Matemáticas II PAU 2026

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso 2025-2026 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓN Después de leer atentamente el examen, responda razonadamente a cinco preguntas, tres de ellas obligatorias y dos de ellas a escoger entre dos opciones. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas.

CALIFICACIÓN: Cada pregunta se calificará sobre 2 puntos.

TIEMPO: 90 minutos.

Responda a las tres preguntas siguientes (calificación máxima por pregunta: 2 puntos):

Pregunta 1. Un virus estomacal presenta como sı́ntomas diarreas y fiebres en un 95 % de los infectados. En un momento de presión asistencial en la Comunidad de Madrid, 40 de cada mil habitantes están infectados por dicho virus. Por otro lado, un 0.5 % de la población no infectada por el virus presenta los mismos sı́ntomas por otras causas.

a) (1 punto) Una persona tiene los sı́ntomas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté infectado por el virus estomacal?

b) (1 punto) Dadas dos personas que tienen los sı́ntomas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas tenga el virus?

Pregunta 2. La potencia instantánea en el momento t, P (t), es la derivada de la energı́a producida hasta el momento t. Una instalación fotovoltaica doméstica en un dı́a despejado genera una potencia en kilowatios (kW) que se modeliza por la siguiente función con respecto a la hora del dı́a t ∈ [0, 24):

si 0 ≤ t < 8  0

P (t) = 3 + 3 sen 8 (t − 12) si 8 ≤ t ≤ 20 .

 0 si 20 < t < 24

a) (1 punto) Determine cuándo esa potencia aumenta y cuándo disminuye. ¿Cuál es el momento del dı́a en que la instalación entrega su potencia máxima?

b) (1 punto) Halle la energı́a producida a lo largo del dı́a en kilowatios hora (kWh).

Pregunta 3. Sea S el conjunto formado por todas las matrices reales 2 × 2 triangulares superiores para las que el elemento que ocupa el lugar (2, 2) de la matriz es la suma de los elementos de su primera fila, es decir,

S= con a, b ∈ R .

0 a+b

a) (1 punto) Pruebe que si A y B son dos matrices cualesquiera del conjunto S, AB está en S.

b) (1 punto) Responda solo a uno de los dos apartados siguientes:

b1) Determine para qué valores de a y b las matrices de S son invertibles. Pruebe que si una matriz de S tiene inversa, esta es también una matriz de S.

b2) Calcule todas las matrices A de S tales que A2 = A.

Responda a una de las dos preguntas siguientes (calificación máxima: 2 puntos) :

Pregunta 4.1. Sean la recta r ≡ (x, y, z) = (1 + t, 1 + t, 1 + t), t ∈ R, y el plano π : x + y + z = 0.

a) (1 punto) Determine la posición relativa de la recta r y el plano π.

b) (1 punto) Halle los puntos de la recta r que se encuentran a distancia

3 del plano π.

Pregunta 4.2. Sea la recta r ≡ (x, y, z) = (t, 1, t), t ∈ R. Se pide:

a) (1 punto) Hallar dos planos que se corten en la recta r, que formen entre sı́ un ángulo de 90◦ y uno de ellos pase por el punto (0, 0, 1).

b) (1 punto) Justificar que todas las rectas contenidas en los dos planos obtenidos en el apartado anterior que no tienen puntos en común con la recta r son necesariamente paralelas entre sı́.

Responda a una de las dos preguntas siguientes (calificación máxima: 2 puntos) :

Pregunta 5.1. Sea la función f (x) =

x2 − 1 , donde a es un parámetro real.

3x − a

a) (1 punto) Halle el valor de a para que la gráfica de f (x) presente una ası́ntota vertical en x = 2.

Para dicho valor, estudie el resto de ası́ntotas de la gráfica.

b) (1 punto) Obtenga los valores de a para los cuales la gráfica de la función no presenta ası́ntotas verticales.

Pregunta 5.2. (2 puntos) Para la función f (x) = sen(π|x2 − 1|), calcule Z 2 xf (x) dx .

MATEMÁTICAS II CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Los contenidos correspondientes al bloque F se evaluarán transversalmente en cualquiera de los ejercicios. Se penalizará en la calificación de cada respuesta la falta de justificación razonada o de precisión y se valorarán las estrategias, razonamientos y toma adecuada de decisiones.

1.

a) Identificación de datos: 0.3 puntos (0.1 puntos por cada probabilidad correcta). Identificación del suceso: 0.1 puntos. Probabilidad total: 0.3 puntos (uso de la fórmula: 0.2 puntos, respuesta correcta:

0.1 puntos). Probabilidad condicionada: 0.3 puntos (uso de la fórmula: 0.2 puntos, respuesta correcta:

0.1 puntos).

b) Identificación de la binomial: 0.1 puntos. Parámetros correctos de la binomial: 0.2 puntos. Identificación del suceso: 0.3 puntos. Cálculo de la probabilidad: 0.4 puntos (planteamiento: 0.2 puntos, respuesta correcta: 0.2 puntos). (Si el valor hallado en a) es erróneo, las calificaciones se otorgan en b) para dicho valor).

2.

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: 0.5 puntos. Tiempo de potencia máxima: 0.5 puntos.

b) Planteamiento de la integral: 0.2 puntos. Primitiva correcta: 0.3 puntos. Regla de Barrow: 0.3 puntos.

Respuesta correcta: 0.2 puntos.

3.

a) Elección de dos matrices generales de S: 0.2 puntos. Multiplicación AB: 0.3 puntos. Probar que AB está en S: 0.5 puntos. Si toman A = B y comprueban correctamente que AB está en S se otorgan como máximo 0.4 puntos.

b1) Determinación de los valores a y b: 0.2 puntos. Cálculo de la inversa: 0.5 puntos. Comprobar que la matriz inversa está en S: 0.3 puntos.

b2) Matriz nula: 0.2 puntos. Matriz identidad: 0.2 puntos. Para las otras dos matrices: 0.3 puntos cada matriz (planteamiento: 0.2 puntos, resolución: 0.1 puntos).

4.1.

a) Planteamiento: 0.5 puntos. Resolución: 0.5 puntos.

b) Utilización de la fórmula de la distancia de un punto al plano: 0.2 puntos. Ecuación con valor absoluto:

0.2 puntos. Obtención de las dos ecuaciones a resolver: 0.2 puntos. Cada valor de t: 0.1 puntos. Cada punto correcto: 0.1 puntos.

4.2.

a) Justificación de que el vector director de la recta r está en ambos planos: 0.2 puntos. Determinación de los otros dos vectores directores para obtener los planos: 0.2 puntos por vector. Ecuación de los planos: 0.2 puntos por plano (planteamiento: 0.1 puntos, respuesta correcta: 0.1 puntos).

b) Justificación de que cada recta descrita de los planos es paralela a r: 0.5 puntos. Justificación de paralelismo entre las rectas: 0.5 puntos.

5.1.

a) Planteamiento para la obtención de a: 0.3 puntos. Obtención de a: 0.2 puntos. Justificación de que solo puede haber otra ası́ntota y esta es oblicua: 0.1 puntos. Obtención de la pendiente de la ası́ntota oblicua: 0.2 puntos. Obtención de la ordenada del origen: 0.2 puntos.

b) Justificación: 0.4 puntos. Obtención de algún valor de a: 0.4 puntos. Obtención del otro valor de a:

0.2 puntos.

5.2.

Integral a resolver escrita como suma de dos integrales: 0.8 puntos. Primitivas correctas: 0.8 puntos.

Regla de Barrow: 0.2 puntos. Respuesta correcta: 0.2 puntos.

MATEMÁTICAS II–SOLUCIONES (Documento de trabajo orientativo)

1.

a) Sea V el suceso tener el virus, S tener los sı́ntomas, V no tener el virus. De los datos se sabe que P (V ) = 0.04, P (S|V ) = 0.95, P (V ) = 0.96, P (S|V ) = 0.005. Por el Teorema de Probabilidad Total se halla la probabilidad de tener los sı́ntomas:

P (S) = P (S|V ) · P (V ) + P (S|V ) · P (V ) = 0.0428 .

Por la definición de probabilidad condicionada:

P (V |S) =

P (S|V ) · P (V ) P (V ∩ S)

≈ 0.8879.

P (S) P (S)

b) Sea X ∼ B(2, p) con p = 0.8879, se tiene que calcular P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − (1 − p)2 ≈

0.9874.

2.

a) A partir de la gráfica de P (t) o de su derivada se deduce que la potencia crece de (8, 16) horas, decrece (16, 20). La máxima potencia se obtiene a las 16 horas.

b) La energı́a producida al dı́a es E=

Z 20 

 π 20

(t − 12) dt = 3t − cos (t − 12) = 36 + ≈ 43.6394 kWh.

3 + 3 sen

π

3.

a) Si A =

0 a+b

yB =

0 c+d

ac ad + bc + bd que es una , se tiene AB = 0 ac + ad + bc + bd

matriz de S.

b1) Las matrices de S que ! tienen inversa son aquellas para las que a ̸= 0 y a ̸= −b. En ese caso, la

a − a(a+b) inversa es , que es una matriz de S puesto que −

a a(a + b) a+b

a+b

 2

a b(2a + b)

b2) Si A = ,A = . Para que A = A2 , se tienen que dar las condiciones 0 a+b 0 (a + b)2 a2 = a, (a + b)2 = a + b y b = b(2a + b). De la última ecuación se deduce que b = 0 o 2a + b = 1. Para b = 0, se obtienen lasmatrices  nulae identidad (a debe ser 1 o 0). Si 2a + b = 1, como a = 0 o 1, se

1 −1 0 1 obtienen las matrices

0 0 0 1

4.1.

a) El vector director de la recta r es (1, 1, 1), que coincide con el vector normal del plano π. Por tanto, la recta y el plano se cortan en punto que es el (0, 0, 0).

b) La distancia de un punto de r, (1 + t, 1 + t, 1 + t), al plano es 3|1+t|

t = −2. Los puntos son (1, 1, 1) y (−1, −1, −1).

3 ⇒ |1 + t| = 1 ⇒ t = 0 o

4.2.

a) Uno de los planos, π1 , tendrá como primer vector director al de la recta (1, 0, 1), y como segundo vector director a (0, 0, 1) − (0, 1, 0) = (0, −1, 1). El vector normal a π1 se obtiene como el producto → = (0, −1, 1) × (1, 0, 1) = (−1, 1, 1). Dado que el plano pasa por el punto (0, 1, 0) de vectorial −

r su ecuación es −x + y + z = 1. El segundo plano pasa también por el punto (0, 1, 0) de la recta → = (−1, 1, 1)×(1, 0, 1) = (1, 2, −1), por lo que su ecuación es x+2y−z = 2.

y tiene como vector normal −

b) Sean π1 y π2 los dos planos del apartado anterior. Si r1 es una recta contenida en π1 , como la recta r está también contenida en π1 y no tiene puntos en común con r1 , entonces r1 y r son paralelas. De la misma manera si r2 es una recta contenida en π2 , esta tiene que ser paralela a r. Por lo tanto r1 es paralela a r2 puesto que ambas son paralelas a r.

5.1.

a) Para que exista una ası́ntota vertical en x = 2, el denominador debe anularse en ese punto (y el numerador debe ser distinto de cero). Luego, 3 · 2 − a = 0 y a = 6. No hay más ası́ntotas verticales. Ası́ntotas horizontales no tiene. Ası́ntotas oblicuas, sı́ tiene: m = lı́m f (x) = 31 y

x→∞

n = lı́m (f (x) − mx) = 23 , es decir, y = 31 x + 23 .

x→∞

b) Para que no haya ası́ntota vertical, el numerador (x2 − 1) debe anularse donde lo hace el denominador, es decir, en x = a/3. Las raı́ces del numerador son x = 1 y x = −1, luego basta con que el denominador se anule en uno de estos puntos para tener una discontinuidad evitable, es decir, a puede tomar los valores 3 y −3.

5.2.

Como función a trozos en el intervalo [0, 2]

sen(π(1 − x2 )) si 0 ≤ x ≤ 1 f (x) =

sen(π(x2 − 1)) si 1 ≤ x ≤ 2 Por lo tanto, Z 2 Z 1 Z 2

xf (x) dx = x sen(π(1 − x )) dx + x sen(π(x2 − 1)) dx

1  2

cos(π(1 − x )) + − cos(π(x − 1)) = (1 − (−1)) − (−1 − 1) 2π 2π 2π 2π