Matemáticas II PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

2025 Proves d’accés a la universitat

Matemàtiques Sèrie 4

Qualificació

Comprovació

2a correcció

Exercici 1 Exercici 2 Exercici 3 Exercici 4. Opció ___ Suma de notes parcials Qualificació final

Etiqueta de l’estudiant

Ubicació del tribunal ..............................................................................

Número del tribunal ...............................................................................

Etiqueta de qualificació

Etiqueta de correcció

L’examen consta de QUATRE exercicis obligatoris. Cada exercici val 2,5 punts. Feu els exercicis 1, 2 i 3 responent a TOTES les qüestions que s’hi plantegen. A l’exercici 4, trieu UNA de les dues opcions (A o B) proposades.

En totes les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cal que la redacció de la resposta es faci de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

Podeu utilitzar les pàgines en blanc del final del quadern per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de l’exercici corresponent.

Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells capaços d’emmagatzemar dades o de transmetre o rebre informació.

Exercici 1

Considereu la funció

a) Indiqueu el domini d’aquesta funció i els talls de la corba y = f(x) amb els eixos de coordenades.

[0,5 punts]

b) Resoleu l’equació f ′(x) = 0 i estudieu les zones de creixement i decreixement de la funció f(x), així com els seus màxims i mínims locals.

[1 punt]

c) Trobeu quin ha de ser el valor de a per tal que el punt (a, 3) pertanyi a la gràfica de la funció i calculeu l’equació de la recta tangent a la corba y = f(x) en aquest punt.

[1 punt]

Espai per a la correcció

Exercici 1

Total

Exercici 2 Considereu el sistema d’equacions

on a és un paràmetre real, i siguin π1 el pla determinat per la primera equació, π2 el determinat per la segona, i π3 el determinat per la tercera.

a) Discutiu el sistema en funció del valor de a.

[1 punt]

b) Descriviu la posició relativa dels tres plans π1, π2 i π3 en funció del valor de a.

[0,75 punts]

c) En algun cas la intersecció dels tres plans és una recta? En cas afirmatiu, digueu per a quin valor del paràmetre, i doneu un vector director i un punt d’aquesta recta.

[0,75 punts]

Espai per a la correcció

Exercici 2

Total

Exercici 3 Un usuari d’Internet ha estimat que el 25 % dels correus electrònics que rep són correu brossa, mentre que la resta no ho són. Per a facilitar la classificació del correu, s’ha instaŀlat un filtre que envia a la carpeta de correu brossa el 95 % dels missatges que efectivament ho són.

Malauradament, aquest filtre deixa a la safata d’entrada només el 90 % dels missatges bons (i la resta els envia a la carpeta de correu brossa).

a) Quina és la probabilitat que un missatge sigui enviat pel filtre a la carpeta de correu brossa?

[0,75 punts]

b) Un dia, aquest usuari obre la carpeta de correu brossa. Quin percentatge de missatges que no són correu brossa hi trobarà?

[0,75 punts]

En un servidor de correu electrònic determinat, la probabilitat de rebre com a mínim dos , on A és una constant correus en menys de t minuts ve donada per la funció F(t) = ∫ real.

c) Sabent que la probabilitat de rebre com a mínim dos correus en menys de dos minuts és 1 – e–1, trobeu el valor de A.

[1 punt]

Espai per a la correcció

Exercici 3

Total

Exercici 4 Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A El dissenyador d’una casa de perfums ha decidit que l’ampolla del proper perfum que l’empresa traurà al mercat serà de vidre i tindrà la forma d’un cilindre amb una mitja esfera a la part superior, tal com es pot veure a la figura següent:

El perfum estarà contingut a la part cilíndrica, la qual té una capacitat de 100 cm3.

L’enginyer a càrrec del procés de producció es proposa minimitzar el cost total del vidre usat i, per tant, vol que la superfície total de l’ampolla sigui mínima.

a) Comproveu que la superfície total de l’ampolla de perfum ve donada per la fórmula

[1 punt]

b) Quines dimensions ha de tenir l’ampolla de perfum perquè la superfície total sigui mínima? Quina és la superfície total de l’ampolla en aquest cas?

[1,5 punts]

Nota:

Recordeu que la superfície d’una esfera ve donada per la fórmula 4πr 2, on r és el seu radi.

OPCIÓ B Considereu les matrius

, on a és un paràmetre real, i

a) Trobeu els valors de a que fan que les matrius A i B commutin. (Dues matrius A i B commuten si A B = B A.) [0,75 punts]

b) Trobeu els valors de a per als quals la matriu A és invertible.

[0,75 punts]

c) Trobeu els valors de a per als quals A–1 = A.

[1 punt]

Espai per a la correcció

Exercici 4. Opció ___

Total

[Pàgina per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici.]

[Pàgina per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici.]

Comprovació:

2a correcció:

3a correcció:

Etiqueta de l’estudiant

L’Institut d’Estudis Catalans ha tingut cura de la correcció lingüística i de l’edició d’aquesta prova d’accés

Soluciones y criterios de corrección en texto

Pàgina 1 de 6 Matemàtiques Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

SÈRIE 1

1. a) Com que 𝑓(0) = −1 = 0, el tall amb l’eix d’ordenades és al punt (0,0). Per als talls 𝑥 2 −2𝑥

amb l’eix d’abscisses, hem de resoldre l’equació 𝑥−1 = 0, que té com a solucions 𝑥 = 0 i 𝑥 = 2; per tant, els talls amb l’eix d’abscisses són (0,0) i (2,0).

Aquesta funció té una asímptota vertical a 𝑥 = 1, ja que aquest punt és fora del domini i lim

𝑥 2 −2𝑥

𝑥⟶1

𝑥 2 −2𝑥

−1

𝑥 2 −2𝑥

−1

−1

= 0 = ±∞ (més precisament, lim+ 𝑥−1 = +0 = −∞ i lim− 𝑥−1 = −0 = 𝑥−1 𝑥⟶1

𝑥⟶1

+∞). A més a més, aquesta funció té una asímptota obliqua, ja que:

𝑓(𝑥)

lim

𝑥⟶∞ 𝑥

𝑥 2 −2𝑥

𝑥 2 −2𝑥

= lim 𝑥(𝑥−1) = lim 𝑥 2 −𝑥 = 1 = 1.

𝑥⟶∞

𝑥⟶∞

Com que 𝑥 2 − 2𝑥 𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑥 2 + 𝑥 −𝑥 − 𝑥) = lim = lim = −1, 𝑥⟶∞ 𝑥⟶∞ 𝑥⟶∞ 𝑥 − 1 𝑥−1 𝑥−1

lim (𝑓(𝑥) − 𝑥) = lim (

𝑥⟶∞

es tracta de la recta 𝑦 = 𝑥 – 1.

b) La derivada d’aquesta funció és:

𝑓 ′ (𝑥) =

(2𝑥 − 2)(𝑥 − 1) − (𝑥 2 − 2𝑥) 2𝑥 2 − 2𝑥 − 2𝑥 + 2 − 𝑥 2 + 2𝑥

(𝑥 − 1)2 (𝑥 − 1)2

𝑥 − 2𝑥 + 2

(𝑥 − 1)2

Com que 𝑓(0) = 0 i 𝑓 ′ (0) = 2, la recta tangent al punt (0,0) tindrà per equació:

𝑦 − 0 = 2(𝑥 − 0) ⟶ 𝑦 = 2𝑥.

Anàlogament, com que 𝑓(2) = (2,0) tindrà per equació:

4−4

= 0 i 𝑓 ′ (2) =

4−4+2

= 2, la recta tangent al punt

𝑦 − 0 = 2(𝑥 − 2) ⟶ 𝑦 = 2𝑥 − 4.

Pàgina 2 de 6 Matemàtiques Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

Aquestes dues rectes són paral·leles ja que tenen el mateix pendent: 𝑓 ′ (0) = 𝑓 ′ (2) = 2.

c) Igualant la derivada a 1, ens queda una equació sense solució:

𝑥 2 − 2𝑥 + 2 = 1 ⟶ 𝑥 2 − 2𝑥 + 2 = (𝑥 − 1)2 ⟶ 2 = 1.

(𝑥 − 1)2 Per tant, no hi ha cap punt on la recta tangent tingui pendent 1.

Criteris de correcció: a) Compteu 0,25 p. pels punts de tall; 0,25 p. per l’asímptota vertical (encara que no distingeixin el límit per la dreta i per l’esquerra), i 0,5 p. per l’equació de l’asímptota obliqua. b) Compteu 0,25 p. pel càlcul de la derivada; 0,25 p.

per cadascuna de les rectes tangents, i 0,25 p. per justificar correctament que són paral·leles. c) Compteu 0,25 p. per plantejar l’equació i 0,25 p. per veure que no té solució i respondre que la gràfica no té cap recta tangent amb pendent 1.

2. a) La matriu de coeficients i l’ampliada, 𝐴 i 𝐴′ respectivament, són les següents:

𝑝2

1 −1 𝑝 + 3 0 −1 || 5 −1 0

𝐴′

En primer lloc, calculem el determinant de 𝐴:

|𝐴| = |𝑝2

1 −1 0 −1| = 0 + 𝑝2 − 1 = 𝑝2 − 1.

−1 0

Igualant-lo a zero, en resulten els valors 𝑝 = 1 i 𝑝 = – 1. Per tant, distingim els casos següents:

Si 𝑝 ≠ 1, – 1, el determinant de 𝐴 és diferent de zero i, per tant, 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴′ ) = 3, que és igual al nombre d’incògnites. Per tant, es tracta d’un sistema compatible determinat.

Si 𝑝 = 1, el determinant de la matriu de coeficients és zero; com que tenim el menor 0 1

| = – 1 ≠ 0, aleshores 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 2. Però la matriu ampliada té 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴′ ) = 1 0 3 gràcies, per exemple, al menor:

|1

1 4 0 5| = 5 − 4 − 3 = −2 ≠ 0.

−1 3

Pàgina 3 de 6 Matemàtiques Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

Per tant, el sistema és incompatible.

Si 𝑝 = – 1, tenim el sistema:

𝑦−𝑧 =2 { 𝑥−𝑧 =5 𝑥 − 𝑦 = 3.

Eliminant la segona equació (per ser suma de la primera i la tercera), i com que la matriu 0 1 −1 2

) té rang 2, el sistema és compatible indeterminat amb un grau de 1 −1 0 3 llibertat.

b) Per al cas 𝑝 = – 1, es tracta del sistema:

𝑦 –𝑧 = 2 𝑥 – 𝑦 = 3,

que és compatible indeterminat. Fent 𝑦 = 𝜆, s’obté 𝑥 = 𝜆 + 3 i 𝑧 = 𝜆 – 2. Per tant la solució del sistema és, en aquest cas, (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝜆 + 3, 𝜆, 𝜆 – 2), amb 𝜆 real.

c) Per al cas 𝑝 = – 1, el sistema té les infinites solucions obtingudes a l’apartat anterior.

Imposant, a més, que 𝑥𝑦 = 10, resulta (𝜆 + 3)𝜆 = 10; és a dir, 𝜆2 + 3𝜆 – 10 = 0; d’aquí obtenim:

𝜆=

– 3 ± √9 – 4(−10) – 3 ± 7

= – 5, 2.

Per tant, el sistema té exactament dues solucions complint 𝑥𝑦 = 10, que són les corresponents a 𝜆 = – 5 i 𝜆 = 2. Es tracta de (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (– 2, – 5, – 7) i (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5, 2, 0), respectivament.

Criteris de correcció: a) Compteu 0,25 punts pel càlcul del determinant; 0,25 p. per determinar els valors crítics de 𝑝, i 0,25 p. per la discussió de cadascun dels tres casos. b) Compteu 0,5 punts pel càlcul correcte del conjunt de solucions (evidentment, poden triar qualsevol de les variables com a lliure). c) Compteu 0,25 p. pel plantejament de l’equació quadràtica; 0,25 p. per la seva resolució, i 0,25 p. pel càlcul dels dos punts resultants.

Comentaris: hi ha altres maneres de discutir i resoldre el sistema d’equacions. Compteules bé en la mesura que ho facin correctament i de manera justificada.

Pàgina 4 de 6 Matemàtiques Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

3. a) Considerem els successos aleatoris següents:

𝐴 = "𝑙𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑙𝑖𝑑𝑎 é𝑠 𝑑′ 𝑎𝑐𝑒𝑟", 𝐹 = "𝑙𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑙𝑖𝑑𝑎 é𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜", 𝐷 = "𝑙𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑙𝑖𝑑𝑎 é𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎".

De les dades de l’enunciat tenim 𝑃(𝐹) = 0,6, 𝑃(𝐴) = 1 – 0,6 = 0,4, 𝑃(𝐷|𝐹) = 0,05, 𝑃(𝐷|𝐴) = 0,03. Per la llei de probabilitats totals, la probabilitat que una peça sigui defectuosa és:

𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐷|𝐹)𝑃(𝐹) + 𝑃(𝐷|𝐴)𝑃(𝐴) = 0,05 · 0,6 + 0,03 · 0,4 = 0,042.

b) Anomenem 𝑋 el nombre de peces defectuoses en un paquet. De l’enunciat deduïm que 𝑋 segueix una llei binomial amb 𝑛 = 5 i probabilitat 𝑝. Per tant, la probabilitat que en un paquet hi hagi exactament quatre peces defectuoses és:

5!

𝑃(𝑋 = 4) = ( ) 𝑝4 (1 – 𝑝) = 𝑝4 (1 – 𝑝) = 5 𝑝4 (1 – 𝑝) = 5(𝑝4 – 𝑝5 ).

4!

També podem argumentar directament sense fer servir la llei binomial. Com que hi ha quatre peces defectuoses, n’hi haurà exactament una que no ho és. La probabilitat que una en concret (per exemple, la primera) sigui bona i les altres quatre defectuoses és (1 − 𝑝)𝑝4 . Com que hi ha cinc possibilitats per escollir quina és la peça bona, 𝑃(𝑋 = 4) = 5(1 – 𝑝)𝑝4 = 5(𝑝4 – 𝑝5 ).

c) Busquem els extrems relatius de la funció 𝑓(𝑝) = 5(𝑝4 – 𝑝5 ).

𝑓 ′ (𝑝) = 5(4𝑝3 – 5𝑝4 ) = 0

𝑝 = 0,

𝑝= .

Observem que 𝑓(0) = 0 i que 𝑓 (5) > 0. Mirem el signe de la segona derivada:

4 2 4 3 𝑓 ′′ (𝑝) = 5(12𝑝2 – 20𝑝3 ) → 𝑓 ′′ ( ) = 5 (12 ( ) – 20 ( ) ) < 0.

i deduïm que a 𝑝 = 5 la funció 𝑓(𝑝) assoleix un màxim local. Com que per 𝑝 ∈ (0, 5) la

funció creix i per 𝑝 > 5 la funció decreix, es tracta d’un màxim absolut quan 𝑝 és no

4 4

4 5

negativa. I el valor màxim serà 𝑓 (5) = 5 ((5) – (5) ) = 0,41.

Pàgina 5 de 6 Matemàtiques Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

Criteris de correcció: a) Compteu 0,25 punts per plantejar la llei de la probabilitat total (o fer l’arbre de decisió o similar); 0,25 p. per identificar correctament les dades del problema, i 0,25 p. pel càlcul concret. b) Compteu 0,5 punts pel plantejament i 0,25 p.

pel càlcul. c) Compteu 0,25 punts pel càlcul de la derivada i els punts crítics, 0,5 p. per argumentar que el màxim absolut en 𝑝 > 0 es troba a 𝑝 = 4/5, i 0,25 p. per trobar el valor d’aquest màxim.

4. OPCIÓ A. La vela ocupa la regió compresa entre les corbes 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, i 𝑦 = – 𝑥 2 +

25. Per calcular el cost total, caldrà calcular separadament l’àrea de la regió superior i l’àrea de la regió inferior i multiplicar-les cadascuna pel preu del material respectiu (niló o polièster).

Trobem primer els punts de tall entre les funcions involucrades: el punt de tall de 𝑦 =

– 𝑥 2 + 25 amb la part positiva de l’eix d’abscisses és:

𝑦 = 0 ⟶ −𝑥 2 + 25 = 0 ⟶ 𝑥 = 5.

L’abscissa positiva del punt de tall entre les corbes 𝑦 = – 𝑥 2 + 25 i 𝑦 = 9 és

– 𝑥 2 + 25 = 9 ⟶ −𝑥 2 = – 16 ⟶ 𝑥 = 4.

L’àrea total sota la corba 𝑦 = – 𝑥 2 + 25 entre els extrems 𝑥 = 0 i 𝑥 = 5 és

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∫

(−𝑥 2

– 𝑥3

– 125 250 2 + 25) 𝑑𝑥 = [ + 25𝑥] = + 125 – 0 = 𝑢 .

L’àrea de la regió inferior és:

−𝑥 3

𝐴𝑖𝑛𝑓 = ∫0 9𝑑𝑥 + ∫4 (−𝑥 2 + 25) 𝑑𝑥 = 9 · 4 + [ 3 + 25𝑥] =

14 122 2 = 36 + (– + 125) – (– + 100) = 36 +

𝑢 .

Finalment, l’àrea de la regió superior és la diferència:

𝐴𝑠𝑢𝑝 = 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 – 𝐴𝑖𝑛𝑓 =

250 122 128 2

𝑢 .

Així doncs, el cost total de la vela serà:

128 2 122 2

6.400 + 8.540 𝑢 · 50 €/𝑢2 + 𝑢 · 70 €/𝑢2 = € = 4.980 €.

Pàgina 6 de 6 Matemàtiques Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria ordinària. Criteri específic d'avaluació

Criteris de correcció: Compteu 0,25 punts pels punts de tall; 0,5 p. pel plantejament de l’àrea de la regió inferior, i 0,5 p. pel càlcul; 0,5 p. pel plantejament de l’àrea de la regió superior, i 0,5 p. pel càlcul, i, finalment, 0,25 p. pel càlcul del cost final.

Comentaris: hi ha altres maneres de plantejar el càlcul de les dues àrees. Compteu-les bé si ho fan correctament i de manera justificada.

4. OPCIÓ B. a) El pla 𝜋′ que busquem té vectors directors (1,1,0) i ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = (3, – 3, 6) – (1, – 1, 2) = (2, – 2, 4)~(1, – 1, 2). Fent-lo passar pel punt 𝑃, serà el pla d’equació:

𝑥−1 | 1

𝑦+1

−1

𝑧−2 0 | = 2𝑥 − 2 − 𝑧 + 2 − 𝑧 + 2 − 2𝑦 − 2 = 0

és a dir, 2𝑥 – 2𝑦 – 2𝑧 = 0; o, simplificant, 𝑥 – 𝑦 – 𝑧 = 0.

b) La recta que ens demanen és la intersecció del pla 𝜋′ amb el pla perpendicular a ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 ~(1, −1, 2) que passa pel punt mig:

𝑀=

𝑃+𝑄 1 = (4, −4, 8) = (2, −2, 4).

Aquest pla té equació 𝑥 – 𝑦 + 2𝑧 = 𝐷 amb 𝐷 = 2 – (– 2) + 2 · 4 = 12; és a dir, 𝑥 – 𝑦 + 2𝑧 = 12. Per tant, la recta demanada és:

𝑥– 𝑦– 𝑧=0 }.

𝑥 – 𝑦 + 2𝑧 = 12 Com que restant obtenim 𝑧 = 4, es tracta de la recta:

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑘 + 4, 𝑘, 4) = (4,0,4) + 𝑘(1,1,0).

Criteris de correcció: a) Compteu 0,5 punts per plantejar correctament el problema i 0,5 pel càlcul de l’equació. b) Compteu 0,75 p. per calcular l’equació del pla perpendicular a ̅̅̅̅ passant pel punt mig, i 0,75 p. per l’equació paramètrica de la recta intersecció amb 𝑃𝑄 𝜋′.