Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2021

Soluciones y criterios de corrección en texto

DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD

Curso:

2020/2021

Asignatura:

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. II

1º Comentarios acerca del programa del segundo curso del Bachillerato, en relación con la Prueba de Acceso y Admisión a la Universidad.

0. INTRODUCCIÓN Este documento de Contenidos y Objetivos mínimos de la materia de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II se basa en la normativa, actualmente en vigor, que regula el acceso a la Universidad para el curso 2020/21:

DISPOSICIONES DE BACHILLERATO:

- Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, (BOE de 3 de enero de 2015), por el que se establece el currículo básico de ESO y del Bachillerato.

- Decreto 110/2016, de 14 junio, (BOJA de 28 de junio de 2016) por el que se establece la ordenación y el currículo del Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Andalucía.

- Orden de 14 de julio de 2016, (BOJA de 29 de julio de 2016) por la que se desarrolla el currículo correspondiente al Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Andalucía.

DISPOSICIONES DE PRUEBAS:

- PCM/2/2021, de 11 de enero, (BOE de 13 de enero de 2021), por la que se determinan las características, el diseño y el contenido de la evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad y las fechas máximas de realización y de resolución de los procedimientos de revisión de las calificaciones obtenidas, para el curso 2020/2021.

- Real Decreto 412/2014, de 6 de junio, por el que se establece la normativa básica de los procedimientos de admisión a las enseñanzas universitarias oficiales de Grado (BOE de 7 de junio de 2014).

- Real Decreto 310/2016, de 29 de julio, por el que se regulan las evaluaciones finales de ESO y de Bachillerato (BOE de 30 de julio de 2016).

- Real Decreto-ley 5/2016, de 9 de diciembre, (BOE de 10 de diciembre de 2016) de medidas urgentes para la ampliación del calendario de implantación de la Ley Orgánica 8/2013.

- Orden de 22 de diciembre de 1999, (BOJA de 27 de enero de 2000), sobre la organización de la Prueba de Acceso a la Universidad.

Las páginas que siguen a continuación constituyen una referencia obligada para el alumnado y el profesorado de la materia de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. No pretenden ser, obviamente, una programación de la materia, tarea de competencia exclusiva de los Departamentos, sino el último nivel de concreción curricular de los contenidos que se exigirán en la prueba de evaluación de Bachillerato para el acceso a la Universidad.

Por último, desde estas líneas la Ponencia manifiesta su voluntad de seguir abierta a cuantas sugerencias les sean remitidas por el profesorado, a través de las correspondientes coordinaciones provinciales, compartiendo la permanente, y siempre inacabada, misión de facilitar el tránsito del alumnado de la Enseñanza Secundaria a la Universidad.

1. CONTENIDOS

1.1. NÚMEROS Y ÁLGEBRA Las matrices como expresión de tablas. Operaciones con matrices. Interpretación del significado de las operaciones con matrices en la resolución de problemas extraídos de contextos reales.

Los determinantes como herramienta para las operaciones con matrices.

Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones. Programación lineal. Aplicaciones a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos. Interpretación de las soluciones.

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1.2. ANÁLISIS Aproximación al concepto de límite a partir de la interpretación de la tendencia de una función.

Concepto de continuidad. Interpretación de los diferentes tipos de discontinuidad y de las tendencias asintóticas en el tratamiento de la información.

Derivada de una función en un punto. Aproximación al concepto e interpretación geométrica.

Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales de funciones habituales y a la resolución de problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía.

Estudio y representación gráfica de una función polinómica o racional sencilla a partir de sus propiedades globales.

Integración de funciones de una variable: Concepto de primitiva. Cálculo de primitivas.

Cálculo de áreas: La integral definida. Regla de Barrow.

1.3. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Profundización en los conceptos de probabilidades a priori y a posteriori, probabilidad compuesta, condicionada y total. Teorema de Bayes.

Implicaciones prácticas de los teoremas: Central del límite, de aproximación de la Binomial a la Normal y Ley de los Grandes Números.

Problemas relacionados con la elección de las muestras. Condiciones de representatividad. Parámetros de una población Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones muestrales.

Estimación puntual. Intervalo de confianza para la proporción en el caso de muestras grandes y para la media de una distribución normal de desviación típica conocida.

2. OBJETIVOS La elaboración de las propuestas de pruebas de acceso de esta materia se realizará teniendo en cuenta los siguientes objetivos:

2.1. NÚMEROS Y ÁLGEBRA Utilizar el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices como instrumento para el tratamiento de situaciones que manejen datos estructurados en forma de tablas.

Conocer el vocabulario básico para el estudio de matrices: elemento, fila, columna, diagonal, traspuesta, simétrica, triangular, diagonal, inversa, invertible o regular, singular, etc.

Realizar operaciones con matrices: suma, producto por un escalar, trasposición, producto de matrices, reconociendo cuándo se pueden realizar y cuándo no. Se insistirá en la no conmutatividad del producto de matrices.

Resolver ecuaciones matriciales y sistemas de ecuaciones matriciales.

Determinar las condiciones para que una matriz, dependiente o no de parámetros, tenga inversa, hasta orden 3, y calcularla aplicando el método más conveniente.

Conocer la terminología básica de la programación lineal: función objetivo, región factible, solución factible y solución óptima. Determinar los vértices de la región factible de un problema de programación lineal y dibujarla. Determinar algebraicamente si un punto dado pertenece o no a la región factible.

Resolver problemas de programación lineal de dos variables, procedentes de diversos ámbitos: sociales, económicos o demográficos, por medios analíticos y gráficos con regiones factibles acotadas o no acotadas en las que se alcance el óptimo pedido e interpretar las soluciones.

En los problemas de Programación Lineal se utilizarán, a lo sumo, cuatro inecuaciones además de las restricciones de no negatividad si las hubiere.

Si las variables que intervienen son enteras, podrán ser consideradas como continuas en todo el proceso de resolución.

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2.2. ANÁLISIS

2.2.1. Funciones y continuidad Conocer el lenguaje básico asociado al concepto de función.

A partir de la expresión analítica o gráfica de una función, que puede provenir de un contexto real, estudiar las propiedades globales y locales de la función, identificando intervalos de monotonía, extremos relativos, curvatura, puntos de inflexión, asíntotas verticales y horizontales. (Si la variable que interviene es entera, podrá ser considerada continua en todo el proceso de resolución).

Conocer las nociones de límite y continuidad e identificar, a partir de la expresión analítica o gráfica de una función, los puntos donde ésta es continua y los puntos donde no lo es, indicando en su caso el tipo de discontinuidad.

2.2.2. Derivadas Conocer el concepto de tasa de variación media de una función en un intervalo y su interpretación.

Conocer el concepto de derivada de una función en un punto y sus interpretaciones, como tasa de variación local y como pendiente de la recta tangente.

Identificar, a partir de la expresión analítica o gráfica de una función, los puntos donde ésta es derivable y los puntos donde no lo es.

Conocer el concepto de función derivada.

Conocer las derivadas de las funciones habituales: polinómicas, exponenciales, potenciales, logarítmicas y de proporcionalidad inversa.

Conocer y aplicar las reglas de derivación: derivada de la suma, derivada del producto, derivada del cociente y derivada de la función compuesta (regla de la cadena). Se utilizarán funciones de los tipos citados anteriormente y en el caso de la función compuesta no se compondrán más de dos funciones.

Reconocer propiedades analíticas y gráficas de una función a partir de la gráfica de su función derivada.

2.2.3. Integración Cálculo de integrales indefinidas inmediatas de funciones elementales o transformables en inmediatas (polinómica, exponencial, potencial y proporcionalidad inversa).

Aplicar el concepto de integral definida para calcular el área de recintos planos delimitados por una o dos curvas que sean fácilmente representables.

2.2.4. Aplicaciones Analizar cualitativa y cuantitativamente funciones, que pueden provenir de situaciones reales, tales como: polinómicas de grado menor o igual que tres, cocientes de polinomios de grado menor o igual que uno, y funciones definidas a trozos cuyas expresiones estén entre las citadas.

Representar gráficamente las funciones descritas en el párrafo anterior.

Utilizar los conocimientos anteriores para resolver problemas de optimización, procedentes de situaciones reales de carácter económico y sociológico, descritas por una función cuya expresión analítica vendrá dada en el texto.

Analizar e interpretar fenómenos habituales en las ciencias sociales susceptibles de ser descritos mediante una función, a partir del estudio de sus propiedades más características.

2.3. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Conocer la terminología básica del Cálculo de Probabilidades.

Construir el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio simple. Describir sucesos y efectuar operaciones con ellos.

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Asignar probabilidades a sucesos aleatorios simples y compuestos, dependientes o independientes, utilizando técnicas personales de recuento, diagramas de árbol o tablas de contingencia.

Calcular probabilidades de sucesos utilizando las propiedades básicas de la probabilidad, entre ellas la regla de Laplace para sucesos equiprobables.

Construir el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, dado un suceso condicionante. Calcular probabilidades condicionadas.

Determinar si dos sucesos son independientes o no.

Calcular probabilidades para experimentos compuestos. Calcular la probabilidad de la realización simultánea de dos o tres sucesos dependientes o independientes.

Conocer y aplicar el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes, utilizando adecuadamente los conceptos de probabilidades a priori y a posteriori.

Conocer el vocabulario básico de la Inferencia Estadística: población, individuos, muestra, tamaño de la población, tamaño de la muestra, muestreo aleatorio.

Conocer algunos tipos de muestreo aleatorio: muestreo aleatorio simple y muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional.

Conocer empíricamente la diferencia entre los valores de algunos parámetros estadísticos de la población y de las muestras (proporción, media).

Conocer la distribución en el muestreo de la media aritmética de las muestras de una población de la que se sabe que sigue una ley Normal.

Aplicar el resultado anterior al cálculo de probabilidades de la media muestral, para el caso de poblaciones Normales con media y varianza conocidas.

Conocer cómo se distribuye, de manera aproximada, la proporción muestral para el caso de muestras de tamaño grande.

Conocer el concepto de estimador puntual.

Conocer el concepto de intervalo de confianza.

Determinar un intervalo de confianza para la proporción en una población, a partir de una muestra aleatoria grande.

Determinar un intervalo de confianza para la media de una población Normal con varianza conocida, a partir de una muestra aleatoria.

Determinar el tamaño muestral mínimo necesario para acotar el error cometido al estimar por un intervalo de confianza la proporción poblacional para cualquier valor dado del nivel de confianza. Si se dispone previamente de una estimación muestral de la proporción para esa misma población, se hará uso de esta; en caso contrario, se utilizará la estimación correspondiente al caso de máxima variabilidad, es decir, p̂ = q̂ = 1/2 Determinar el tamaño muestral mínimo necesario para acotar el error cometido al estimar, por un intervalo de confianza, la media de una población Normal, con varianza conocida, para cualquier valor dado del nivel de confianza.

Conocer el Teorema Central del límite y aplicarlo para hallar la distribución de la media muestral de una muestra de gran tamaño, siempre que se conozca la desviación típica de la distribución de la variable aleatoria de la que procede la muestra.

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2º Estructura de la prueba que se planteará para la asignatura.

La prueba de evaluación de Bachillerato para el acceso y admisión a la Universidad, correspondiente a esta materia constará de 4 Bloques (A, B, C y D) Deberá responder a cuatro ejercicios de entre los ocho propuestos con la condición de que pertenezcan al menos a 3 bloques distintos. En caso de responder a más ejercicios de los requeridos, serán tenidos en cuenta los respondidos en primer lugar.

Podrá responder las preguntas en el orden que desee y sin necesidad de escribir los enunciados, basta con indicar el número de ejercicio.

Cada bloque estará conformado de la siguiente forma:

BLOQUE A: Dos ejercicios de Números y Álgebra que tendrán una valoración máxima de 2.5 puntos cada uno de ellos.

BLOQUE B: Dos ejercicios de Análisis, valorados hasta 2.5 puntos cada uno de ellos.

BLOQUE C: Dos ejercicios de Probabilidad, valorados hasta 2.5 puntos cada uno de ellos.

BLOQUE D: Dos ejercicios de Inferencia y Muestreo, valorados hasta 2.5 puntos cada uno de ellos.

Todos los ejercicios tendrán carácter práctico.

Se evitará, en la medida de lo posible, que dentro de un mismo ejercicio aparezcan preguntas encadenadas, es decir que la contestación de un apartado dependa de cómo se han obtenido cálculos previos en apartados anteriores.

Duración de la prueba: una hora y treinta minutos.

3º Instrucciones sobre el desarrollo de la prueba.

3.1 De carácter general.

NOMENCLATURA Y NOTACIÓN UTILIZADA EN LAS PRUEBAS

7.5 indica 7 unidades enteras y 5 décimas; no se utilizará ninguna marca para millares, millones, etc.

A B indica, en el caso de matrices, su producto.

At indica la traspuesta de la matriz A.

I n indica matriz unidad, o identidad, de orden n.

A indica el determinante de la matriz A O indica la matriz nula.

ln( x) indica logaritmo neperiano de x.

log( x) indica logaritmo decimal de x.

La nomenclatura para discontinuidades será: evitable, de salto finito o de salto infinito.

Se entenderá que la función f es convexa en el punto de abscisa x cuando f ´´(x)  0.

Los términos “extremos”, “óptimos” o “máximos y mínimos” así como “locales” o “relativos” podrán usarse indistintamente.

Ac indica el contrario del suceso A.

A − B = A  BC …