Matemáticas II PAU 2025

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

2025 Proves d’accés a la universitat

Matemàtiques Sèrie 3

Qualificació

Comprovació

2a correcció

Exercici 1 Exercici 2 Exercici 3 Exercici 4. Opció ___ Suma de notes parcials Qualificació final

Etiqueta de l’estudiant

Ubicació del tribunal ..............................................................................

Número del tribunal ...............................................................................

Etiqueta de qualificació

Etiqueta de correcció

L’examen consta de QUATRE exercicis obligatoris. Cada exercici val 2,5 punts. Feu els exercicis 1, 2 i 3 responent a TOTES les qüestions que s’hi plantegen. A l’exercici 4, trieu UNA de les dues opcions (A o B) proposades.

En totes les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cal que la redacció de la resposta es faci de manera coherent, amb correcció i claredat, emprant la notació i el vocabulari matemàtic adequats i expressant la solució de manera clara.

Podeu utilitzar les pàgines en blanc del final del quadern per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de l’exercici corresponent.

Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells capaços d’emmagatzemar dades o de transmetre o rebre informació.

Exercici 1 Una família vol comprar un terreny per a fer-s’hi una casa envoltada de penya-segats amb vistes al mar. En aquella zona de la costa, els penya-segats segueixen les rectes y = 0 i y = 3x. A més, la família vol que el terreny sigui triangular i que el tercer costat del triangle passi pel punt P = (1, 1), tal com es pot veure en la figura.

a) Plantegeu l’equació de la recta r que defineix el tercer costat del triangle en funció del seu pendent m, i comproveu que l’àrea del terreny ve donada per [1 punt]

b) Calculeu el valor de m que fa que l’àrea d’aquest terreny (i, per tant, el seu preu) sigui mínima. Quin és el valor d’aquesta àrea?

[1,5 punts]

Espai per a la correcció Exercici 1

Total

Exercici 2 Considereu el sistema d’equacions lineals següent:

a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre m.

[1,25 punts]

b) Resoleu el sistema per a m = 1.

[0,5 punts]

c) Resoleu el sistema quan aquest tingui infinites solucions.

[0,75 punts]

Espai per a la correcció

Exercici 2

Total

Exercici 3 La lesió per sesamoïditis (inflamació de l’os sesamoide del peu) és relativament habitual entre la població que practica esports d’impacte (atletisme, bàsquet, tennis…). En una població d’esportistes, s’ha fet un estudi diferenciant entre els que practiquen esports d’impacte i els que practiquen esports sense impacte brusc (com ara natació, pilates, senderisme…). S’ha pogut determinar que el 45 % practiquen esports d’impacte. Entre aquests, un 10 % pateixen lesions per sesamoïditis, mentre que entre els que no practiquen esports d’impacte només un 3 % presenten aquesta lesió. Escollim un esportista a l’atzar.

a) Quina és la probabilitat que pateixi sesamoïditis?

[0,75 punts]

b) Si l’esportista escollit té una lesió per sesamoïditis, quina és la probabilitat que practiqui esports d’impacte?

[0,75 punts]

Una empresa de calçat esportiu ha creat una sabatilla amb amortiment per a minimitzar les lesions per sesamoïditis. Els beneficis generats per la venda d’aquest producte, en milers d’euros, segueixen una funció de la forma f(x) = ax3 + bx2 + cx, on x són els anys transcorreguts des que la sabatilla va sortir a la venda i a, b i c són constants reals.

c) Calculeu els valors de a, b i c sabent que el primer any es van obtenir el màxim de beneficis, amb un valor de 8 000 euros, i que el segon any va haver-hi un punt d’inflexió en els beneficis.

[1 punt]

Espai per a la correcció

Exercici 3

Total

Exercici 4 Trieu UNA de les dues opcions (A o B) i responeu a les qüestions que s’hi plantegen.

OPCIÓ A Un vidrier està reparant un dels vitralls de la Sagrada Família la forma del qual és la de la part ombrejada de la figura adjunta. S’ha adonat que Gaudí el va dissenyar de manera que un dels costats segueix la funció y = 3sin(x/4) i un altre segueix la funció y = 3cos(x/4), on x i y estan expressades en metres.

a) Raoneu a quina funció correspon cada gràfica i calculeu les coordenades dels punts B i C assenyalats a la figura (tenint en compte que A és l’origen de coordenades).

[1 punt]

b) Calculeu el preu del vitrall sabent que costa 750 €/m2.

[1,5 punts]

OPCIÓ B Considereu el pla π: 2x – y + z = 5 i el punt P = (0, 1, 3).

a) Comproveu que la distància del punt P al pla π és

[0,5 punts]

b) Trobeu l’equació general d’un pla π1 paraŀlel a π i que passi pel punt P. Quina és la distància entre π1 i π?

[0,75 punts]

c) Trobeu l’equació general d’un segon pla π2, diferent de π1, que és paraŀlel a π i que estigui a una distància [1,25 punts]

de π.

Espai per a la correcció

Exercici 4. Opció ___

Total

[Pàgina per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici.]

[Pàgina per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a algun exercici.]

Comprovació:

2a correcció:

3a correcció:

Etiqueta de l’estudiant

L’Institut d’Estudis Catalans ha tingut cura de la correcció lingüística i de l’edició d’aquesta prova d’accés

Soluciones y criterios de corrección en texto

Pàgina 1 de 6 Matemàtiques Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació

SÈRIE 3

1. a) Tenint en compte que la recta 𝑟 ha de passar pel punt 𝑃 = (1,1) i que 𝑚 és el seu pendent, la recta 𝑟 té per equació 𝑦 − 1 = 𝑚(𝑥 − 1). La mida de la base del triangle és l’abscissa del punt d’intersecció de la recta 𝑟 amb l’eix 𝑂𝑋 𝑚−1 𝑦 − 1 = 𝑚(𝑥 − 1)

→ 0 − 1 = 𝑚(𝑥 − 1) → 𝑥 =

𝑦=0

I l’alçada del triangle és l’ordenada del punt d’intersecció de la recta 𝑟 amb 𝑦 = 3𝑥:

𝑚−1 𝑚−1 𝑦 − 1 = 𝑚(𝑥 − 1) → 3𝑥 − 1 = 𝑚(𝑥 − 1) → 𝑥 = , 𝑦=3·

𝑦 = 3𝑥 𝑚−3 𝑚−3

La funció a minimitzar és la que calcula l’àrea del triangle:

𝑚−1

𝑚−1

𝑚2 −2𝑚+1

𝐴(𝑚) = 2 · 𝑚 · 3 · 𝑚−3 = 2 · 𝑚2 −3𝑚 ·

𝑚2 −2𝑚+1

Parlant estrictament el valor de l’àrea és 𝐴(𝑚) = | 2 · 𝑚2 −3𝑚 | perquè hi ha valors de 𝑚 per als quals aquesta expressió és negativa. No tingueu en compte si ignoren aquest detall.

b) Derivem la funció àrea i igualem a zero per trobar els possibles extrems relatius:

𝐴′ (𝑚) = 2 ·

(2𝑚−2)(𝑚2 −3𝑚)−(𝑚2 −2𝑚+1)(2𝑚−3) 3 −𝑚2 −2𝑚+3

= 0,

(𝑚 −3𝑚) 2 (𝑚2 −3𝑚)2

−𝑚2 − 2𝑚 + 3 = 0 → 𝑚 =

2±√4−4(−1)3 −2

2±4

= −2 = 1, −3.

Per comprovar si són màxims o mínims fem la segona derivada:

𝐴′′ (𝑚) =

3 (−2𝑚 − 2)(𝑚2 − 3𝑚)2 − (−𝑚2 − 2𝑚 + 3)2(𝑚2 − 3𝑚)(2𝑚 − 3)

(𝑚2 − 3𝑚)4

i, com que 𝐴′′ (−3) = 54 > 0 i 𝐴′′ (1) = − 2 ˂0, el mínim correspon a 𝑚 = −3 (segons l’esbós, el pendent ja ha de ser negatiu).

Alternativament, podem estudiar el creixement i decreixement de la funció 𝐴(𝑚).

Aquests venen donats pel signe de la primera derivada, però com que aquesta té un quadrat al denominador, dependrà només del signe del numerador −𝑚2 − 2𝑚 + 3. Això és una paràbola oberta cap avall i que talla l’eix OX en els punts (-3,0) i (1,0); així doncs, per a 𝑚 < −3, la derivada és negativa i la funció decreix, i per −3 < 𝑚 < 1, la derivada

Pàgina 2 de 6 Matemàtiques Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació

és positiva i la funció creix, per la qual cosa en 𝑚 = −3, l´àrea és mínima. El valor d’aquesta àrea és:

3 (−3)2 − 2(−3) + 1 3 16 4 2 𝐴(−3) = · = · = 𝑢 .

(−3)2 − 3(−3)

2 18 3 Criteris de correcció: (a) Compteu 0,25 per l’equació del feix de rectes; 0,25 per la mida de la base del triangle; 0,25 per l’alçada, i 0,25 pel càlcul de l’àrea (tot en funció de 𝑚).

(b) Compteu 0,5 per la derivada; 0,25 per calcular els punts crítics; 0,5 per justificar el mínim, i 0,25 per calcular el valor de l’àrea.

2. a) Calculem el determinant de la matriu de coeficients:

|𝐴| = |𝑚

2 | = 𝑚2 − (2𝑚 − 3𝑚) = 𝑚2 + 𝑚 = 𝑚(𝑚 + 1) −1

i observem que s’anul·la quan 𝑚 = 0 i 𝑚 = −1. Per tant,

Si 𝑚 ≠ 0 i 𝑚 ≠ −1, el rang de la matriu de coeficients és 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 3, el rang de la matriu ampliada també i, com que també coincideix amb el nombre d’incògnites, 3, el sistema és compatible determinat; té, per tant, solució única.

Si 𝑚 = 0, la matriu de coeficients té determinant zero i rang 2 (per exemple, gràcies 1 3 1 5 3 1 al menor | | = 6 ≠ 0). Com que la matriu ampliada (0 0 2 0) també té 0 2 0 0 −1 0 rang 2, el sistema és compatible indeterminat i té infinites solucions que dependran d’un paràmetre.

Si 𝑚 = −1, la matriu de coeficients també té rang 2, mentre que el rang de l’ampliada

és 3: (−1 0

0 ) (desenvolupant, per exemple, el determinant de les tres 0 −1 −1 −1 darreres columnes per la segona fila). Per tant, el sistema és incompatible i no té solució.

b) Si 𝑚 = 1, el sistema queda 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 5 𝑥 + 2𝑧 = 0 } 𝑦−𝑧 =1

Pàgina 3 de 6 Matemàtiques Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació

i sabem que és compatible determinat. Substituint 𝑥 = −2𝑧 i 𝑦 = 1 + 𝑧 a la primera equació obtenim −2𝑧 + 3(1 + 𝑧) + 𝑧 = 5, d’on resulta 2𝑧 = 2 i 𝑧 = 1. Per tant, la solució és (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−2, 2, 1).

c) El sistema té infinites solucions quan és compatible indeterminat, és a dir, quan 𝑚 =

0. En aquest cas, de les dues últimes equacions en resulta 𝑧 = 0, i la primera ens diu 𝑥 + 3𝑦 = 5. Per tant, les solucions del sistema són les de la forma:

𝑥 = 5 − 3𝑘 𝑦=𝑘∈𝑅} 𝑧=0 Criteris de correcció: (a) Compteu 0,25 pel càlcul del determinant; 0,25 per la determinació dels valors crítics de 𝑚, i 0,25 per l’anàlisi de cadascun dels tres casos. (b) Compteu 0,5 punts per la resolució del sistema. (c) Compteu 0,25 punts per reconèixer el valor de 𝑚 a què es refereix l’enunciat, i 0,5 pel càlcul de l’expressió paramètrica de la solució.

3. a) Considerem els esdeveniments aleatoris

𝐼 = ``𝑝𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡 𝑑 ′ 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑒 ′′ , 𝑆 = ``𝑝𝑎𝑡𝑖𝑟 𝑠𝑒𝑠𝑎𝑚𝑜ï𝑑𝑖𝑡𝑖𝑠 ′′ .

De les dades de l’enunciat sabem que 𝑃(𝐼) = 0,45, 𝑃(𝐼 )̅ = 1 − 0,45 = 0,55, 𝑃( 𝑆 ∣ 𝐼 ) = 0,1, i 𝑃( 𝑆 ∣ 𝐼 ̅ ) = 0,03. Per la llei de les probabilitats totals, tenim:

𝑃(𝑆) = 𝑃(𝑆|𝐼)𝑃(𝐼) + 𝑃(𝑆| 𝐼 )̅ 𝑃(𝐼 )̅ = 0,1 · 0,45 + 0,03 · 0,55 = 0,0615.

b) Per la fórmula de Bayes:

𝑃(𝐼|𝑆) =

𝑃(𝑆|𝐼)𝑃(𝐼) 0,1 · 0,45

≈ 0,7317 … 𝑃(𝑆) 0,0615

c) El primer any s’obtenen el màxim de beneficis, per tant 𝑥 = 1 és un màxim de la funció i 𝑓′(1) = 0; i aquests beneficis obtinguts són de 8.000 €, per tant, 𝑓(1) =

8. També ens diuen que el segon any hi va haver un punt d’inflexió en els beneficis, per tant, 𝑓 ′′ (2) = 0. Calculem la primera i segona derivades de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 i imposem aquestes tres condicions:

𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑎𝑥 2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑓 ′′ (𝑥) = 6𝑎𝑥 + 2𝑏,

Pàgina 4 de 6 Matemàtiques Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació

𝑓 ′ (1) = 0 ⇒ 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 𝑓(1) = 8 ⟹ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 8 } 𝑓 ′′ (2) = 0 ⟹ 12𝑎 + 2𝑏 = 0 Restant les dues primeres equacions, obtenim 2𝑎 + 𝑏 = −8 i, combinant amb la tercera:

12𝑎 + 2𝑏 = 0 12𝑎 + 2𝑏 = 0 } ⟹

2𝑎 + 𝑏 = −8 −4𝑎 − 2𝑏 = 16 ⟹ 𝑎 = = 2.

__________________

8𝑎 = 16 Per tant, 2 · 2 + 𝑏 = −8, d’on 𝑏 = −12. Finalment, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 8 ⟹ 𝑐 = 8 − 𝑎 − 𝑏 = 8 − 2 + 12 = 18.

La funció que compta els beneficis d’aquesta empresa és, doncs, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 12𝑥 2 + 18𝑥.

Criteris de correcció: (a) Compteu 0,25 per plantejar la llei de la probabilitat total (o fer un arbre de decisió o similar); 0,25 per identificar correctament les dades del problema, i 0,25 pel càlcul. (b) Compteu 0,25 per plantejar correctament la fórmula de Bayes (o la fórmula de la probabilitat condicionada) i 0,5 pel càlcul. (c) Compteu 0,25 per imposar 𝑓 ′ (1) = 0, 0,25 per imposar 𝑓(1) = 8, 0,25 per imposar 𝑓’’(2) = 0 i 0,25 pel càlcul final.

4. OPCIÓ A. a) Com que 3sin(4) = 0 i 3 cos(4) = 3, la gràfica inferior (la que passa pels punts 𝐴 i 𝐶) és la del sinus, i la superior (la que passa per 𝐵 i 𝐶) és la

del cosinus. El punt 𝐵 correspon al valor de 3cos(4) = 3, per tant és el punt 𝐵 = (0,3). Finalment, el punt 𝐶 és el punt de tall entre el sinus i el cosinus,

3 sin(4) = 3 cos(4),

3 sin (4)

𝑥 𝜋

tan

= ⟶ 𝑥 = 𝜋.

4 4 3 cos (4)

Com que 3 sin (4 ) = 3cos ( 4 ) =

3√2

3√2

, el punt de tall és 𝐶 = (𝜋, 2 ).

b) Per a calcular el preu del vitrall necessitem trobar la seva àrea:

Pàgina 5 de 6 Matemàtiques Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació

𝑥 𝜋 𝐴 = ∫ (3cos ( ) − 3sin ( )) 𝑑𝑥 = [12 sin( ) + 12 cos( )]

4 0

√2 √2 = 12 (sin ( ) + cos ( ) − sin(0) − cos(0)) = 12 ( + − 0 − 1)

= 12(√2 − 1) ≃ 4,97 𝑚2 .

Per tant, el preu del vitrall serà de 4,97 𝑚2 · 750 𝑚2 = 3.725,5 €.

Criteris de correcció: (a) Compteu 0,5 per raonar quina gràfica és cadascuna;

0,25 per les coordenades del punt 𝐵, i 0,25 per les de 𝐶. (b) Compteu 0,25 per plantejar la integral correctament; 0,5 per la primitiva; 0,5 per trobar l’àrea, i 0,25 pel preu final. Compteu 0 de la part de la primitiva si no tracten adequadament el coeficient del sinus i del cosinus.

4. OPCIÓ B. a) Només cal aplicar la fórmula de la distància punt-pla per comprovar que 𝑑(𝑃, 𝜋) =

|2 · 0 − 1 + 3 − 5| √22 + (−1)2 + 12

√6

3√6 √6 = .

b) Tot pla paral·lel a 𝜋 és de la forma 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 𝐷 per algun 𝐷 real. Com que volem que passi pel punt 𝑃 tenim 2·0−1+3= 𝐷 i, per tant, 𝐷 = 2. El pla buscat és 𝜋1 : 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2. Clarament la distància entre 𝜋1 i √6

𝜋 és 𝑑(𝜋1 , 𝜋) = 𝑑(𝑃, 𝜋) = 2 .

√6

c) Per trobar un segon pla 𝜋2 també paral·lel a 𝜋 i que també estigui a distància 2 de 𝜋, buscarem el punt simètric, 𝑃′, de 𝑃 respecte al pla 𝜋. Busquem la recta perpendicular a 𝜋 que passa pel punt 𝑃. L’equació paramètrica d’aquesta recta és 𝑟: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,1,3) + 𝜆 · (2, −1, 1) = (2𝜆, 1 − 𝜆, 3 + 𝜆).

Busquem el punt d’intersecció 𝑀 de la recta 𝑟 amb el pla 𝜋:

2 · (2𝜆) − (1 − 𝜆) + 3 + 𝜆 = 5 6𝜆 = 3

𝜆= .

Pàgina 6 de 6 Matemàtiques Proves d’accés a la Universitat 2025, convocatòria extraordinària. Criteri específic d'avaluació 1 7

Per tant, 𝑀 = (1, 2 , 2). Ara ens cal trobar el punt simètric 𝑃′ de 𝑃 respecte de 𝜋, fent per

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,1,3) + 2 · (1, − , ) = (2, 0, 4).

exemple 𝑃′ = 𝑃 + 2𝑃𝑀 2 2 Finalment el pla buscat és de la forma 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 𝐸 per algun 𝐸 real i passa per 𝑃′, així doncs, 2 · 2 − 0 + 4 = 𝐸, i 𝐸 = 8. Tenim doncs que 𝜋2 és el pla d’equació 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 8.

Alternativament, també poden plantejar l’equació de la distància d’un pla paral·lel genèric, a un punt qualsevol de 𝜋 i demanar que sigui √6/2. Una solució serà el 𝜋1 i l’altra el pla buscat 𝜋2 . Compteu bé aquesta manera alternativa si està ben justificada i calculada.

Criteris de correcció: (a) Compteu 0,5 per la comprovació que la distància és la que diu l’enunciat (inclosa la simplificació de la fracció amb arrels). (b) Compteu 0,5 per l’equació del pla paral·lel i 0,25 per argumentar que la distància és la mateixa. (c) Compteu 0,5 pel càlcul de la projecció, 0,5 pel càlcul del punt simètric, i 0,25 per l’equació final del pla.