Matemáticas II PAU 2021

Enunciado del examen en texto

Texto sacado del PDF oficial. Las fórmulas, tablas y figuras se ven mejor en el visor de arriba.

COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT CONVOCATÒRIA:

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CONVOCATORIA:

EXEMPLE 2020

EJEMPLO 2020

Asignatura: MATEMÁTICAS II

Assignatura: MATEMÀTIQUES II BAREM DE L’EXAMEN:

L’alumne triarà només TRES problemes entre els sis proposats.

Cada problema puntua fins a 10 punts.

La qualificació de l'exercici és la suma de les qualificacions de cada problema dividida entre 3, i aproximada a les centèsimes.

Es permet l’ús de calculadores sempre que no siguen gràfiques o programables, i que no puguen realitzar càlcul simbòlic ni emmagatzemar text o fórmules en memòria. S'use o no la calculadora, els resultats analítics, numèrics i gràfics han d'estar sempre degudament justificats.

BAREMO DEL EXAMEN:

El alumno elegirá solo TRES problemas entre los seis propuestos.

Cada problema se puntuará hasta 10 puntos.

La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas.

Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.

VALENCIÀ 2𝑥 +3𝑧 = 𝛼 Problema 1. Es dona el sistema d’equacions { 𝑥 −2𝑦 +2𝑧 = 5 , en què α és un paràmetre real.

3𝑥 −𝑦 +5𝑧 = 𝛼 + 1 Obtingueu raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

a) Els valors de 𝛼 per als quals el sistema és compatible i determinat.

(4 punts)

b) La solució del sistema quan 𝛼 = −1.

(3 punts) (𝑥,

c) El valor de 𝛼 per tal que el sistema tinga una solució 𝑦, 𝑧) que verifique 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0.

(3 punts)

Problema 2. Es dona el pla 𝜋 ∶ 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 8 i el punt 𝑃 = (10, 0, 10).

Obtingueu raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

a) La distància del punt 𝑃 al pla 𝜋.

b) L’àrea del triangle els vèrtexs del qual són els punts 𝐴, 𝐵 i 𝐶, obtinguts en trobar la intersecció del pla 𝜋 amb els eixos de coordenades.

c) El volum del tetraedre els vèrtexs del qual són 𝑃, 𝐴, 𝐵 i 𝐶.

(3 punts) (4 punts) (3 punts)

𝑥3 +𝑥2 +5𝑥−3

Problema 3. Es dona la funció real ℎ definida per ℎ(𝑥) = 2

𝑥 +2𝑥+5 Obtingueu raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

a) El domini de la funció ℎ. Els límits 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥) i 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥).

𝑥→+∞

𝑥→0

b) L’asímptota de la corba 𝑦 = ℎ(𝑥).

c) La primitiva de la funció ℎ (és a dir, ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥) i l’àrea de la superfície tancada entre les rectes 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 5 i la corba 𝑦 = ℎ(𝑥), quan 1 ≤ 𝑥 ≤ 5.

(1 + 2 punts) (2 punts) (3 + 2 punts)

1 4 ) i 𝑋 = (𝑦).

−1 6 Obtingueu raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

a) Els valors de 𝛼 per als quals l’equació matricial 𝐴𝑋 = 𝛼𝑋 sols admet una solució.

b) Totes les solucions de l’equació matricial 𝐴𝑋 = 5𝑋.

c) La comprovació que 𝑋 = ( ) és una solució de l’equació matricial 𝐴𝑋 = 2𝑋 i, sense calcular

la matriu 𝐴 , el valor de 𝛽 tal que 𝐴100 ( ) = 𝛽 ( ).

Problema 4. Es donen les matrius 𝐴 = (

(4 punts) (3 punts)

(3 punts)

𝑥−𝛼

Problema 5. Es donen en l’espai la recta 𝑟: −1 = −4 = 𝛽 i el pla 𝜋 : 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 6.

Obtingueu raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

a) La posició relativa de la recta r i el pla 𝜋 en funció dels paràmetres reals 𝛼 i 𝛽.

b) La distància entre la recta 𝑟 i el pla 𝜋 quan 𝛼 = 6 i 𝛽 = 3.

c) L’equació del pla que passa per (0, 0, 0) i que no talla al pla 𝜋.

(5 punts) (3 punts) (2 punts)

Problema 6. Un projectil està unit al punt (0, 2) per una corda elàstica i tensa. El projectil recorre la corba 𝑦 = 4 − 𝑥 2 d’extrems (−2,0) i (2,0).

Obtingueu raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:

a) La funció de la variable 𝑥 que expressa la distància entre un punt qualsevol (𝑥, 4 − 𝑥 2 ) de la corba 𝑦 = 4 − 𝑥 2 i el punt (0, 2).

(2 punts)

b) Els punts de la corba 𝑦 = 4 − 𝑥 a major distància absoluta del punt (0,2) per a −2 ≤ 𝑥 ≤ 2.

(2 punts)

(0,2)

c) Els punts de la corba 𝑦 = 4 − 𝑥 a menor distància absoluta del punt per a −2 ≤ 𝑥 ≤ 2.

(2 punts)

d) L'àrea de la superfície per la que s’ha mogut la corda elàstica, és a dir, l'àrea compresa entre les corbes 𝑦 = 4 − 𝑥 2 i 𝑦 = 2 − |𝑥| quan −2 ≤ 𝑥 ≤ 2.

(4 punts)

CASTELLANO

2𝑥 +3𝑧 = 𝛼 Problema 1. Se da el sistema de ecuaciones { 𝑥 −2𝑦 +2𝑧 = 5 , donde α es un parámetro real.

3𝑥 −𝑦 +5𝑧 = 𝛼 + 1 Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de 𝛼 para los que el sistema es compatible y determinado.

(4 puntos)

b) La solución del sistema cuando 𝛼 = −1.

(3 puntos)

c) El valor de 𝛼 para que el sistema tenga una solución (𝑥, 𝑦, 𝑧) que verifique 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0.

(3 puntos)

Problema 2. Se da el plano 𝜋 ∶ 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 8 y el punto 𝑃 = (10, 0, 10).

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La distancia del punto 𝑃 al plano 𝜋.

b) El área del triángulo cuyos vértices son los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶, obtenidos al hallar la intersección del plano 𝜋 con los ejes de coordenadas.

c) El volumen del tetraedro cuyos vértices son 𝑃, 𝐴, 𝐵 y 𝐶.

(3 puntos) (4 puntos) (3 puntos)

𝑥3 +𝑥2 +5𝑥−3

Problema 3. Se da la función real ℎ definida por ℎ(𝑥) = 𝑥2+2𝑥+5 .

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El dominio de la función ℎ. Los límites 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥) y 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥).

𝑥→+∞

𝑥→0

b) La asíntota de la curva 𝑦 = ℎ(𝑥).

c) La primitiva de la función ℎ (es decir, ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥) y el área de la superficie encerrada entre las rectas 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 5 y la curva 𝑦 = ℎ(𝑥), cuando 1 ≤ 𝑥 ≤ 5.

(1 + 2 puntos) (2 puntos) (3 + 2 puntos)

1 4 ) y 𝑋 = (𝑦).

−1 6 Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de 𝛼 para los que la ecuación matricial 𝐴𝑋 = 𝛼𝑋 solo admite una solución.

b) Todas las soluciones de la ecuación matricial 𝐴𝑋 = 5𝑋.

c) Comprobar que 𝑋 = ( ) es una solución de la ecuación matricial 𝐴𝑋 = 2𝑋 y, sin calcular

la matriz 𝐴 , obtener el valor 𝛽 tal que 𝐴100 ( ) = 𝛽 ( ).

Problema 4. Se dan las matrices 𝐴 = (

Problema 5. Se dan en el espacio la recta 𝑟:

𝑥−𝛼 −1

−4

(4 puntos) (3 puntos)

(3 puntos)

y el plano 𝜋 : 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 6.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La posición relativa de la recta 𝑟 y el plano 𝜋 en función de los parámetros reales 𝛼 y 𝛽.

puntos)

b) La distancia entre la recta r y el plano 𝜋 cuando 𝛼 = 6 y 𝛽 = 3.

puntos)

c) La ecuación del plano que pasa por (0,0,0) y que no corta al plano 𝜋.

puntos)

(5 (3 (2

Problema 6. Un proyectil está unido al punto (0, 2) por una cuerda elástica y tensa. El proyectil recorre la curva 𝑦 = 4 − 𝑥 2 de extremos (−2,0) y (2,0).

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La función de la variable 𝑥 que expresa la distancia entre un punto cualquiera (𝑥, 4 − 𝑥 2 ) de la curva 𝑦 = 4 − 𝑥 2 y el punto (0, 2).

(2 puntos)

b) Los puntos de la curva 𝑦 = 4 − 𝑥 a mayor distancia absoluta del punto (0,2) para −2 ≤ 𝑥 ≤ 2.

(2 puntos)

c) Los puntos de la curva 𝑦 = 4 − 𝑥 a menor distancia absoluta del punto (0, 2) para −2 ≤ 𝑥 ≤ 2.

(2 puntos)

d) El área de la superficie por la que se ha movido la cuerda elástica, es decir, el área comprendida entre las curvas 𝑦 = 4 − 𝑥 2 e 𝑦 = 2 − |𝑥| cuando −2 ≤ 𝑥 ≤ 2.

(4 puntos)