4.2. Estudieu si f(x) té punts crítics (punts on f ′(x) = 0) i, en cas que en tingui, determineu-ne les abscisses i classifiqueu-los segons si són màxims, mínims o punts d’inflexió de f(x).

[1 punt]

Puntuació de l’apartat 4.2

4.3. Sabent, a més, que f(0) = –0,2, calculeu l’àrea entre la gràfica de f ′(x) i l’eix de les abscisses, des de x = –1 fins a x = 0.

[0,5 punts]

Puntuació de l’apartat 4.3

OPCIÓ B En una indústria es fan servir braços robòtics amb sensors per a mesurar amb precisió determinades peces metàŀliques i comprovar si tenen irregularitats. Les peces es coŀloquen sobre la superfície determinada pel pla π: (x, y, z) = (6, 1, 1) + λ(1, 1, 0) + μ(0, 0, 1) i, per damunt seu, un braç robòtic desplaça un sensor des del punt A = (1, 2, 3) fins al punt B = (5, 3, 7) en línia recta (les unitats dels tres eixos de coordenades estan expressades en centímetres).

4.1. Quina distància ha recorregut el sensor?

[0,5 punts]

Puntuació de l’apartat 4.1

4.2. En acabar el moviment, a quina distància de la superfície es troba el sensor?

[1 punt]

Puntuació de l’apartat 4.2

4.3. Si el sensor seguís movent-se en la mateixa línia recta i en el mateix sentit, en quin punt xocaria amb la superfície?

[1 punt]

Puntuació de l’apartat 4.3

[Pàgina per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici.]

[Pàgina per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici.]

Comprovació i 2a correcció:

3a correcció:

Etiqueta de l’estudiant

L’Institut d’Estudis Catalans ha tingut cura de la correcció lingüística i de l’edició d’aquesta prova d’accés.