Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales PAU 2021

Enunciado del examen en texto

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PRUEBA DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

ANDALUCÍA, CEUTA, MELILLA y CENTROS en MARRUECOS CONVOCATORIA ORDINARIA, CURSO 2020-2021

Instrucciones:

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Elija cuatro de los ocho ejercicios propuestos de al menos tres bloques distintos. Se corregirán los cuatro primeros ejercicios que aparezcan en el examen y que cumplan el requisito anterior.

c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima asignada.

d) Todos los resultados deben estar suficientemente justificados.

e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin el uso de la misma.

Este examen consta de 4 Bloques (A, B, C y D)

Deberá responder a cuatro ejercicios de entre los ocho propuestos con la condición de que pertenezcan al menos a 3 bloques distintos. En caso de responder a más ejercicios de los requeridos, serán tenidos en cuenta los respondidos en primer lugar.

BLOQUE A

EJERCICIO 1 (2.5 puntos) Una empresa de recambios industriales produce dos tipos de baterías, A y B . Su producción

semanal debe ser de al menos 10 baterías en total y el número de baterías de tipo B no puede superar en más de 10 unidades a las fabricadas de tipo A. Cada batería de tipo A tiene unos gastos de producción de 150 euros y cada batería de tipo B de 100 euros, disponiendo de un máximo de 6000 euros a la semana para el coste total de producción.

Si la empresa vende todo lo que produce y cada batería de tipo A genera un bene cio de 130 euros y la de tipo B de 140 euros, ¾cuántas baterías de cada tipo tendrán que producir a la semana para que el bene cio total sea máximo? ¾Cuál es ese bene cio?

EJERCICIO 2

1 −1 m 2 −3 , con m un parámetro real.

Se considera la matriz A =  0

a) (0.7 puntos) ¾Para qué valores del parámetro m existe la matriz inversa de A?

b) (1.8 puntos) Para m = 2, resuelva la ecuación matricial X · A − A2 = I3 .

BLOQUE B

EJERCICIO 3

Se considera la función f (x) = x3 − 4x2 + 4x.

a) (1 punto) Estudie su monotonía y calcule sus extremos.

b) (0.5 puntos) Represente grá camente la función.

c) (0.5 puntos) Calcule

f (x)dx.

d) (0.5 puntos) Calcule el área del recinto acotado limitado por la grá ca de f y el eje de abscisas.

EJERCICIO 4

a) (1 punto) Calcule la derivada de las siguientes funciones:

f (x) = ln

x−1 x+1

g(x) = x3 · e2x

b) (0.7 puntos) Represente grá camente la parábola h(x) = x2 +x+1, indicando el vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados.

c) (0.8 puntos) Calcule el área del recinto limitado por la grá ca de h(x) = x2 +x+1, el eje de abscisas y las rectas x = −

y x = 0.

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

BLOQUE C

EJERCICIO 5

Se desea probar la e cacia de dos tipos de vacunas, A y B , contra un virus determinado. Para ello, se seleccionan 5000 voluntarios sin anticuerpos para este virus, a los que se les administra una de las vacunas o un placebo, resultando que 3000 reciben la vacuna A, 1500 la B y el resto el placebo. Se comprueba que el 90 % de los vacunados con la A y el 95 % de los vacunados con la B , generan anticuerpos, no generando anticuerpos los que han recibido el placebo. Se selecciona uno de esos voluntarios al azar.

a) (1.5 puntos) ¾Cuál es la probabilidad de que haya generado anticuerpos?

b) (1 punto) Si dicho voluntario no ha generado anticuerpos, ¾qué probabilidad hay de que se le haya administrado placebo?

EJERCICIO 6

De las compras realizadas en el último período de rebajas del pasado año, el 55 % se dedicaron a productos electrónicos, el 72 % se hicieron a través de Internet y, de las compras que se hicieron por Internet, el 64 % fueron de productos electrónicos. Se elige una compra al azar.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que haya sido de productos electrónicos y se haya realizado por Internet.

b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que la compra se haya realizado por Internet o que se hayan comprado productos electrónicos.

c) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que sabiendo que no se compraron productos electrónicos, la compra no se hiciera a través de Internet.

BLOQUE D

EJERCICIO 7

a) (1.5 puntos) En una Escuela Politécnica hay matriculados en el último curso 60 estudiantes de Ingeniería Eléctrica, 40 de Ingeniería Informática, 30 de Ingeniería Civil, 50 de Ingeniería Mecánica y 20 de Ingeniería Aeronáutica. Se quiere hacer una encuesta al 20 % de estos estudiantes, de manera proporcional al número de matriculados en cada titulación.

1. ¾Qué tipo de muestreo se debe emplear?

2. ¾Cuántos alumnos debe haber en la muestra y cuántos de cada titulación?

b) (1 punto) Dada la población {a, 10, 12, 11, 18}, ¾cuánto debe valer a, sabiendo que la media de las medias muestrales de tamaño 3, obtenidas mediante muestreo aleatorio simple, es 13.2?

EJERCICIO 8

Se desea estimar la proporción de individuos mayores de edad de una localidad que están en contra de la construcción de una central nuclear en su término municipal. Para ello, se pregunta a 100 individuos mayores de edad de esa localidad, elegidos de forma aleatoria, resultando que 45 de ellos rechazan la construcción de la central.

a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de con anza al 92 % para estimar la proporción real de individuos de esa localidad que están en contra de la construcción de la central.

b) (1 punto) Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de con anza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo de la muestra que hay que tomar, para que al estimar la proporción de individuos de esa localidad que rechazan la construcción de la central, el error cometido sea inferior al 5 %.

Soluciones y criterios de corrección en texto

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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN OBSERVACIÓN En las puntuaciones parciales que se indican a continuación, se entenderá que es la puntuación máxima que se puede obtener por cada apartado o por cada una de las cuestiones planteadas en el mismo, según corresponda, pudiendo ser divididas a su vez en otras puntuaciones menores si así lo permite la pregunta realizada.

BLOQUE A

EJERCICIO 1: 2.5 puntos

0.5 puntos por el planteamiento; 0.8 por el recinto; 0.6 puntos por los vértices; 0.3 puntos por el cálculo de la solución óptima; 0.15 puntos por cada una de las dos preguntas realizadas.

EJERCICIO 2: 2.5 puntos

a) 0.7 puntos.

b) 1.8 puntos.

BLOQUE B

EJERCICIO 3: 2.5 puntos

a) 0.4 puntos por el cálculo de f 0 (x) y los valores que la anulan; 0.4 puntos por el estudio de la monotonía; 0.2 puntos por el cálculo de los extremos.

b) 0.5 puntos.

c) 0.5 puntos.

d) 0.5 puntos.

EJERCICIO 4: 2.5 puntos

a) 0.5 puntos por cada derivada.

b) 0.7 puntos.

c) 0.3 puntos el planteamiento; 0.5 puntos por el cálculo del área.

BLOQUE C

EJERCICIO 5: 2.5 puntos

a) 1.5 puntos.

b) 1 punto.

EJERCICIO 6: 2.5 puntos

a) 1 punto.

b) 0.75 puntos.

c) 0.75 puntos.

BLOQUE D

EJERCICIO 7: 2.5 puntos

a) 0.25 por indicar razonadamente el tipo de muestreo; 0.25 por el tamaño de la población; 0.25 por el tamaño de la muestra; 0.75 por el tamaño de los estratos.

b) 0.75 por la expresión de la media de las muestras; 0.25 por determinar a.

EJERCICIO 8: 2.5 puntos

a) 0.25 por la proporción muestral; 0.25 puntos por el percentil; 1 punto por el intervalo.

b) 1 punto.